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明石原人1946のブログ

2015.01.27
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カテゴリ:数学

円の極限?.gif

エッシャーは、ただちにコクセターの論文に基づいて「模様どうしが段階的に近づき、模様が段階的に小さくなるように円の中心から外周に向かってパターンのサイズを縮小する方法」を解明する作業に取りかかった。

その方法を突き止めるには、それまでいつも仕事でやってきたように、直観的、実践的なアプローチをとるしかなかった。

うまく機能する方法が見つかるまで試行錯誤を繰り返し、あれこれ工夫を凝らした。

コンパスを使ってコクセターの論文の図・・・・・ポアンカレ円板を満たす白黒の三角形の対称型パターン・・・をトレースし、三角形の輪郭を形成している円弧の中心を突き止めようとした。

こうしてコクセターの図に基づいて幾何学的な足場を組み立てた後、自分でそれを再現し、交差する円の大きい図形を制作した。

 


エッシャーは息子のジョージヘの手紙で、その発見についてこう述べている。



コクセターの呪文のような文章は私にとって無用の長物だが、図は、私の敷き詰めシリーズのまったく新しいバリエーションになるはずの平面分割を制作するうえで、おそらく助けになるだろう。

周囲すべてが無限小の模様によって区切られた円形の正則タイル貼りはほんとうに素晴らしい。

・・・同時に、これを追求すれば、一般受けしそうなものから自分が遠ざかることになりそうだ。

だが、とても放っておけないほど私を惹きつけてやまない問題を目の前にして、抗うことができるだろうか。

この作業は見た目ほど楽ではない。

試してみればわかる。

任意のサイズの一つ(または四つ)の正方形を(たとえば、中心を通る、二本の直線によって区切られた)円の中央に置き、その正方形が外周に近づくにつれてだんだん小さくなるチェス盤のようなものをつくるのだ。

軸が四本しかないと、うまく行かない。

平らな表面では通常不可能な、きわめて特殊な方法で、六本の軸を順番に使う必要がある。

直線になるのは模様の境界の一部だけで(中心を通る三本の線のみ)、その他の境界はすべて円だ。

コクセターの手本がなければ、こんなことは思い付きもしなかった。






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最終更新日  2015.01.27 07:50:52
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