[数学]の記事一覧 | ブラックホールの内側(外側?)は別宇宙

(1/a) ∂u/∂t =∂u/∂x +∂u/∂y +∂u/∂z

0) (1/a) ∂u/∂t =∂u/∂x +∂u/∂y +∂u/∂z1)u =f(x +at, y+ at, z +at)10)難しい微分方程式解法集 (Hard)

2022.11.21

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dy/dx +y +y^3 =0

0)dy/dx +y +y^3 =01)y ==> e^(-x) z1.1)e^(-x) dz/dx -e^(-x) z +e^(-x) z +e^(-3x) z^3 =02)dz/dx +e^(-2x) z^3 =03)1/z^3 dz/dx =-e^(-2x)4)-1/z^2 =e^(-2x) +c5)z =1/sqrt( C -e^(-2x) )6)y =1/sqrt( Ce^(2x) -1 )10)微分方程式解法集111)初等関数で解ける難しい微分方程式12)別解

2022.10.10

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フォロー

1)dy1/dt =5y1 -y2, dy2/dt =y1 +3y22)d^2y/dx^2 -2/y (dy/dx)^2 -y +3a =0#フォローテスト3)2xd^2y/dx^2 +dy/dx +y =0#といてみた #微分方程式

2022.01.09

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( x^2 e^x +2(y +y^2)e^y )dy/dx +2(x +x^2)e^x +y^2 e^y =0

0) ( x^2 e^x +2(y +y^2)e^y )dy/dx +2(x +x^2)e^x +y^2 e^y =01) ( f(x) +f(y) +f’(y) )dy/dx +f(x) +f’(x) +f(y) =02) ( 1 +f’(y)/(f(x) +f(y)) )dy/dx +1 +f’(x)/(f(x) +f(y)) =03)dy/dx +1 +( f’(y) dy/dx +f’(x) )/(f(x) +f(y)) =04)y +x +log( f(x) +f(y) ) =c5)e^(x +y) (x^2 e^x +y^2 e^y) =C6)補足10)難しい微分方程式解法集11)初等関数で解ける難しい微分方程式

2021.05.05

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x(x^2 +1)d^2y/dx^2 +2(x^2 -1)dy/dx -2xy =f(x)

0)x(x^2 +1)d^2y/dx^2 +2(x^2 -1)dy/dx -2xy =f(x)1)d( (x^3 +x)dy/dx )/dx -(x^2 +3)dy/dx -2xy =f(x)2)d( (x^3 +x)dy/dx )/dx -d( (x^2 +3)y )/dx =f(x)3) (x^3 +x)dy/dx -(x^2 +3)y = ∫ f dx4)y -> g(x) z4.1) (x^3 +x)g dz/dx +(x^3 +x)g’ z -(x^2 +3)g z = ∫ f dx5) (x^3 +x)g’ -(x^2 +3)g -> 05.1)g’/g =(x^2 +3)/(x^3 +x)5.2)g’/g =3/x -2x/(x^2 +1)6)logg =3logx -log(x^2 +1)6.1)g =x^3 /(x^2 +1)7)x^4 dz/dx = ∫ f dx8)z = ∫ 1/x^4 ∫ f dx dx9)y =x^3 /(x^2 +1) ∫ 1/x^4 ∫ f dx dx10)x(x^2 +1)d^2y/dx^2 +2(x^2 -1)dy/dx -2xy =f(x)11)x -> tan(t)11.1)tant d((cost)^2 dy/dt)/dt +2((sint)^2 -(cost)^2)dy/dt -2tant y =f12)sint cost d^2y/dt^2 -2(cost)^2 dy/dt -2tant y =f12.1)d^2y/dt^2 -2/tant dy/dt -2/(cost)^2 y =f /(sint cost)13)y -> (cost)^n z13.1) (cost)^n d^2z/dt^2 -2n(cost)^(n-1) sint dz/dt +( n(n-1)(cost)^(n-2) (sint)^2 -n(cost)^n )z-2(cost)^n /tant dz/dt +2n(cost)^n z-2(cost)^(n-2) z =f/(sint cost)13.2)d^2z/dt^2 -2(ntant +1/tant) dz/dt +( (n^2 -n -2)(tant)^2 +n -2 )z =f /( sint (cost)^(n+1) )14)n -> 214.1)d^2z/dt^2 -2(2tant +1/tant) dz/dt =f /(sint (cost)^3)15)dz/dt -> v15.1)dv/dt -2(2tant +1/tant)v =f /(sint (cost)^3)16)v -> g(t) u16.1)g du/dt +g’ u -2(2tant +1/tant)g u =f /(sint (cost)^3)17)g’ -2(2tant +1/tant)g -> 017)g’/g =2(2tant +1/tant)17.1)log(g) =-4log(cost) +2log(sint)18)g =(sint)^2 /(cost)^419)du/dt =f cost /(sint)^320)y =(cost)^2 ∫ (sint)^2 /(cost)^4 ∫ f cost /(sint)^3 dt dt21)y =1/(1 +x^2) ∫ x^2 ∫ 1/x^3 f dx dx30)難しい微分方程式解法集31)初等関数で解ける難しい微分方程式

2021.01.06

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f(x) =(x +1)(x +2) +2 ∫[0,x] t f'(x -t) dt

0)f(x) =(x +1)(x +2) +2 ∫[0,x] t f'(x -t) dt1.0)f(0) =21)x -t --> -u (t =x +u)1.1)f(x) =(x +1)(x +2) + 2 ∫[-x,0] (x +u) f'(-u) du1.2)f(x) =(x +1)(x +2) + 2 ∫[0,x] (x -u) f'(u) du2)f(x) =(x +1)(x +2) +2( (x -x)f(x) -(x -0)f(0) - ∫[0,x] -f(u) du )2.1)f(x) =(x^2 -x + 2) +2 ∫[0,x] f(u) du3)df/dx =2x -1 +2f(x)4)f --> e^(ax) y4.1)e^(ax) (dy/dx +ay) =2x -1 +2e^(ax) y6)a --> 26.1)dy/dx =(2x -1) e^(-2x)7)y =-x e^(-2x) +c8)f =-x +ce^(2x)8.1)f =-x +2e^(2x)10)f(x) =(x +1)(x +2) +2 ∫[0,x] t f'(x -t) dt11)F(s) =(2/s^3 +3/s^2 +2/s) +2( 1/s^2 (sF(s) -f(0)) )12) (1 -2/s)F(s) =(2 -s +2s^2 )/s^313)F(s) =a1/s^3 +a2/s^2 +a3/s +a4/(s -2)13.1) (s -2)/s F(s) =(a1(s-2) +a2 s(s-2) +a3 s^2 (s-2) +a4 s^3)/s^414.1)-2a1 =014.2)a1 -2a2 =214.3)a2 -2a3 =-114.4)a3 +a4 =215)a1 =0, a2 =-1, a3 =0, a4 =216)f =-x +2e^(2x)20)f' =-1 +4e^(2x)21)f'(x -t) =-1 +4e^(2(x -t))22)tf'(x -t)=-t +4e^(2x) te^(-2t)23) ∫[0,x] tf'(x -t) dt =- ∫[0,x] t dt +4e^(2x) ∫[0,x] te^(-2t) dt24) ∫ te^(-2t) dt = -(t/2 +1/4) e^(-2t)25) ∫[0,x] tf'(x -t) dt =-x^2 /2 +4e^(2x) ( -(x/2 +1/4) e^(-2x) +1/4 )25.1) ∫[0,x] tf'(x -t) dt =-x^2 /2 -2x -1 +e^(2x)30)難しい微分方程式解法集

2020.11.15

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x^5 d^2y/dx^2 +ay^2 =0

0)x^5 d^2y/dx^2 +ay^2 =01)y ==> xz1.1)x^5 (xd^2z/dx^2 +2dz/dx) +a(xz)^2 =02)x ==> 1/t2.1)1/t^2 (d(t^2 dz/dt)/dt -2tdz/dt) +az^2 =03)d^2z/dt^2 +az^2 =04)dz/dt d^2z/dt^2 +az^2 dz/dt =05) (dz/dt)^2 +2a/3 z^3 +c =06)t ==> bu6.1) (dz/du)^2 =-2/3 ab^2 z^3 -c17)-2/3 ab^2 ==> 4 ( b =sqrt(-6/a) )7.1)z =P(u +c2, c1)7.2)P:ヴァイエルストラス(Weierstrass)の楕円関数8)y =x P( sqrt(-a/6)/x +c2, c1 )10)難しい微分方程式

2020.04.21

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yd^2y/dx^2 +(y +1)dy/dx +y =0

0)yd^2y/dx^2 +(y +1)dy/dx +y =01)d^2y/dx^2 +(1 +1/y)dy/dx +1 =02)dy/dx +(y +logy) +x =c3)x ==> t +c3.1)dy/dt +(y +logy) +t =04)y ==> e^(-t) z4.1)e^(-t) dz/dt +logz =05)z ==> e^w5.1)e^w /w dw/dt +e^t =06) ∫ e^w /w dw　+e^t =06.1)Ei(w) +e^t =c27)Ei(logy +x +C) +e^(x +C)=c210)Others

2020.03.22

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2xy dy/dx +y +x +1 =0

0)2xy dy/dx +y +x +1 =01)x ==> e^(2z)1.1)ydy/dz +y +e^(2z) +1 =02)y ==> dz/dt2.1)d^2z/dt^2 +dz/dt +e^(2z) +1 =0d^2y/dx^2 +dy/dx +e^(2y) +1 =03)z =-t +log(c1) -log( cosh(c1 e^(-t) +c2) )4.1)x =( c1 e^(-t) /(cosh(c1 e^(-t) +c2) )^24.2)y =-1 +c1 e^(-t) tanh(c1 e^(-t) +c2)5)c1 e^(-t) ==> u5.1)x =u^2 ( 1 -(tanh(u +c2))^2 ) 5.2)y =-1 +u tanh(u +c2)6.2)u tanh(u +c2) =y +16.1)x =u^2 -(y +1)^27)u^2 =x +(y +1)^28.1)x =(x +(y +1)^2)( 1 -(tanh(u +c2))^2 )9)x(tanh(u +c2))^2 =( (y +1)/cosh(u +c2) )^210) (y +1)^2 =x(sinh( sqrt(x +(y +1)^2) +c2 ))^220)Hard

2020.01.18

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初等関数で解ける難しい微分方程式

0)初等関数で解ける難しい微分方程式English by Google1)tan^(-1)(dy/dx) -1/2 ( tan^(-1)(y/(x +c)) +tan^(-1)(y/(x -c)) ) =π/21.1)xy(dy/dx)^2 +(x^2 -y^2 -c^2)dy/dx -xy =0 --> (4)2)dy/dx =sin(2y) +e^(-x)3)2xy dy/dx +y +x +1 =04) ( x^2 e^x +2(y +y^2)e^y )dy/dx +2(x +x^2)e^x +y^2 e^y =010)cosx d^2y/dx^2 -sinx dy/dx -y/cosx =0, =f(x)11)x(x^2 +1)d^2y/dx^2 +2(x^2 -1)dy/dx -2xy =f(x)20)d^2y/dx^2 +dy/dx +e^(2y) +1 =030)難しい微分方程式解法集31)微分方程式解法集1

2020.01.13

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∂u/∂t =a∂^2u/∂x^2 +b∂u/∂x +cu

0)∂u/∂t =a∂^2u/∂x^2 +b∂u/∂x +cu1)u =e^(a1 x) vとする。1.1)e^(a1 x) ∂v/∂t=ae^(a1 x) (∂^2v/∂x^2 +2a1 ∂v/∂x +a1^2 v)+be^(a1 x) (∂v/∂x +a1 v)+ce^(a1 x) v2.0)2a a1 +b =0となるa1を選ぶ。a1 =-b/(2a)2.1)∂v/∂t=a∂^2v/∂x^2 +c1 v, (c1 =a a1^2 +b a1 +c)3)v =e^(a2 t) wとする。3.1)e^(a2 t) (∂w/∂t +a2 w) =ae^(a2 t) (∂^2w/∂x^2 +c1 w)4)a2 =c1とする。4.1)∂w/∂t =∂^2w/∂x^25)w(x,t)をxについてフーリエ変換した関数をy(ω,t)とする。5.1)w(x,t) = ∫[-∞,∞] y(ω,t) e^(iωx) dω5.2) ∫[-∞,∞] ∂y(ω,t)/∂t e^(iωx) dω = ∫[-∞,∞] y(ω,t) (-ω^2) e^(iωx) dω6)∂y(ω,t)/∂t =-ω^2 y(ω,t)7)y =c2(ω) e^(-ω^2 t)8)w = ∫[-∞,∞] c2(ω) e^(-ω^2 t) e^(iωx) dω9)u =e^(a1 x +a2 t) ∫[-∞,∞] c2(ω) e^(-ω^2 t) e^(iωx) dω10)参考:∂u/∂t +c∂u/∂x =k∂^2u/∂x^211)難しい微分方程式解法集 (Hard)

2018.08.10

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2xd^2y/dx^2 +(x +1)dy/dx +3y =0

0)2xd^2y/dx^2 +(x +1)dy/dx +3y =01)x =t^nとする。1.1)2t^n 1/n t^(1-n) d(1/n t^(1-n) dy/dt)/dt +(t^n +1) 1/n t^(1-n) dy/dt +3y =02)2/n^2 t^(2-n) d^2y/dt^2 +(1/n t +(2 -n)/n^2 t^(1-n)) dy/dt +3y =03)2 -n =0となるnを選ぶ。n =23.1)d^2y/dt^2 +t dy/dt +6y =04)y =e^f(t) zとする。4.1)e^f ( d^2z/dt^2 +2f’ dz/dt +(f” +f’^2)z )+te^f (dz/dt +f’ z)+6e^f z =05)f’^2 +tf’ =0となるfを選ぶ。f’ =-t, f=-t^2/25.1)d^2z/dt^2 -tdz/dt +5z =06)t =auとする。6.1)d^2z/du^2 -a^2 udz/du +5a^2 z =07)a^2 =2となるaを選ぶ。a =sqrt(2)7.1)d^2z/du^2 -2udz/du +10z =08)z =c1 H5(u) +c2 h5(u)8.1)H5, h5:エルミート関数8.2)片方はエルミート多項式で表せる。8.2.1)H5(u) =32u^5 -160u^3 +120u9)y =e^(-x/2) ( c1 H5(sqrt(x/2)) +c2 h5(sqrt(x/2)) )9.1)y =e^(-x/2) ( c3 sqrt(x) (x^2 -10x +15) +c2... )10)参考xd^2y/dx^2 +(x +4)dy/dx +3y =f(x)11)Others難しい微分方程式解法集

2018.07.18

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∂^2u/∂x∂y +k∂u/∂x =f(x,y)

0)∂^2u/∂x∂y +k∂u/∂x =f(x,y)0.1)f:既知関数 1)∂u/∂y +ku = ∫ f(x,y) dx +g(y)1.1)g:任意関数2)u =e^(ay) vとする。2.1)e^(ay) ∂v/∂y +ae^(ay) v +ke^(ay) v = ∫ f(x,y) dx +g(y)3)a +k =0となるaを選ぶ。a =-k4)∂v/∂y =e^(ky) ( ∫ f(x,y) dx +g(y) )5)v = ∫ e^(ky) ∫ f(x,y) dx dy + ∫ e^(ky) g(y) dy +h(x)5.1)h:任意関数 6)u =g1(y) +e^(-ky) h(x) +e^(-ky) ∫ e^(ky) ∫ f(x,y) dx dy 10)Others(難しい微分方程式解法集)

2018.06.13

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d^2y/dx^2 +( 4x^2 -3/(4x^2) )y =f(x)

0)d^2y/dx^2 +( 4x^2 -3/(4x^2) )y =f(x)1)x =sqrt(t)とする。1.1)2sqrtt d( 2sqrtt dy/dt )/dt +( 4t -3/(4t) )y =f(sqrtt)2)4td^2y/dt^2 +2dy/dt +( 4t -3/(4t) )y =f3)y =t^n zとする。3.1)4t( t^n d^2z/dt^2 +2nt^(n-1) dz/dt +n(n-1)t^(n-2) z )+2( t^n dz/dt +nt^(n-1) z )+( 4t -3/(4t) ) t^n z =f4)4t^2 d^2z/dt^2 +(8n +2)t dz/dt +( 4t^2 +4n^2 -2n -3/4) z =t^(1-n) f5)8n +2 =0となるnを選ぶ。n =-1/45.1)d^2z/dt^2 +z =1/(4t^(3/4)) f6)z =sint ∫ 1/(sint)^2 ∫ sint 1/(4t^(3/4)) f(sqrtt) dt dt6.1)参考( d^2y/dx^2 +2dy/dx +5y =f(x) )7)y =1/sqrtx ( c1 sin(x^2) +c2 cos(x^2) +sin(x^2) ∫ [0,x^2] 1/(sint)^2 ∫ sint 1/(4t^(3/4)) f(sqrtt) dt dt )10)難しい微分方程式解法集 (Hard)

2018.04.22

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2ベクトルで表わせる平行四辺形の面積

0)2ベクトルで表わせる平行四辺形の面積1)2つのベクトルを(a,b),(c,d)として平行四辺形(0,0),(a,b),(a+c,b+d),(c,d)とすると、その面積はad-bcである。なぜか?2)とりあえず、a,b,c,dが正の場合で(a,b)が(c,d)の右下にある時を考える。3)X軸とベクトル(a,b)の間の直角三角形を、平行四辺形の上から取ってくる。4)Y軸とベクトル(c,d)の間の直角三角形を、平行四辺形の右から取ってくる。5)この時、面積adから足らない(2回は取れない)のが、右上の長方形の面積bc座標で書くと以下のとおりです。3)直角三角形(0,0),(a,0),(a,b)を平行四辺形の上(c,d),(c+a,d),(c+a,d+b)から取ってくる。4)直角三角形(0,0),(0,d),(c,d)を平行四辺形の右(a,b),(a,b+d),(a+c,b+d)から取ってくる。5)面積adの長方形(0,0),(a,0),(a,d),(0,d)、右上の長方形は(a,d),(a+c,d),(a+c,d+b),(a,d+b))戻る

2017.06.14

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任意の三角形と等積な正三角形

1)任意の三角形ABCの最も長い辺をABとし底辺とする(考えやすいので)。2)辺ABを一辺とする正三角形をC側に作り頂点をDとする。(正三角形はABD)3)点Cを通るABに平行な線を引き，BDとの交点をEとする。(三角形ABEは，等積で角ABEが60度の三角形)4)DとEの中点をFとする。5)DEを直径とする円を描く。(中心F)6)BFを直径とする円を描き，(5)の円との交点をGとする(上下どちらでも良い)。7)Bを中心として半径BGの円を描き、辺BDとの交点をHとする。8)Hから辺ADと平行線な線を引き、辺ABとの交点をIとする。9)正三角形AHIは，三角形ABCと等積な正三角形です。戻る

2017.06.14

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dy/dx =x^2 +3z, dz/dx =x^2 -3y

0.1)dy/dx =x^2 +3z0.2)dz/dx =x^2 -3y1.1)d^2y/dx^2 =2x +3dz/dx2) (1.1)に(0.2)を代入2.1)d^2y/dx^2 =2x +3(x^2 -3y)3)d^2y/dx^2 +9y =3x^2 +2x4)解法は下記を参照d^2y/dx^2 +2dy/dx +5y =f(x)4.1)y =cos(3x) ∫ ( cos(3x) )^(-2) ∫ cos(3x) (3x^2 +2x) dx dx5)y =c1 cos(3x) +c2 sin(3x) +x^2 /3 +2x /9 -2/276) (0.1)より6.1)z =(dy/dx -x^2)/37)z =c2 cos(3x) -c1 sin(3x) -x^2 /3 +2x /9 +2/2710)Others難しい微分方程式解法集 (Hard)

2017.06.14

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dy/dx +a/y =2bx, ... =-b/x^2

1.0)dy/dx +a/y -2bx =01.1)dy/dx -2bx =dz/dxとする。(y =z +bx^2)1.1.1)dz/dx +a/(z +bx^2) =01.2)dx/dz +(b/a) x^2 +(1/a) z =01.2.1)解法は、下記を参照(y <--x, x <--z, a1 =b/a, a2 =1/a, n=1)dy/dx +a1 y^2 +a2 x^n =02.0)dy/dx +a/y +b/x^2 =02.1)dy/dx +b/x^2 =dz/dxとする。(y =z +b/x)2.1.1)dz/dx +a/(z +b/x) =02.2)dx/dz +(b/a) 1/x +(1/a) z =02.2.1)解法は、(1.0)と同じ。(y <--x, x <--z, a <-- b/a, -2b <-- 1/a)OthersHard

2017.06.14

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fa =ma d^2xa/dt^2, fb =mb d^2xb/dt^2, fa =-fb =k(xb -xa -a)

1.0.1)fa =ma d^2xa/dt^21.0.2)fb =mb d^2xb/dt^21.0.3)fa =-fb =k(xb -xa -a)1.1.1)ma d^2xa/dt^2 =k(xb -xa -a)1.1.2)mb d^2xb/dt^2 =-k(xb -xa -a)2.1)X =(ma xa +mb xb) /(ma +mb)2.2)d^2X/dt^2 =(ma d^2xa/dt^2 +mb d^2xb/dt^2) /(ma +mb)2.3)d^2X/dt^2 =03.0)x =xb -xa3.1)xb =xa +x3.2.1)ma d^2xa/dt^2 =k(x -a)3.2.2)mb d^2xa/dt^2 +mb d^2x/dt^2 =-k(x -a)3.3)mb d^2x/dt^2 +(1 +mb/ma) k(x -a) =03.4)d^2x/dt^2 +(1/ma +1/mb) k(x -a) =0Return

2017.06.14

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d^2x/dt^2 -2/y dx/dt dy/dt =0, d^2y/dt^2 +((dx/dt)^2 /y -(dy/dt)^2)/y =0

0.1)d^2x/dt^2 -2/y dx/dt dy/dt =00.2)d^2y/dt^2 +( (dx/dt)^2 /y -(dy/dt)^2 ) /y =01)dx/dt =uとする。1.1)du/dt -2u/y dy/dt =01.2)d^2y/dt^2 +( u^2 /y -(dy/dt)^2 ) /y =01.1.1)u =0の時1.2.1) (3.1)でC=02.1)1/u du/dt =2/y dy/dt3.1)u =C y^24.2)d^2y/dt^2 -(dy/dt)^2 /y =-C^2 y^25.2)下記を参照 (a =-1, f(y) =-C^2 y^3)y d^2y/dx^2 +a (dy/dx)^2 =f(y)6.2) ∫ y^(-1) /sqrt(2 ∫ -C^2 dy) dy =t7)yを求めて、(3.1),(1)からxを求める。Return

2017.06.14

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(1 -xy) dy/dx =(x +y)y

0) (1 -xy)dy/dx =(x +y)y1) (x +y)ydx/dy =1 -xy1.1)x =w +ayとする。2) (w +(1 +a)y)y(dw/dy +a) =1 -(w +ay)y2.1) (w +(1 +a)y)ydw/dy =-awy -a(1 +a)y^2 +1 -wy -ay^23)a +1 =0となるaを選ぶ。a =-13.1)wy dw/dy =y^2 +13.2)y =04)wdw/dy =y +1/y5)w^2 /2 =y^2 /2 +logy +c6)y^2 +2logy -(x +y)^2 =C7)2logy -2xy -x^2 =COthersHard

2017.06.14

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dy/dx =(2x -y) /(2x -y +1)

0)dy/dx =(2x -y) /(2x -y +1)1)dx/dy =1 +1/(2x -y)2)2x =w +yとする。2.1)dw/dy +1 =2(1 +1/w)3)w /(w +2) dw/dy =14) ( 1 -2 /(w +2) ) dw/dy =15)w -2log(w +2) =y +c6)x -y -log(2x -y +2) =CReturn

2017.06.14

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y(t) - ∫[0,t] e^(t-u) y(u) du =f(t)

0)y(t) - ∫[0,t] e^(t-u) y(u) du =f(t)1)e^(-t) y(t) - ∫[0,t] e^(-u) y(u) du =e^(-t) f(t)2)両辺をtで微分する。2.1)e^(-t) dy/dt -e^(-t) y -e^(-t) y =-e^(-t) f(t) +e^(-t) f'(t)3)dy/dt -2y =-f(t) +f'(t), y(0) =f(0)4)y =e^(at) zとする。4.1)e^(at) dz/dt +ae^(at) z -2e^(at) z =-f(t) +f'(t)5)a -2 =0となるaを選ぶ。a =25.1)dz/dt =e^(-2t) (-f(t) +f'(t))6)y =e^(2t) ∫ e^(-2t) (-f(t) +f'(t)) dt7)y =f(t) +e^(2t) ∫ e^(-2t) f(t) dt8)y =f(t) + ∫[0,t] e^(2(t -u)) f(u) duOthersHard

2017.06.14

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dy/dx +a1 y^2 +a2 x^n =0

0)dy/dx +a1 y^2 +a2 x^n =01)y =b(dz/dx)^m z^Kとする。1.1)bm(dz/dx)^(m-1) d^2z/dx^2 z^K +bK(dz/dx)^(m+1) z^(K-1) +a1 b^2 (dz/dx)^(2m) z^(2K) +a2 x^n =02)m +1 =2m, K -1 =2K, bK +a1 b^2 =0となるm,K,bを求める。m =1, K =-1, b =1/a12.1)y =1/a1 (dz/dx)/z3)d^2z/dx^2 +a1 a2 x^n z =03.1)n =-2の時は、下記を参照d^2f/dr^2 -2/r^2 f =k r^4dy/dt +y^2 =1/t^23.2)解法は、下記を参照d^2y/dx^2 +ax^n y =0, (a =a1 a2) 4)z =sqrt(x) ( C1 Jk(t) +C2 Yk(t) ) ( Jk, Yk :k次の第1種、第2種(複素)ベッセル関数)4.1)k =1 /(n +2)4.2)t =2sqrt(a1 a2) /(n +2) x^(n/2 +1)5)y =1/(2a1 x) +sqrt(a2 /a1) x^(n/2) ( Jk'(t) +C Yk'(t) ) /( Jk(t) +C Yk(t) )OthersHard

2017.06.14

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微分方程式で特異解が求まる場合

English by Google1)f(dy/dx, y, x) g(y, x) =01.1)f(dy/dx, y, x) =0 or g(y, x) =0 (特異解)1.2)特異解は求まることがある。1.3)y =xdy/dx +sqrt(1 +(dy/dx)^2)2)f(dy/dx, y, x) =g(y, x)2.1.1)f( d(g^(-1)(0, x))/dx, g^(-1)(0, x), x ) =0 --> g(y, x) =0 (特異解)2.1.2)f(dy/dx, y, x) /g(y, x) =12.2)x (dy/dx)^2 -2y dy/dx +4x =0Others非斉次方程式の特殊解は求まる。

2017.06.14

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d^2y/dt^2 -t dy/dt +y =f(t)

0)d^2y/dt^2 -t dy/dt +y =f(t)1)y =t^n zとする。1.1)t^n d^2z/dt^2 +2nt^(n -1) dz/dt +n(n -1)t^(n-2) z-t^(n +1) dz/dt -nt^n z+t^n z =f(t)2)n -1 =0となるnを選ぶ。n =12.1)td^2z/dt^2 +(-t^2 +2) dz/dt =f(t)3)dz/dt =wとする。3.1)tdw/dt +(-t^2 +2)w =f(t)4)w =e^g(t) vとする。4.1)te^g(t) (dv/dt +g'(t)v) +e^g(t) (-t^2 +2)v =f(t)5)tg'(t) -t^2 +2 =0となるg(t)を選ぶ。g'(t) =t -2/t, g(t) =t^2 /2 -2logt5.1)dv/dt =te^(-t^2/2) f(t)6)y =t ∫ 1/t^2 e^(t^2/2) ∫ te^(-t^2/2) f(t) dt dtOthersHard

2017.06.14

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(a(e) dr(e)) /(r(e) da(e)) =s(e) (s:既知関数)

0) (a(e) dr(e)) /(r(e) da(e)) =s(e) (s:既知関数)0.1) (a dr/de) /(r da/de) =s1)1/r dr/de =s/a da/de2)両辺をeで積分2.1)logr = ∫ s/a da/de de2.2)r =exp( ∫ s/a da/de de )3) (2.1)の1/a daを部分積分3.1)logr =s loga - ∫ loga ds/de de3.2)r =a^s /exp( ∫ loga ds/de de )Return

2017.06.14

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d^2y/dx^2 +ax^n y =0

0)d^2y/dx^2 +ax^n y =01)x =(bt)^mとする。1.1)1/(b^m mt^(m-1)) d( 1/(b^m mt^(m-1)) dy/dt )/dt +a(bt)^(mn) y =02)d^2y/dt^2 +(1 -m)/t dy/dt +ab^(mn +2m) m^2 t^(mn +2m -2) y =03.1)n =-2の時は、下記を参照d^2f/dr^2 -2/r^2 f =k r^43.2)mn +2m -2 =0となるmを選ぶ。m =2/(n +2)3.3)ab^2 (2/(n +2))^2 =1となるbを選ぶ。b =(n +2)/(2sqrta)3.4)d^2y/dt^2 +n/(n +2) 1/t dy/dt +y =04)y =t^k zとする。4.1)t^k d^2z/dt^2 +2kt^(k-1) dz/dt +k(k -1)t^(k-2) z +n/(n +2) ( t^(k-1) dz/dt +kt^(k-2) z) +t^k z =05)d^2z/dt^2 +(2k +n/(n +2)) /t dz/dt +k(k -2/(n +2)) /t^2 z +z =06)2k +n/(n +2) =1となるkを選ぶ。k =1 /(n +2)6.1)d^2z/dt^2 +1/t dz/dt +(1 -1 /(n +2)^2 1/t^2) z =07)z =c1 Jk(t) +c2 Yk(t) ( Jk, Yk :k次の第1種、第2種(複素)ベッセル関数)8)y =sqrt(x) ( C1 Jk(t) +C2 Yk(t) )8.1)k =1 /(n +2)8.2)t =x^(1/m) /b =2sqrt(a) /(n +2) x^(n/2 +1) OthersHard

2017.06.14

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dx/dt =(e^(-x) +1) /(t +1), dx/dt =e^(-x/t) +x/t +1

1.0)dx/dt =(e^(-x) +1) /(t +1)1.1)e^x /(e^x +1) dx/dt =1 /(t +1)1.2)1 /(e^x +1) de^x /dt =1 /(t +1)1.3)log(e^x +1) =log(t +1) +c1.4)e^x +1 =C(t +1)2.0)dx/dt =e^(-x/t) +x/t +12.1)x/t =yとする。x =ty2.2)tdy/dt +y =e^(-y) +y +12.3)tdy/dt =e^(-y) +12.4)e^y /(e^y +1) dy/dt =1 /t2.5)log(e^y +1) =logt +c2.6)e^(x/t) +1 =CtReturn

2017.06.13

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dx/dt -dy/dt +x =t, dx/dt -x +y =t^2

0.1)dx/dt -dy/dt +x =t0.2)dx/dt -x +y =t^21.2)d^2x/dt^2 -dx/dt +dy/dt =2t2) (1.2) +(0.1)2.2)d^2x/dt^2 +x =3t3)下記を参照d^2y/dx^2 +2dy/dx +5y =f(x)3.1)x =sint ∫ (sint)^(-2) ∫ sint 3t dt dt4) (3.1)を(0.2)に代入してyを求める。Return

2017.06.13

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dy1/dx =2y1 -3y2 +3cosx, dy2/dx =y1 -2y2 -sinx

0.1)dy1/dx =2y1 -3y2 +3cosx0.2)dy2/dx =y1 -2y2 -sinx1) (0.1) -(0.2)1.1)dy1/dx -dy2/dx =y1 -y2 +3cosx +sinx2)y1 -y2 =zとする。3)dz/dx =z +3cosx +sinx4) (2)のy1( =y2 +z)を求めて、(0.2)に代入する。4.1)dy2/dx =-y2 +z -sinx5) (3)でzを解く。6) (4.1)にzを代入してy2を解く。7)y1 =y2 +zReturn

2017.06.13

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(ax +by) dy/dx =y

0) (ax +by) dy/dx =y1)ax /y +b =dx/dy2)x =yzとする。3)az +b =y dz/dy +z4)y dz/dy =(a -1) z +b5)1/( z +b /(a -1) ) dz/dy =(a -1) /y6)log( z +b /(a -1) ) =(a -1)logy +c7)z +b /(a -1) =C y^(a-1)8)C y^a -b/(a -1) y =xReturn

2017.06.13

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dx/dt +x -y =0, dy/dt +y -4z =0, dz/dt -x +4z =0

0.1)dx/dt +x -y =00.2)dy/dt +y -4z =00.3)dz/dt -x +4z =01) (0.1) +(0.2) +(0.3)1.1)d(x +y +z)/dt =02)x +y +z =c3) (2)のxを(0.3)に代入3.3)dz/dt +y +5z =c4.3)y =-dz/dt -5z +c5.2)-d^2z/dt^2 -5dz/dt -dz/dt -5z +c -4z =06)d^2z/dt^2 +6dz/dt +9z =c7)z =e^(at) wとする。7.1)e^(at) (d^2w/dt^2 +2a dw/dt +a^2 w)+e^(at) (6dw/dt +6aw)+e^(at) 9w =c8)a^2 +6a +9 =0となるaを選ぶ。a =-39)d^2w/dt^2 =ce^(3t)10)z =e^(-3t) ∫ ∫ ce^(3t) dt dt11)yを(4.3)から、xを(2)から求める。OthersHard

2017.06.13

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d^3x/dt^3 +d^2x/dt^2 =f(t)

0)d^3x/dt^3 +d^2x/dt^2 =f(t)1)dx/dt +x =∫ ∫ f(t) dt dt2)x =e^(at) yとする。3)e^(at) dy/dt +ae^(at) y +e^(at) y =∫ ∫ f(t) dt dt4)a +1 =0となるaを選ぶ。a =-15)dy/dt =e^t ∫ ∫ f(t) dt dt6)x =e^(-t) ∫ e^t ∫ ∫ f(t) dt dt dtReturn

2017.06.13

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x dy/dx +ay =f(x)

0)x dy/dx +ay =f(x)1)y =x^n zとする。2)x^(n +1) dz/dx +nx^n z +ax^n z =f(x)3)n +a =0となるnを選ぶ。(n =-a)4)x^(-a +1) dz/dx =f(x)5)dz/dx =x^(a -1) f(x)6)y =x^(-a) ∫ x^(a -1) f(x) dxReturn

2017.06.13

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dy/dx +axy =f(x), (dy/dx +2xy =1 -x^2)

0)dy/dx +axy =f(x)1)x =t^nとする。2)1/n t^(1-n) dy/dt +at^n y =f(t^n)3)1 -n =nとなるnを選ぶ。n =1/24)dy/dt +any =nt^(n-1) f(t^n)5)y =e^(bt) zとする。6)e^(bt) dz/dt +be^(bt) z +an e^(bt) z =nt^(n-1) f(t^n)7)b +an =0となるbを選ぶ。b =-an (=-a/2)8)dz/dt =ne^(ant) t^(n-1) f(t^n)9)y =1/2 e^(-at/2) ∫ e^(at/2) t^(-1/2) f( t^(1/2) ) dtただし、t=x^2Return10)dy/dx +2xy =1 -x^211)x =t^nとする。11.1)1/(nt^(n-1)) dy/dt +2t^n y =1 -t^(2n)12)1 -n =nとなるnを選ぶ。n =1/212.1)dy/dt +y =1/2 (1 -t)/sqrt(t)13)y =e^(at) zとする。13.1)e^(at) (dz/dt +az) +e^(at) z =1/2 (1 -t)/sqrt(t)14)a +1 =0となるaを選ぶ。a =-114.1)dz/dt =1/2 e^t (1 -t)/sqrt(t)15)z =1/2 ∫ e^t (1/sqrt(t) -sqrt(t) ) dt16)y =1/2 e^(-t) ( ∫ e^t /sqrt(t) dt - ∫ e^t sqrt(t) dt )17)y =1/2 e^(-t) ( ∫ e^t /sqrt(t) dt - e^t sqrt(t) + ∫ e^t /(2sqrt(t)) dt )18)y =-1/2 sqrt(t) +3/4 e^(-t) ∫ e^t /sqrt(t) dt 19)y =-x/2 +3/2 e^(-x^2) ∫ e^x^2 dxHard

2017.06.13

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(dx/dt)^3 +a(dx/dt)^2 +bx =0

0) (dx/dt)^3 +a(dx/dt)^2 +bx =01)tで微分、dx/dt =vとする。1.1) 3v^2 dv/dt +2av dv/dt +bv =02)v(3v dv/dt +2a dv/dt +b) =02.1)v =0 -> x =c -> x =03) (3v +2a) dv/dt +b =04)3/2 v^2 +2av +bt +c =05)v^2 +2Av +Bt +C =06)dx/dt =-A +-sqrt(A^2 -C -Bt)7) (6)を(0)に代入してxを求める。OthersHard

2017.06.13

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dy/dx =x^a y +f(x)

0)dy/dx =x^a y +f(x)1)x =t^nとする。2)1 /(nt^(n -1)) dy/dt =t^(an) y +f(t^n)3)dy/dt =nt^((a +1)n -1) y +nt^(n-1) f(t^n)4) (a +1)n -1 =0となるnを選ぶ。n =1 /(a +1)5)dy/dt =ny +nt^(n-1) f(t^n)6)y =e^(bt) zとする。7)e^(bt) dz/dt +be^(bt) z =ne^(bt) z +nt^(n-1) f(t^n)8)b =n( =1 /(a +1) )を選ぶ。9)dz/dt =ne^(-nt) t^(n-1) f(t^n)10)y =ne^(nt) ∫ e^(-nt) t^(n-1) f(t^n) dtただし、n =1 /(a +1)、t =x^(a +1)Return

2017.06.13

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立体・図形

正四面体の合同2分割(正六面体〜は?)正四面体のような等幅立体任意の三角形と等積な正三角形任意の四角形の面積2等分任意の四角形の各辺外側にある正方形の中心点間の交線2ベクトルで表わせる平行四辺形の面積鏡は左右反転で上下反転しない2.5角形と-1角形正方形ゴムの90度ねじりループ半円柱の3等分おまけ:微分方程式

2017.06.13

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y d^2y/dx^2 +a (dy/dx)^2 =f(y)

0)y d^2y/dx^2 +a (dy/dx)^2 =f(y)1)dy/dx =vとする。2)yv dv/dy +av^2 =f(y)3)下記を参照xy dy/dx +ay^2 =f(x)4)v =y^(-a) sqrt( 2 ∫ y^(2a -1) f(y) dy )5) ∫ y^a /sqrt( 2 ∫ y^(2a -1) f(y) dy ) dy =x10)yd^2y/dx^2 -(dy/dx)^2 =ky(y^2 -1)10.1)d^2z/dx^2 =2k sinhzOthersHard

2017.06.13

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dx/dt =k /(a -(x -y)), dy/dt =k /(x-y)

0.1)dx/dt =k /(a -(x -y))0.2)dy/dt =k /(x-y)1) (0.1)-(0.2)1.1)dx/dt -dy/dt =k( 1/(a -(x -y)) -1/(x -y) )2)x -y =zとする。3)dz/dt =k ( 1/(a-z) -1/z )4)z(a -z) /(2z -a) dz/dt =k5) ( a2 z +a1 +a0 /(2z -a) ) dz/dt =kOthersHard

2017.06.13

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dQ/dt =f cosQ tanP, dP/dt =-f sinQ

0.1)dQ/dt =f cosQ tanP0.2)dP/dt =-f sinQ1.1)tanQ dQ/dt =f sinQ tanP1.2)tanP dP/dt =-f sinQ tanP2)tanQ dQ/dt +tanP dP/dt =03)log(cosQ) +log(cosP) =C14)cosQ cosP =c15)dP/dt =-+f sqrt(1 -(cosQ)^2)6)dP/dt =-+f sqrt(1 -c1^2 /(cosP)^2 )7)dsinP/dt =-+f sqrt(1 -(sinP)^2 -c1^2)8)sinP=uとする。9)du/dt =-+f sqrt(1 -c1^2 -u^2)OthersHard

2017.06.13

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md^2x/dt^2 +b(dx/dt) |dx/dt| +mg =0

1.0.1)f =ma1.0.2)a =dv/dt1.0.3)v =dx/dt1.0.4)f =fv +fg1.0.5)fv =-bv |v|1.0.6)fg =-mg1.0.7)md^2x/dt^2 +b(dx/dt) |dx/dt| +mg =0 1.1.0)d^2x/dt^2 +b/m (dx/dt) |dx/dt| +g =01.1)dx/dt =vで、b/m =kとする。1.1.1)dv/dt +k v |v| +g =01.2)1/(1 +k/g v |v|) dv/dt =-g1.3)k/g =n^2 (n >= 0)とする。1.3.1)v >= 0の時1.3.1.1)tan^(-1)(nv) =-ngt +c1.3.1.2)nv =tan(c -ngt)1.3.2)v < 0の時1.3.2.1)log(1 +nv) -log(1 -nv) =-2ngt +c1.3.2.2)nv =( Ce^(-2ngt) -1 ) /( Ce^(-2ngt) +1 ) ( =tanh(c -ngt) )1.3.2.3)参考md^2x/dt^2 =mg -a(dx/dt)^22.0.1)f =ma2.0.2)a =dv/dt2.0.3)v =dx/dt2.0.4)f =fv +fk2.0.5)fk =-kx2.0.6)fv =-rv2.0.7)md^2x/dt^2 +rdx/dt +kx =02.1.0)d^2x/dt^2 +2adx/dt +b^2 x =02.1)x =e^(ft) yとする。2.1.1)e^(ft) (d^2y/dt^2 +2fdy/dt +f^2 y)+e^(ft) (2ady/dt +2af y)+e^(ft) b^2 y =02.2)2f +2a =0となるfを選ぶ。f =-a2.2.1)d^2y/dt^2 +(b^2 -a^2) y =02.3)y =sin(gx) zとする。2.3.1)sin(gx) d^2z/dt^2 +2g cos(gx) dz/dt -g^2 sin(gx) z+(b^2 -a^2) sin(gx) z =02.4)-g^2 +b^2 -a^2 =0となるgを選ぶ。g =sqrt(b^2 -a^2)2.4.1)sin(gx) d^2z/dt^2 +2g cos(gx) dz/dt =02.5)dz/dt =wとする。2.5.1)sin(gx) dw/dt +2g cos(gx) w =02.6)w =(sin(gx))^n vとする。2.6.1) (sin(gx))^(n+1) dv/dx +ng(sin(gx))^n cos(gx) v +2g cos(gx) (sin(gx))^n v =02.7)n +2 =0となるnを選ぶ。n =-22.7.1)dv/dx =02.8)x =e^(-at) sin(gx) ∫ (sin(gx))^(-2) ∫ 0 dx dx2.9)x =e^(-at) (Csin(gx) +ccos(gx))2.10)参考d^2y/dx^2 +2dy/dx +5y =f(x)OthersHard

2017.06.13

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x dy/dx =y +a sqrt(x^2 +y^2)

0)x dy/dx =y +a sqrt(x^2 +y^2)1)y =xzとする。2)x dz/dx +z =z +a sqrt(1 +z^2)3)1 /sqrt(1 +z^2) dz/dx =a /x4)sinh^-1(z) =a logx +c5)z =+-( Cx^a -1/(Cx^a) )/26)y =+-( Cx^(a +1) -1/(Cx^(a -1)) ) /2 OthersHard関連:dy/dx =-y +sqrt(y^2 +ax)

2017.06.12

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a ∂v/∂t =b^2 ∂^2v/∂x^2 -v +ci (i:既知関数)

0)a ∂v/∂t =b^2 ∂^2v/∂x^2 -v +ci0.1)i:既知関数1)v(x,t) = ∫[-∞,∞] U(ω,t) e^(jωx) dωとする。1.1)a ∂/∂t ∫[-∞,∞] U(ω,t) e^(jωx) dω =(b^2 ∂^2/∂x^2 -1) ∫[-∞,∞] U(ω,t) e^(jωx) dω +c ∫[-∞,∞] H(ω,t) e^(jωx) dω2)∂^2/∂x^2の項を考える。2.1)∂^2/∂x^2 ∫[-∞,∞] U(ω,t) e^(jωx) dω2.2) ∫[-∞,∞] U(ω,t) ∂^2/∂x^2 e^(jωx) dω2.3) ∫[-∞,∞] U(ω,t) (-ω^2) e^(jωx) dω3)a dU/dt =(-b^2 ω^2 -1)U +cH4)U =e^(ft) Wとする。4.1)a e^(ft) dW/dt +af e^(ft) W =-(b^2 ω^2 +1) e^(ft) W +cH5)af =-(b^2 ω^2 +1)となるようにfを選ぶ。(f =-(b^2 ω^2 +1) /a)6)dW/dt =c/a e^(-ft) H7)U =c/a e^(ft) ∫ e^(-ft) H dtOthersHard

2017.06.12

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正四面体の合同2分割(正六面体〜は?)

0)正四面体の平面による合同2分割1)正四面体の各頂点をABCDとする。2.1)ABの中点をEとする。2.2)3角形CDEで分割する。2.3)4面体ACDEとBDCEは合同となる。3.1)辺AB,BC,CD,DAの中点をE,F,G,Hとする。3.2)正方形EFGHで分割する。3.3)5面体ACFGHEとBDHGFEは合同となる。4)正六面体を平面で合同2分割する時、違う形は何通りできるか? (3通り、4通り、5通り以上)5)正八面体、正十二面体、正二十面体では?Return

2017.06.12

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xy dy/dx +ay^2 =f(x)

0)xy dy/dx +ay^2 =f(x)1)x dy^2/dx +2ay^2 =2f(x)2)y^2 =zとする。3)x dz/dx +2az =2f(x)4)z =x^n wとする。5)x^(n +1) dw/dx +nx^n w +2ax^n w =2f(x)6)n +2a =0となるnを選ぶ。n =-2a7)x^(-2a +1) dw/dx =2f(x)8)w =2 ∫ x^(2a -1) f(x) dx9)y =x^(-a) sqrt( 2 ∫ x^(2a -1) f(x) dx )OthersHard

2017.06.12

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cosx dy/dx -sinx y =f(x)

0)cosx dy/dx -sinx y =f(x)1)y =(cosx)^n zとする。2)(cosx)^(n+1) dz/dx -n(cosx)^n sinx z -sinx (cosx)^n z =f(x)3)-n -1 =0となるnを選ぶ。n =-14)dz/dx =f(x)5)y =1/cosx ∫ f(x) dxReturn

2017.06.12

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dx/dt =u, dy/dt =v -a, y/x =v/u, u^2 +v^2 =b^2

0.1)dx/dt =u0.2)dy/dt =v -a0.3)y/x =v/u0.4)u^2 +v^2 =b^21.3)v =y/x u1.1)dx/dt =u1.2)dy/dt =y/x u -a1.4) (1 +(y /x)^2 ) u^2 =b^22.4)u =b /sqrt(1 +(y /x)^2)2.1)dx/dt =b /sqrt(1 +(y /x)^2)2.2)dy/dt =b (y/x) /sqrt(1 +(y /x)^2) -a3)dy/dx =(dy/dt) /(dx/dt) =y/x -(a/b) sqrt(1 +(y/x)^2)4)下記を参照x dy/dx =y +a sqrt(x^2 +y^2)4.1)上記解をy =f(x)とする。5) (4.1)を(2.1)に代入する。5.1) sqrt( 1 +(f(x) /x)^2 ) dx/dt =bOthersHard

2017.06.12

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d^2v/dr^2 +1/r dv/dr =f(r)

0)d^2v/dr^2 +1/r dv/dr =f(r)1)dv/dr =wとする。2)dw/dr +w/r =f(r)3)w =r^n xとする。4)r^n dx/dr +nr^(n-1) x +r^(n-1) x =f(r)5)n +1 =0となるnを選ぶ。n =-16)1/r dx/dr =f(r)7)1/r d(rw)/dr =f(r)8)1/r d(r dv/dr)/dr =f(r)9)v = ∫ 1/r ∫ r f(r) dr dr Return

2017.06.12

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