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2015.05.27
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カテゴリ:カテゴリ未分類
ひさびさ投稿してみます。
いま、写像についての解説ページをつくっています。
こんな感じです。

集合論では、写像の概念が極めて重要になります。

写像の“写”には、ある対象物を何らかの方法によって再現、表現する、といった意味合いがあり、この再現されたものが“像”にあたります。これは、写を含む単語に写真、模写、描写、転写などがあることからも想像にたやすいと思います。ただ、“写”には完全に忠実な再現は求められておらず、模写や描写といった言葉からもわかるように、実際とはいくらか異なる部分を含んでいても構いません。
上記の内容から察するに、写像には、“元になるもの”と“再現されたもの”の2種類が必ず存在しなければならず、さらにこれら2つを結ぶ方法が写像である、と考えられます。この考えを拡張すれば、ある集合の元と別の集合の元が写像によって結び付けられること、と考えることもできます。数学において写像の最も代表的な例は関数です。線形関係はその最もわかりやすい例の1つになると思います(例えば、f(x)=2x(x∈実数)は実数集合から実数集合への写像になります)。
ただし、この関係は1つの大きな前提の上で成り立っています。それが選択公理です。ある集合から元が取り出せない=選択できない限り“再現されたもの”は存在しません。それが有限の世界ならば、実際に取り出してみて証明することも可能でしょうが、無限となると話は異なります。何故なら、無限回の試行を人間は絶対に行うことはできないからです。従って写像の存在は、ある集合から無限の元を選択できる(しかも同時に)ということを証明なしに受け入れることで、担保されることになります(選択公理はZermeloによって提案されました)。さらに、元の選択自体が写像で実行されることを選択公理では唱っておいます(選択写像)。この選択写像によってはじめて無限が活きた概念として数学に取り込まれるものと考えられます。選択写像がなければ、無限個の元はただ孤立して存在するだけでしかなく、そこから別の集合(世界)とのつながりを持つことは出来ないからです(元を選択できないから...)。
数学において、無限を対象にした概念が非常に多く存在します。上述した線形関係でさえ無限の範囲を扱います。それらの概念を保証する1つとして選択公理が存在する、と考えれば、写像の重要性はぐっと増してくると思います。

なんか、最後の方がいまいちしっくりこないな~~~~~。





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Last updated  2015.05.28 00:23:09
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