nightfly

アポロニウスの円の一般式をなかなか導けなかったが漸く出来た。

それは、２定点A（－ｍ、０）、B（ｎ、０）に対して
AP：PB＝ｍ：ｎになるような点Pの軌跡だった。
ｍ＝ｎならABの垂直二等分線になる。

まず、AP:PB＝ｍ：ｎよりｎAP＝ｍPB
両辺を２乗すると、n^2AP^2=m^2PB^2
そこで、点Pの座標を(x,y)とすれば
n^2｛(x+m)^2+y^2｝=m^2｛(x-n)^2+y^2｝,
n^2(x^2+2mx+m^2+y^2)=m^2(x^2-2nx+n^2+y^2),
n^2x^2+2mn^2x+m^2n^2+n^2y^2=m^2x^2-2m^2nx+m^2n^2+m^2y^2,
=(m^2-n^2)x^2-2mn(m+n)x+(m^2-n^2)y^2
=(m^2-n^2)｛x^2-(2mn/m-n)x+y^2｝
先のxの項を(m^2-n^2)で割るのがなかなか思い付かなかった。
後は平方完成だ。
(m^2-n^2)｛x^2-(2mn/m-n)x+(mn/m-n)^2-(mn/m-n)^2+y^2｝、
(m^2-n^2)｛(x-mn/m-n)^2+y^2｝=(m^2-n^2)(mn/m-n)^2,
両辺を(m^2-n^2)で割り
(x-mn/m-n)^2+y^2=(mn/m-n)^2となる。
これがアポロニウスの円についての一般式だ。