最近作ったアニメーションGIFの見た目が気に入ったので，久しぶりに日記を書いてみる．



４月から新しい職場に勤務している．

その同僚から
「二次方程式が実数解を持たないときに解は虚数になるけど，実数解を持つ方程式から変形していって，解が虚数になる様子を目で見えるようにできないか？」
というような質問を受けた．

そのときに作ったアニメーションが上のやつ．

簡単な例を挙げてみる．

「x^2 - c = 0」という二次方程式は，c ＞ 0のときは 2 つの実数解を持つ．

c が 0 に近づくにつれて，2つの実数解の距離は小さくなり，
c = 0 のときは x = 0 という重解になる．

さらに c ＜ 0 が小さくなると，方程式の解は 2 つの虚数となり，
虚数軸方向に分裂していく．

x = s + t i (i は虚数単位)を複素平面上で考える．

二次方程式の左辺の絶対値 | x^2 - c | を z 軸方向の値として，
3次元のグラフとして表す．

すると，z = | x^2 - c | の値は正または零であるが，
x^2 - c = 0 となる点に限り | x^2 - c | = 0 となる．

添付の画像は c の値を時間と共に -1.5＜c＜1.5 の範囲で動かしたときの，
z = | (s + t i)^2 - c |のグラフの変動を表したものである．

グラフの一番くぼんだ点が2次方程式 x^2 - c = 0 の解である．

c を変化させるにつれて，実軸上の解が合流して虚数軸上に分岐していく，
また逆に虚数軸上の解が合流して実数上の解に分岐していく．

地球の大きさはどれくらいなのか，世界で始めて科学的に測定したのはエラトステネス(前276頃～前196頃)である．彼は地球を球体と考え，南北に位置する２地点の太陽高度の差と距離とから地球１周の長さをかなり正確に算出した．

この計測のために彼は人を歩かせ，アレクサンドリアとシエネ(現在のアスワン)の間の距離を5000スタディア(1スタディウム＝約185メートル，スタディアはスタディウムの複数形)つまり約 925km であると知った．また太陽高度の差は7.2度であり，925÷7.2×360 により地球１周の長さが約46000km と算出される．正確な値約 40000km と比べると誤差は小さくはないが，単位自体に誤差があることや計測方法など考えると，かなり良い値であるといえる．

なみに１スタディウムとは，日の出の最初の光を認めた一瞬に歩き始めた人が，日輪の下縁が水平線を離れる一瞬までに進む距離(太陽の視直径は約0.5度だから，２分間歩いた距離)を意味し，約180～200mと解されている．

アレクサンドリア・シエネ間を往復 1950km 歩かされた人はさぞかし大変だったろうと思うが，歴史に名は残っていない．

この計測方法はカーナビなどのGPS機器を用いると少ない移動距離で体験できる．南北に伸びる平坦な道で，2点間の緯度の差と距離を計測すればよい．緯度の差は「分」単位になるだろうが，60で割れば度数単位に変換できる．

GPSの精度を考えると数キロメートルの移動でエラトステネスの計算よりはるかに良い精度で地球１周の長さが計算できるだろう．また線型代数学を習った人なら，南北に伸びる道でなくとも，経緯を球面の極座標表示として３次元空間の位置ベクトルに変換し，内積を使って角度を計算すれば上記の方法が応用できる．

GPS機器を利用する方法は手軽に体験できるという点では楽しいが，GPS機器自体が地球に関するさまざまな知識の成果でもあり，いわば「反則」の雰囲気がある．またいずれにしてもキロメートル単位の移動は必要である．



今回紹介する計測方法は水平方向の移動が必要なく，GPSのような「魔法の道具」も必要ない．

エラトステネスは地球１周の長さを計測したが，我々は地球の半径を測る．

カギとなるのは水平線を眺めたときの高さの違いによる視差である．



異なる２つの高さから水平線を望むと水平線の高さが違って見える．点Ａから眺めたとき，それより高い点Ｂから眺めたのと比べて水平線の見える角度が高い(∠ＣＡHa ＞ ∠ＣＢHb)．この差∠ＣＡHa －∠ＣＢHb を水平線の視差ということにする．水平線の視差は ∠HaＯHb に等しい．水平線の視差の大きさは点Ａと点Ｂの高さだけでなく，地球の半径 R に依存する．

この関係を逆にたどることにより，点Ａと点Ｂの高さと水平線の視差から地球の半径を計測できるであろう．

ここで水平線の視差を測定することが必要であるが，そのために太陽とストップウォッチを使う．

まずは簡単のために赤道上で考える．つまり，上の図を地球を真北から見たと考え，円周を真上から見た赤道とする．例えば点Cに立ち，高さ BC=2m の点Bから東の空を眺め，朝日が昇る瞬間を待つ．朝日が見えた瞬間にしゃがみ，高さ AC=1m の点A から眺める．すると朝日は見えなくなるが，しばらくすると再び現れる．その時間差をストップウォッチで測るのだ．

太陽は24時間かけて天空を一定の速さで巡るので，時間差1秒に相当する角度は 360度÷24÷60÷60＝1/240 ≒ 0.0042(度) となり，ストップウォッチを使えば微小な角度まで測れることになる．

赤道上だと太陽は水平線に対して垂直に上るが，日本だと斜めになっている．その傾きは緯度と関係していて，例えば北緯35度なら垂直線から見て35度傾いた方向になっている．したがって，例えば北緯35度の場所では時間差1秒に相当する角度が cos(35度)×(1/240) ≒ 0.0034度 になる．北緯は北極星の位置から計測できる．

こうして微小な水平線の視差を測るための手段が手に入ったところで，地球の半径との対応について赤道半径6380kmに近い値が出る場合を表にすると，赤道上では
　時間差 → 地球の半径
　3.00秒 → 約7210km
　3.10秒 → 約6750km
　3.20秒 → 約6340km
　3.30秒 → 約5960km
　3.40秒 → 約5610km
という対応になり，北緯35度では
　3.70秒 → 約7060km
　3.80秒 → 約6700km
　3.90秒 → 約6360km
　4.00秒 → 約6040km
　4.10秒 → 約5750km
となる．

1/10秒単位まで計測できればエラトステネスの計算程度の精度で地球の大きさを測ることができそうだ．

ストップウォッチまで持ち出さなくとも，日の出や日の入りを眺めるときに３～４秒程度の時間差を感じることができれば，丸い地球の大きさを体感できたことになる．



以下は計算式の詳細：

水平線の視差∠ＣＡHa －∠ＣＢHb は ∠HaＯHb に等しいが，これをεとする．∠ＡＯHa を α とすると，∠ＣＢHb ＝ α ＋ ε である．以下では長さの単位はメートルとし，点Ａの高さＣＡを1メートル，点Ｂの高さＣＢを2メートルとする．

桃色の直角三角形ＣＡHaと黄色の直角三角形ＣＢHbに当てはめて，余弦函数を考えると，




となる．これを余弦函数の加法定理



に代入すると，



となる．こうして水平線の視差 ε と地球の半径 R の関係式が得られた．地球の半径 R の逆数を h (= 1/R) とすると，h は ε の函数として以下のように展開される．



こうして太陽とストップウォッチを利用して測った水平線の視差εから，地球の半径 R=1/h を計算することができる．

フルート・クラリネット・ピアノの三重奏を楽しむことになりました．

他の楽器とのアンサンブルはクラリネットアンサンブルとは違った楽しさがあるので，今からワクワクしています．

練習する曲はフォーレ作曲の組曲『ドリー』．
もともとは四手(１台のピアノを２人で演奏)のための曲．

1. Berceuse (子守歌)
2. mi-a-ou (ミ・ア・ウ)
3. Le jardin de Dolly (ドリーの庭)
4. Kitty-valse (キティのワルツ)
5. Tendresse (優しさ)
6. Le pas Espagnol (スペインの踊り)

「ドリー」は銀行家バルダック家の娘エレーヌの愛称．
フォーレが彼女の誕生日に捧げた曲が後にまとめられ，組曲『ドリー』となった．
可愛らしく，とても美しい曲たち．．．

～～

しかし，その背景には「昼ドラ」も真っ青なドロドロした世界があったようです．

ドリーの母，エンマはフォーレと愛人関係にあり，ドリーはフォーレの子どもではないかとも言われている．

ちなみに，エンマは後にドビュッシーと駆け落ちして結婚．
２人の間に生まれた子どもクロード=エンマのために，ドビュッシーは組曲『子供の領分』を作曲した．

二人の大作曲家に愛されたエンマはきっと魅力的な人だったのでしょう．彼女の家族は大変だったでしょうが，おかげで私たちは美しく愛らしい曲を楽しめているわけですね．