７．素因数分解の利用（１）

【前説】

ある数の２乗(平方)，すなわち，１，４，９，16，25，36，…には大きな特徴がある。
それは，１以外，素数の偶数乗(の積)であるということ。

例えば，３２４(18²)を素因数分解すると，３２４＝2²×3⁴
となり，素数(２，３)の偶数乗(２乗，４乗)の積になる。

｢自然数△に（を），できるだけ小さい自然数□をかけて（で割って），別の自然数の２乗(平方)になるようにしたい…」
というタイプの問題では，この考え方を使う。


　　　　　　　　　　　　　　2000
【例題】nは正の数で―――が整数の平方になるとき，
　　　　　　　　　　 　　　　ｎ
　（１）整数nのうちで最も小さいもの

　（２）整数nをすべてかけあわせると何桁の整数になるか

　を求めなさい。

　　　　　　2000
【考え方】――＝2000÷ｎとし，2000を自然数ｎで割り，それが別の自然数
　　　　　 　ｎ
の平方になると考える。


【解】
　（１）2000を素因数分解すると，2000＝2⁴×5³
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×２×２×２×５×５×５
　　　２が４個と，５が３個掛け合わされている。素数の偶数乗の積にするには，５が１個余計だ。
　　　ここから，５を１個取ってしまえば(５で割ってしまえば)，何かの平方2⁴×5²＝(2²×5)²になる。
　　　これによって，手持ちの２と５を最大限生かせるので，５がｎを満たす最小の数となる。
　　　
（答え）５



　（２）問題の条件を満たすｎは５の他にもいくつかあるので，それらをすべて見つけて，掛ける。
　　　　見つけ方…２が４個，５が３個あるので，その中から，
　　　　　ア．単独の，素数の偶数乗(2²など)
　　　　　イ．アの積
　　　　　ウ．１
　　　と場合分けをする。それらを引き抜いた後，残ったものが，割る数ｎになる。

　　　例　2⁴×5³(２が４個，５が３個)から，
　　　　　2²(２を２個)引き抜くと，
　　　　　2²×5³(２が２個，５が３個)残る。

　　　2⁴×5³を使って，素数の偶数乗の積をもれなく作ってみると，（｢１｣をお忘れなく！)

　　　　素数の偶数乗(の積)　　　　　　　　　残ったもの(割る数ｎ)

　　　　ア．2²(２が２個)　　　　　　　　　・・・2²×5³(２が２個，５が３個)
　　　　　　2⁴(２が４個)　　　　　　　　　・・・5³(５が３個)
　　　　　　5²(５が２個)　　　　　　　　　・・・2⁴×5(２が４個，５が１個)

　　　　イ．2²×5²(２が２個と５が２個)・・・2²×5(２が２個と５が１個)
　　　　　　2²×5²(２が４個と５が２個)・・・5(５が１個)

　　　　ウ．１　　　　　　　　　　　　　　　・・・2⁴×5³(２が４個と５が３個)


となるので，・・・の右に並んだ，ｎをすべて掛け合わせる。
ただし，このまま全部掛けたのでは「芸がない」。２と５を上手に組み合わせて，１０をたっくさん作ってみよう。


　(2²×5³)×(5³)×(2⁴×5)×(2²×5)×5×(2⁴×5³)　←ａ

＝2¹²×5¹²　となる。

2×5で「10」が作れ，それが１２個できるから，
　2¹²×5¹²＝(2×5)¹²＝10¹²　←ｂ

ａの式からｂの式への変形がよく分からん人は，面倒でも，指数をすべて掛け算に直し，２や５を掛け合わせた個数を数える。
　
10¹²とは，１０に０(ゼロ)を１１個くっつけたもの
(10^ａは，10に０をａ－１個つけたもの。例えば，
10³＝1000は，１０に０を２個つける)
１０に０(ゼロ)を１１個くっつけると，１３桁の数になる。

（答え）１３桁


To:沙羽
監修：Mr.Hot Cake