[ばーばの数学ノート]の記事一覧 | 60ばーばの手習い帳

▷数学Ⅲ51◁不定積分ーー三角関数の変形－－目が三角になる

　三角関数はsinとcos両方が入っていると解けないため2倍角の公式を用いてsinまたはcosどちらかだけの積分に変形します。　cosｘの２乗、sinｘの２乗は、ｘの２乗のように、累乗の公式を使えません。なので、sin２ｘまたはcos２ｘに変形します。　三角関数について今まで習ってきた公式をフル活用して解きます。　目が三角になります…ギブアップしそう。

April 10, 2026

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▶▷数学Ⅲ㊾◁◀不定積分ーー部分積分－－2回部分積分、2回難しい

　公式にないlogの積分には置換法が必要です。　cosと、sinの関数の積（またはsinと、cosの関数の積）の積分には、２倍角の公式が活躍します。三角関数の積分については、後ほどもう1回まとめてみます。　部分積分の公式を用いるのは、積の形の２つの関数を積分するときです。一方の関数を微分後の関数ｇ´(ⅹ)と考えて微分前のｇ(ⅹ)を使って計算します。　１回の部分積分で解けないときは２回行えば解けることがあります。

April 8, 2026

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▷▶数学Ⅲ㊽◀◁不定積分の解法２ーー置換法ーー頭をすげ替えたい

　「置換積分」は、そのまま積分できない関数を、新しい変数に置き換えて積分してから、元の関数に戻します。　実際問題にあたると、どの方法をとるのか？　+_+　混乱です。ひたすら問題を解くしかないです。計算を間違え、公式を忘れ、紙を使いまくって。

April 7, 2026

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▷▶数学Ⅲ㊼◀◁不定積分の解法－－公式が多すぎて目が回る

　積分を解くには、まず公式が使えるかどうかを見ます。基本の公式はｘのｐ乗ですが、応用として(aｘ＋ｂ)のｐ乗の場合も公式として頭に入れて計算します。また、(ｘの関数)×(ｘの関数)´の積分も簡単に出せる公式があります。　微分より覚えることが多い(-_-;)　です。　三角関数も基本の公式のほかに、応用でsin(aｘ＋ｂ)の積分解法があり、指数関数の積分も同様です。応用は暗記していなくても解けますが、煩雑な計算をするより覚えていたほうが便利なものです。

April 3, 2026

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▷▶数学Ⅲ㊻◀◁不定積分の基本

　数学Ⅲのクライマックスともいうべき積分に入りました。　文系頭の前期高齢者にはエベレスト登山のような厳しさ。日々、頭の中をはてなマークが駆け巡り、計算を間違えてはやり直し、やり直しです。　積分は簡単に言うと「微分したらこうなる」関数。微分の逆操作なのですが、微分より面倒です。　たとえば、２ｘ＋900も２ｘ−７/5４も微分すると２です。微分して２になる関数は２ｘ＋a（aはどんな実数でも可）なので、２を積分すると２ｘ＋Ｃ（Ｃは積分定数）と書くことになります。　　　ｘのｐ乗の積分公式は微分公式の逆の操作です。　微分では、ｐ−１が係数になってｘの次数がｐ－１に下がります。積分は反対に、係数は１/ｐ＋１になり、ｘの次数がｐ＋１に上がります。　ただしｐ＝−１の場合は係数の分母が０になってしまうため、この公式は使えません。ｘの−１乗は、１/ｘなので、微分して１/ｘになる数を探します。|logｘ|を微分すると１/ｘなので、ｘのｐ乗の積分は|logｘ|＋Ｃになります　三角関数、指数関数も「微分したらこうなる」関数を考えます。積分定数をつけるのも同じです。

April 2, 2026

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▼△数学Ⅲ㊺△▼微分の応用ーー近似式～マクローリン展開

　1階微分で求める直線の１次式では、X＝aから離れると大きく値が逸れて近似ではなくなります。　2階微分して求める2次式になると1次式より近似できる範囲が広がり、3次式、4次式、５，６，７，…と次数があがれば、より元の関数に近くなります。　さらに、無限次式になったら元の関数に等しくなります。ｘ＝０付近での無限次式を求めるのがマクローリン展開。（再掲）　　　厳密には、収束範囲を求めるなど段階を踏まなくてはならないのですが、オイラーの公式の証明にマクローリン展開が使われます。　　

March 24, 2026

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▼△数学Ⅲ㊹△▼微分の応用ーー速度と加速度～近似式

　数学の知識は物理の基礎になります。（したがって数学が苦手だった私は、物理も超苦手で赤点すれすれでした。）　物体が運動するときのある瞬間の速度は、その点での微分係数です。２階微分すると加速度を求められます。　直線状の場合だけあげておきます。平面上の運動（x軸＋y軸2方向への運動）は、ベクトルの知識がないと理解できないので、今はパスします。　微分の応用で、近似式を求めることができます。1次近似式は、複雑な関数をある１点付近で簡単な1次式（ｙ＝ｐｘ＋ｑ）で近似しようという工夫です。　　　　ｘ＝aでの接線を近似式と考えます。この点での接線の傾きは微分係数、微分を使うことで近似ができます。　近似式の先に、オイラーの公式につながるマクローリン展開があります。高校数学の知識だけでは正確に理解できないので、遥か先ですが。

March 23, 2026

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▼△数学Ⅲ㊸△▼微分の応用ーー方程式の実数解

　関数f(ｘ)＝０の持つ実数解の個数は、関数f(ｘ)のグラフとｘ軸（直線ｙ＝０）との交点の個数（重解は接点）からわかります。　関数f(ｘ)＝a（aは定数）の実数解の個数は、関数f(ｘ)のグラフと直線ｙ＝aの交点の個数になります。微分してグラフの形を求めてｙ＝aとの交点の数を確認します。　

March 22, 2026

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▷▶数学Ⅲ㊷◀◁微分の応用・不等式の証明

　不等式A>Bを証明するとき、A－B>０がいえれば証明できます。そこで、関数f(ⅹ)＝A－Bが常に０より大きいことを確認します。　関数f(ⅹ)の値がどう変わるかは導関数f´(ⅹ)を求めて、f´(ⅹ)＝０になるｘが極値になっているかを確認します。極小値のときのf(ⅹ)の値が０より大きければ、当然関数f(ⅹ)は０より大きい値しかとりません。これで証明終了です。　関数f(ⅹ)が単調増加で、定義域の初めのf関数f(ⅹ)の値が０より大きければ、この場合も関数f(ⅹ)は正の値しかとらないので、証明終了です。　f´(ⅹ)だけで証明できなければ、f´´(ⅹ)を求めます。f´´(ⅹ)→f´(ⅹ)→f(ⅹ)とさかのぼって調べます。

March 18, 2026

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▽△数学Ⅲ㊶△▽対数関数を含む関数のグラフ

指数関数・対数関数のグラフ（既習）　　対数関数logｘを含む関数のグラフをかきます。底はe。真数は必ず０より大きいことから定義域はｘ>０です。　グラフをかく手順は今まで見てきた関数と一緒です。計算が厄介ですが。

March 16, 2026

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▼△数学Ⅲ㊵△▼eのｘ乗を含む関数②

　eの1/ｘ乗のグラフも複雑でした。１/ｘ乗なので、ｘ≠０が定義域です。原点に限りなく近づきますが、原点は含みません。指数関数と分数関数を組み合わせたような形になっています。　毎日1問ずつ問題を解くことを目標にしていますが、計算量が多く計算ミスが多いのと、前に学習したことをすぐ忘れてしまう南瓜頭（南瓜に失礼ですね）のため、前途多難です。トホホ

March 8, 2026

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▼△数学Ⅲ㊴△▼ｅのｘ乗を含む関数のグラフ

指数関数と対数関数のグラフ　eのｘ乗のグラフは単純増加の指数関数グラフです。f(ｘ)の値が急激に増加する、指数関数的に増えるグラフになります）　それがｘとの積やeの１/ｘ乗のグラフになるとどうなるのでしょう。　複雑なグラフになりました。関数を見ただけではグラフの形は予想できませんでした。　１次導関数と２次導関数を求め、ｆ´(ｘ)＝０とｆ´´(ｘ)＝０になるｘ（極値と変曲点の候補）を探す→増減表を書き、極値と変曲点を確認する→ｘを－∞と∞にとばしたときｆ(ｘ)の値がどうなるかを見る、また、漸近線の候補を探して確認する一連の作業を行うことで、グラフの形が見えてきます。

March 7, 2026

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▷▶数学Ⅲ㊳◀◁分数関数のグラフ３漸近線を求めよ

　反比例のグラフは、x軸とy軸が漸近線になるのでした。x軸方向・y軸方向に平行移動したグラフも見ました。もう少し複雑な形の分数関数ではどうでしょう。　分数関数では必ず漸近線を求めます。

March 5, 2026

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▷▶数学Ⅲ㊲◀◁極値から係数を決定する問題

　極値から係数を決定する問題です。ｘ＝aでf(ｘ)が極値をとるとき、f´(a)＝０になることを利用して解きます。f´(a)＝０になっても極値をとらないこともあるので、増減表で符号を確認します。

February 25, 2026

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▷▶数学Ⅲ㉟◀◁分数関数のグラフ１

　分数関数のグラフをかいてみます。基本はあの反比例グラフｙ＝f(x)＝１/ⅹです。ｙ＝１/ｘ−a（aは定数）の形のグラフは、ｙ＝f(x)＝１/ⅹのグラフをｘ軸方向に平行移動したものです。　もっと高次数の分数関数になると、変曲点を出してグラフをかくようになります。ｙ軸に対して対称な遇関数、原点に対して対称な奇関数では、０以上のｘについて増減を調べれば、０以下のｘについても予想がつきます。　また、分数関数では「漸近線」を求めることが必要です。ｘが±∞になったときf(x)がどんな値に近づくのか、ほかに漸近線があるのかを確認します。

February 18, 2026

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▷▶数学Ⅲ㉞◀◁極値と変曲点

　関数の第１導関数（１階微分）から増減表を作って関数の増減・グラフの形を求めることは、数学Ⅱで学習しました。　f´(x)＝０になるとき、xは極値（極大・極小）になる可能性があります。（極値にならないときもあります）ｘが極値になるときのf´(x)は必ず０になりますが、逆は必ずしも真ならずです。　増減表をかいてみて、f´(x)＝０になるときの前後（表の左右）で符号が変わっていれば、その点ｘが極値であることが確認できます。　もっと複雑な関数になると、第２導関数f´´(x)を計算して、f´´(x)＝０になるｘを求めます。この点は「変曲点」グラフの曲がり方が変わる点の候補です。この点も必ずしも変曲点にならないので、増減表での確認が必要です。

February 12, 2026

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▷▶数学Ⅲ㉝◀◁関数の増減

　関数の増減は、第1次導関数（1階微分した関数）の正負でわかります。ただし、連続かつ微分可能な範囲で、という条件が付きます。　導関数が正であれば単調増加関数、負であれば単調減少関数になり、導関数が０のときは増加も減少もしない定数になります。　具体的には、数学Ⅱで学習したように増減表を作って導関数の正負から元の関数の形を調べます。ｆ（ｘ）の定義域の確認→ｆ´(ｘ)＝０になるｘを求める（この点でｆ´(ｘ)の符号が変わることの確認）→ｆ´(ｘ)の正負を書き込む→グラフの大体の形を知る手順を踏みます。　数学Ⅱの「増減表と３次関数のグラフ」から。次に発展した極値、増減表について見ていきます。

February 8, 2026

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▼△数学Ⅲ㉜△▼平均値の定理と関数の増減

平均値の定理は、一見「ん？何の役に立つんだ？これ」と思いました。　指数関数・対数関数・三角関数の不等式の証明に平均値の定理が使われます。連続かつ微分可能な関数をどう置くかがポイントです。高校数学ではｆ(ｘ)＝ｅのx乗やｆ(ｘ)＝sinｘのようなわかりやすい関数です。　次に、関数の増減とグラフを考えていきますが、平均値の定理は関数の増減に関わっています。

February 7, 2026

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△▼数学Ⅲ㉛▼△微分の応用・共通接線

　数学Ⅱでも共通接線の方程式の求め方を学習しました。数学Ⅲでは、指数・対数関数の接線や無理関数の接線が登場しますが、解法は同じです。数学Ⅲは、計算が面倒で、文系頭は沸騰しそうです。

January 30, 2026

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▲▽数学Ⅲ㉚▽▲微分の応用－法線の方程式

　法線は接線に対して垂直な直線なので、接線の傾きから、法線の傾きを求めます。直交する直線の傾きの積は－１になることを利用して解きます。数学ⅡＢから

January 29, 2026

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▲▽数学Ⅲ㉙▽▲微分の応用－接線の方程式

　曲線の接線を考えます。　接線の傾きは微分係数です。曲線の表す関数を微分して、接点のｘ座標をｘに代入した値が傾きです。　接線は接点を通るので、「傾きと、直線上の１点の座標から、直線の方程式を求める」公式を用いて直線の方程式が求められます。　曲線外の1点から引いた接線の場合は、その1点と傾きから接線の方程式が求められます。　数学ⅡBから。

January 28, 2026

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▲▽数学Ⅲ㉘▽▲尖っていては微分はできない

　今まで微分してきた多項式関数（例えばｙ＝94ｘ³－３ｘ²－47のような）、三角関数、指数関数は、陽関数と呼ばれます。　対してx²＋ｙ²－61のように、単純にｙ＝▼ｘ²－□のような形に表せない関数は陰関数と呼ばれます。　陰関数は合成関数の考え方を使って解きます。　陰関数表示を陽関数表示に変形して解ける場合もありますが、ｙ³＋４ｘ²－ｘｙ＋61のようになってしまうと、陽関数に直すのは複雑すぎて現実的ではありません。　関数は、微分できる点で連続しているといえます。逆は成り立ちません。連続している点でも微分できないことがあります。関数が尖った点では微分できません。関数が連続して、滑らかな曲線を描く点でしか微分できません。　ある点で微分するということは、傾きを求めることです。尖った点では接線がいくつも引けてしまいます。傾きが一定の値にならないのです。　

January 20, 2026

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▽▲数学Ⅲ㉗▼△微分…媒介変数表示と逆関数の微分

　媒介変数表示は、ｙ＝□ｘ＋▼のように、ｙが直接ｘの式で表されず、ｘ、ｙがともにｔやuのような共通の文字を媒介とした式で表されるような関係のことです。ｙとｘが直接でなく、ｔやuをはさんで間接的な関係にあります。　ｙを一旦媒介変数で微分してから、ｘで微分するという形を作って解きます。　逆関数は、ｘとｙを交換した関数。ｙ＝ｘ³＋６の逆関数がｘ＝ｙ³＋６です。元の関数を微分するより逆関数の微分が容易である場合に、逆関数の微分を使います。

January 19, 2026

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△▼数学Ⅲ㉖▲▽微分…2次、3次…高次導関数

　導関数を求めた後、もう1回微分が可能であれば、2次導関数が求められます。そして、もう1回で3次導関数…。2次以上の導関数を高次導関数といいます。　１以上のすべてのｎについてｎ次導関数がｎやｘを用いた、ある式で表せることは、帰納法で証明します。導関数、2次導関数、3次導関数を計算してみて、予想を立てて証明します。　　指数関数や三角関数は無限回微分可能な関数です。

January 18, 2026

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◀▶数学Ⅲ㉕◀▶対数微分法

　ある値が等しいとき、同じ底に対して、その値を真数にした対数も等しいことを用いて、対数をとって微分する場合があります。ｘのｘ乗の微分など直接微分できない場合に用います。

January 13, 2026

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◁▶数学Ⅲ㉔◀▷微分…指数・対数関数の微分

　指数・対数の微分ではネイピア数（オイラー数）eが活躍します。微分に都合のいい値（微分しても変わらない底の値）として定義されたのがeなので当然ですが。　eのｘ乗は微分しても、eのｘ乗、logｘは微分すると1/ｘです。　

January 11, 2026

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▶▷数学Ⅲ㉓◁◀微分…無理関数の微分と三角関数の微分

　√ｘの微分は、導関数の定義を用いて出すと1/２√ｘになり、基本公式になります。　√●＋■の微分は●＋■＝uとして、√uの微分が1/２√uなので、これに中身の●＋■を微分した値をかけます。合成関数の考えを用います。　三角関数の微分は導関数の定義から、sinｘの微分はcosｘに、cosｘの微分は−sinｘになることがわかります。tanｘ＝sinｘ/cosｘから商の微分公式を使って求めます。　sinとcosの微分は４階微分でぐるっと回って元に戻ります。

January 5, 2026

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◁▶数学Ⅲ㉒◀▷微分…容器と中身で合成関数の微分

　（●＋■）³を微分するとき、（）の中を展開してから微分する方法もありますが、●＋■をひとつのかたまりとみてuのように置き換え、u³を微分して3u²とし、それに、中身の●＋■を微分した値を合成する方法もあります。無理関数の√の中をuなどに置き換える方法も用いられます。　ひとかたまりの容器の微分に、中身の微分をかけるイメージです。

January 4, 2026

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◀▷数学Ⅲ㉑◁▶いよいよ微分…導関数・積と商の公式

　いよいよ「微分」に入ります。数学Ⅲのクライマックスにかかってきた気がします。　ｙ´＝f´（ｘ）はｙをｘで微分した関数。　ｙをｘで微分することをdy/dx（ディーワイ、ディーエックス）といいます。分数の形ですが、上から読みます。微分にはいくつかの表し方がありますが、dy/dxは後々合成関数などで用いるので覚えておきます。　ｙをuで微分するとdy/duのようになります。微分される/微分するの関係は、割られる数/割る数の分数と似ています。　数学Ⅱでは導関数の定義とべき関数の微分の公式を学習しました。和と差の形になった関数はそれぞれの項を微分して、和・差をとればいいのでした。たとえば3ｘ²＋ｘを微分すると６ｘ＋１でした。　数学Ⅲでは、さらに積（掛け算）の形、商（割り算）の形の微分を学習します。積と商は、各項を微分して単純にかける、割る計算では求められません。積は、微分した関数×元の関数＋元の関数×微分した関数を計算します。商はもっと複雑です。　　複雑ではありますが、基本の導関数の定義に当てはめてみると証明できます。　数学Ⅱの「導関数」の定義から。導関数は、関数上の各点の微分係数の集合を関数として表したものです。　べき乗の微分（指数が自然数→整数→有理数）公式です。指数が無理数であっても（実数全体にあっても）成り立つそうですが、高校段階の数学では証明が困難です。　

January 3, 2026

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▷▶数学Ⅲ⑳◀◁e・ネイピア数と極限

　ネイピア数eは「金利の複利計算」と「微分しても元の数と等しくなる指数関数の底」という異なる２つの追究から生まれました。　eを導き出すために都合のいい形に変形できれば、このeの定義を使って極限を求めることができます。

December 31, 2025

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◁△数学Ⅲ⑲△▷リミット！中間値の定理で知る実数解の存在

　具体的に解の値が求められなくても、ある区間の中に方程式の実数解があることを知る方法があります。関数の連続性を用います。　２点のy座標の値が＋と－だったら、この２点をどんな直線、曲線で結んでも必ずｘ軸と交わります。ｘ軸と交わる点はｙ＝０なので、方程式ｆ（ｘ）＝ｙ＝０の実数解が必ず存在するわけです。　

December 22, 2025

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△▼数学Ⅲ⑱▼△リミット！関数の連続は微分につながる

　関数の連続とは、おばばの文系脳ではグラフがつながっていることですが、数学的には「関数が連続である」条件は次のようになっています。　関数のある区間で微分可能な時、その区間で関数は連続であると言えます。ただし、関数がある点で連続であっても、微分不可能な場合があります。関数が滑らかにつながっていないと微分はできません。（「微分」で学習します）　

December 21, 2025

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▽△数学Ⅲ⑰△▽リミット！三角関数の極限

　ｙ＝sinｘ・ｙ＝cosｘのグラフは−１と１の間を行き来する波型になります。したがって、ｘが無限大に大きくなった時と無限大に小さくなった時の極限値は存在しません。　ただし、グラフからもわかるように、ｘがある定数に近づく時の極限値は存在します。たとえばｘが０に近づくとき、sinｘは０に近づく（＋方向、－方向とも）ので極限値０が存在し、cosｘの極限値も存在し１です。　三角関数の極限でとても重要なのが、ｘが０に向かう時のsinｘ/ｘの極限値です。直角三角形をかいて、直角以外の１つの角をどんどん小さくしていけば（角ｘを０に近づける）sinｘはｘに近づくのがわかります。なので、sinｘ/ｘの極限値が１だろうという予測ができます。　証明では、面積と「はさみうちの原理」を使います。　ｘが０に向かう時のsinｘ/ｘの極限値が１になるという公式から求められる三角関数の極限もあります。sin◇/◇（◇は同値）の極限値は１になるので、sin◇/◇（◇は同値）の形を作ることで解きます。　tanｘもｘが無限大、無限小に向かう時の極限値はありません。また、ｘがπ/２の倍数である値へ向かう時のtanｘの極限値も存在しません。左右の極限値が異なるからです。ｘがそれ以外の定数に向かう時のtanｘの極限値は存在します。

December 18, 2025

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▽△数学Ⅲ⑯△▽リミット！指数・対数関数の極限

　指数・対数関数の極限は、グラフから考えます。底が０と１の間にあるか、１より大きいかでグラフの形が変わり、極限も変わります。　

December 17, 2025

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▽△数学Ⅲ⑮△▽リミット！数列の極限の双方向

　数列の極限と関数の極限の違いをまとめておきました。　関数上のある点の極限を求めるとき、関数がその点で連続していれば、右左どちらから近づいても目標値は１つです。　　でも、右から（大きい数から小さくなる方向へ）近づく場合と左から（小さい数から大きくなる方向へ）近づく場合で極限（目標値）が違ってしまうなら、双方の極限を調べる必要があります。　おなじみの反比例のグラフｆ（ｘ）Y＝１/ｘで、０に向かう極限を考えると、０でグラフが切れ、左右で全く違う値をとることがわかります。　このとき、０での極限値はありません。　左右の極限が一致しないとき、その点での極限値は存在しません。その１点が関数上にないときにも、左右の極限が一致すれば、一致した値が極限値になります。極限は、ジャストの値ではなく、あくまでも「限りなく近づく」「目指す」値だからです。

December 12, 2025

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△▽数学Ⅲ⑭▽△リミット！関数の極限

　数列の極限の次に考えるのは関数の極限です。数列は、無限大にしたときの項の値がどこへ行くのかという極限を考えました。第ｎ項目の変数ｎは自然数しかとりません。極限も無限大の方向しかありえません。　関数は数列と異なり変数が実数なので、連続性があります。変数がある値aまたは０に向かったときの関数の極限が考えられます。　定数aに向かうときの極限は、単純にｆ（ｘ）にaを代入したｆ（a）を計算することで求められる場合もあります。0/０になってしまう場合は不定形なので、因数分解→約分で不定形を解消します。　　∞、−∞に向かう極限は数列の極限でも用いた不定形解消の手段を使って求めます。関数では−∞に向かう極限も求めるので、無理関数には注意が必要です。－３＝−√（−３）²の符号を間違えるおそれがあるので、正数に置き換えてから計算したほうがよさそうです。　連続した関数の極限には方向性の要素もあるので、次回に見てみます。

December 11, 2025

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△▽数学Ⅲ⑬▽△0.9999…＝１☆循環小数と分数

　数学には、直観を裏切る現象がいくつも現れます。0.99999…＝１もしかり。なかなかストンと納得はできないのですが、無限級数の和として考えると、この結論に落ち着きます。　大学レベルの数学になって「極限」というものが厳密に定義されると、納得できるそうですが。　循環小数の循環する部分は等比数列だと考えられます。循環する数字が１個なら公比0.1の、2個なら公比0.01の…、ｎ個なら公比10のｎ乗分の１の等比数列です。この無限数列の和が循環小数の値になります。　公比が0より大きく1より小さいので、極限を考えるとこの等比級数は収束し、公式によって和が求められます。　この和は分数の形になります。したがって無限等比級数を考えることで、循環小数を分数に変換できます。一部は約分でき、整数になることもあります。　１を３で割る割り算の商が0.3333333…になるので、0.333333…＝１/３は納得できます。0.33333…の３倍が0.999999…（本当は無限についてこんなことは言えないのですが）と考えれば、１/３の3倍が１なので間違っていないような気はします。　まだまだ難しいことだらけの数学です。　

December 9, 2025

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△▽数学Ⅲ⑫▽△部分分数分解の復習

無限級数を調べるとき用いる部分分数分解を復習しておきます。　１/ｋ（ｋ＋１）を１/ｋ－（１/ｋ＋１）の形に部分分数分解することで、ｎ＝１からｎ＝ｋまでの部分和は簡単に求めることができます。（１/１－１/２）＋（１/２－１/３）＋（１/３－１/４）＋（１/４－１/５）＋…＋｛（１/ｎ－１）－（１/ｎ）｝＋｛（１/ｎ）－（１/ｎ＋１）｝＝１－1/ｎのように中間の項がうまく消えてくれるからです。真ん中の項を消すために部分分数分解を使って引き算の形を作るわけです。　　１/ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）のように３項が並ぶ場合も部分分数分解が使えます。

December 5, 2025

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▽△数学Ⅲ⑪△▽リミット！無限級数の収束・発散

　ここまでは、無限数列の項がどこを目指して変化していくのか、という話でしたが、ここからは「無限級数」つまり無限数列の和の話になります。　有限の数列でしたら、初項から末項までの値を足したものが「数列の和」です。無限級数の場合は、無限級数が収束するときのみ和が定義され、その和は級数の極限値になります。無限級数が発散する場合の和はありません。　無限数列の和を求める基本は、部分和を求めてから、その終点を無限大方向に伸ばしていって１つの値に行きつくのか、発散してしまうのかを考えます。　また、数列が０に収束しなければ、無限級数も収束しません。単純に考えて、数列の項が正または負の無限大に発散すれば、和もまたどんどん大きくなるか、どんどん小さくなるかなので、発散します。　なので、数列が０に収束しないとき、級数の和を求めなくても、発散することが言えます。

December 1, 2025

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△▽数学Ⅲ⑩▽△リミット！漸化式と数列の極限２

隣接３数の漸化式と連立漸化式から、無限数列の極限を求めます。　漸化式から一般項を求めるまでは数学ⅡBの内容、極限を調べるのが数学Ⅲの内容になります。

November 27, 2025

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▽△数学Ⅲ⑨△▽リミット！漸化式－－無限のバトン

　↑数学Bのノートから。　無限数列のある項と次の項（３番目の項が関連することもあります）の関係を示した式が漸化式です。「漸化」は段々進むの意味で、項がどう進んでいくのかを表すのが「漸化式」です。漸化式から一般項の式を計算して求めることが「漸化式を解く」ことで、ここまでが数学Ⅱ・Bの内容です。　漸化式から一般項を求めて、等差数列の形になれば、この数列は発散します。等差ということは、ひたすら小さくなるか、ひたすら大きくなるかのどちらかなので。　等比数列の形になれば、公比が－１<ｒ≦１に限って数列が収束します。（前回の内容）　次回、隣接３項間の漸化式、連立漸化式についてみていきます。

November 26, 2025

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▽△数学Ⅲ⑧△▽リミット！無限等比数列の極限は公比次第

　等比数列は、初項に同じ数（＝公比）をかけていってできる数列です。例えば、５、10、20、40、80…という数列なら、初項５に２（＝公比）をかけてできる数列です。一般項（ｎ項目）は（初項ａ）×（公比ｒ）×（ｎ－１）で計算できます。　無限等比数列が発散するか、収束するかは公比ｒの値によって決まります。－１<ｒ≦１のときだけ数列は収束します。　一番シンプルなｒⁿという数列を考えると、ｒ＝１のとき極限値は１（１、１、１、１、…の数列なので当然極限値は１です）－１<ｒ<１、つまりｒ<|１|のとき極限値は０。－１<ｒ<０のときは振動しながら０に近づき、０<ｒ<１のときは正の方向から次第に0に近づきます。ｒ＝０ならｒⁿ＝０ⁿ＝０で、いずれも極限値は０です。　　ａ・ｒⁿ（ａ≠０）の数列ならｒ＝１のとき極限値はａ、－１<ｒ<１、つまりｒ<|１|のとき極限値は０です。　公比が具体的な値で与えられている場合、例えば59ⁿで与えられる数列であれば、数列は発散し、－3/14のｎ乗であれば収束し極限値が０と算出できます。が、公比ｒなど変数で与えられた場合は、ｒの値によって発散・収束が変わるので、場合分けが必要です。

November 25, 2025

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△▽数学Ⅲ⑦▽△リミット！追い出しの原理～二項定理の利用

　「はさみうち」の次は「追い出しの原理」です。追い出しの原理で判断できるのは、数列が正の無限大に発散する、または負の無限大に発散する場合の一部です。　　「はさみうち」だの「追い出し」だの、文系頭には物騒な響きに聞こえます。数学では、ドラマのように「挟みうちにしたのに逃げられた」「追い出したいのに居座られた」なんて展開はありません。原理に基づいて粛々とした展開があるだけです。　二項定理を使って展開した項全体と、中途で打ち切った項を比較します。正数の項が末項まで続くのであれば、ある項までで打ち切った数は、展開された数全体より小になります。ある項までで打ち切った数が正の無限大に発散するのであれば、追い出しの原理から展開された数全体も無限大に発散します。

November 20, 2025

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△▽数学Ⅲ⑥▽△リミット！はさみうちの原理

　「はさみうちの原理」のイメージは、刑事ドラマ。2人組の刑事が被疑者を捕まえる場合。「Aは裏へまわれ。はさみうちにするぞ。」と、２人で被疑者を２方向からはさんで追い詰めるシーンです。　数列の「はさみうち」は、３つの数列があって、すべての項の大小がA≧B≧C（>でも可）であるとき、数列AとCの極限がαで等しければ、はさまれた数列Ｃの極限もαであるという原理です。　不定形の解消ができない場合に使います。ちなみに、数列の極限はわからないほうが普通で、判断できる数列は特別なケースです。

November 19, 2025

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▽△数学Ⅲ⑤△▽リミット！数列の極限の２

　無限大に大きくなっていく数＋無限大に大きくなっていく数、　無限大に大きくなっていく数×無限大に大きくなっていく数は、当然無限大に向かいます。発散です。　無限大に大きくなっていく数－無限大に大きくなっていく数、　無限大に大きくなっていく数÷無限大に大きくなっていく数は、これだけの情報では極限が判断できません。　無限大に大きくなっていく数A－無限大に大きくなっていく数Bの、AがBより大きくなる速度が速ければBがＡに追いつけないので、無限大に発散します。が、ＢがＡより速い速度で大きくなれば、追いつかれ追い抜かれてしまうことになります。（イメージでの話ですが）　Ａ－Ｂ，Ａ÷Ｂの場合は、ＡとＢの力関係によって、数列が収束するか、発散するかが分かれます。　「不定形」を解消するために、最高次数でくくりだす、分数では分母の最高次数で割るということを行います。式の中にa/ｎ、a/ｎ²…（aは定数）の形を作ってその部分の極限値０を利用するためです。　この方法でも数列の収束・発散が判断できないときは「はさみうちの原理」という方法を用います。

November 18, 2025

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△▽数学Ⅲ④▽△リミット！数列の極限

「極限」は、ある変数についての数列・関数があって、その変数を限りなく大きくするとき、数列の一般項または関数の値がどこを目指すか、どんな値に近づいていくのかを見ます。　目指す値がない場合を「発散する」といいます。　まず考えるのが、数列の極限です。　無限数列の各項がずっと同じ数であるなら、極限値はその数です。例えば初項が８で公比が１の等比数列であれば、極限値は８です。（８以外の値をとらないので当然ですね）　各項の値が異なりながら１つの値に近づく場合の極限値は、あくまでも目指す値であってその値ジャストにはなりません。ですからｎが無限大に向かう時の１/ｎのリミットは０ですが、１/ｎ＝０になることはありません。（ｎ＝０のとき１/ｎ＝０の式は成立しませんが、limitがつくときの１/ｎ＝０は成立します。この０はジャスト０ではなく限りなく０に近い数の意味だからです。）　１/ｎ、１/ｎ²…の極限は０です。ｎ≥１の自然数なので、ｎ、ｎ²…は正数です。正の方向にｎがどんどん大きくなるなら、１/ｎ、１/ｎ²…はどんどん小さくなって、負数にはならないので０に向かいます。極限値が０です。　一見極限がわからない式も１/ｎ、１/ｎ²…を含む式に変形できれば、その部分の極限を０として考えられるので、式全体の極限が判断できる場合があります。　極限を考える数列の数列の一般項に、ａ/ｎ、ａ/ｎ²…（aは定数）が含まれるとき、その部分の極限を０として考えます。　次に「不定形」ということを考えます。

November 17, 2025

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◆□数学Ⅲ③□◆逆関数と合成関数

イメージとしては、ＹとＸを入れ替えた関数が元の関数の「逆関数」です。　関数は、Xの値を１つ決めると、それに伴ってただ１つだけYの値が決まる関係を言います。なので、逆関数が存在するためには、Yの値が１つ決まると、それに伴ってXの値も１つに決まらないとなりません。つまり、XとYの関係が1対１であることが条件です。　浮気は厳禁の関係です。　中には限られた定義域で逆関数が存在する場合があります。Y＝ｘ²の逆関数は、X≧０の条件下でY＝√Xです。「無理数」という実数範囲で考えるので、√の中に負数は入らないからです。　逆関数を求めるときは、定義域・値域に注意して、Y＝■XをX＝□Yの形にしてからXとYを入れ替えます。　逆関数の逆関数は元の関数に戻ります。　合成関数は1つの関数の結果をさらにもう1つの関数に入れます。基本的に、どちらを先にするかで値が変わるので、交換は成り立ちません。合成関数は、今後微積分を行うときに必要な知識になります。（それまでに忘れそうですが）

November 8, 2025

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□◆数学Ⅲ②◆□関数のいろいろーー無理関数

　無理関数は√（ルート）の中に変数を含む関数であり、√の中が定数だけである関数とは異なります。　無理関数のY＝√Xのグラフは、Y＝ｘ²のグラフを直線Ｙ＝Ｘに関して対称に移動した形ですが、√の中は正数なので、定義域に注意が必要です。　無理関数の方程式・不等式は両辺を2乗して√を外します。定義域の制約に留意します。

November 7, 2025

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□◇数学Ⅲ①◇□関数のいろいろーー分数関数

　数学Ⅲでは、逆関数・合成関数・関数の極限を学習します。いろいろな関数の１つ、分数関数の登場です。。　分母に変数が含まれる分数の形の関数が、分数関数です。約分すると分母からXが消えるような関数は分数関数に含みません。基本の形は小学校からおなじみの「反比例」です。分数案数のグラフは、反比例のグラフをX軸方向、Y軸方向に平行移動したグラフになります。　分数方程式は、移行して2次式にして解きますが、元の式の分母が０になる数を除く条件に留意します。　分数不等式は、左辺と右辺をそれぞれ関数とみて、グラフの上下を調べることで解く解法もあります。もちろん、素直に移行して解くこともできますが、正負で不等号の向きが変わるため、場合分けが必要になります。　

November 6, 2025

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◇□数学Ｃ⑦□◇複素数平面上の円

　　円の方程式は、中心αから等距離にある点の集合になるので|ｚ－α|＝ｒです。半径がｒです。実数のX軸とY軸の平面では、円の方程式は、（ｘ－a）²＋（ｙ－ｂ）²＝ｒ²でした。中心が点（a、ｂ）半径ｒの円の場合です。実数の座標平面と複素数平面の円の方程式を比べてみます。2点からの距離の比が一定である点の集合も円になります。

November 1, 2025

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