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ねこログ

2013.10.15
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「平面」を「線」でいくつかの部分に分割し、色を塗り分ける。
ただし、分割された部分の、どの二つを選んでも、それらは互いに「線」をはさんで隣接していなければならないし、かつ、
隣接する区画には同じ色を塗っては、ならない。
「平面」はその四周に無限の広がりを持っているが、「無限」を描くことが出来ないので、私たちは、便宜的に、長方形のようなものを用いている。従ってこの長方形の四周は、「無限」に向かって広がっている。
長方形の4辺の、ほんの一部でも含んでいる区画は、「無限」に向かって「開いて」いるから、「開区画」と呼ぶことにする。
上の条件を満たしながら、「平面」をすべて「開区画」によって構成しようとすると、最大3つまでしかとることが出来ない。長方形の真ん中に一つの点をとり、そこから「外」に向かって「無限」にのびていく「線」を考えると、そのような線は、3本までしか引けない。4本引くと、点を挟んで向かい合わせの区画が、互いに隣接しないことになってしまうからだ。
  
長方形の4辺と一切つながりを持たない区画を「閉区画」と呼ぶ。
上の「開区画」の分割図の上に、楕円状の「閉区画」を浮かべてみる。二つ以上の楕円を、相互に離れて浮かべることは出来ない。それら二つの楕円が隣接しないことになってしまうからだ。
「開区画」が1個である場合、楕円状の「閉区画」をその内部で分割してみると、やはり、楕円の真ん中の1点から「外」に向かって延びる「線」は3本しか引けないから、最大3個の「閉区画」、外側の「開区画」1個をあわせて4区画が最大である。
  
「開区画」が2個の場合、その境界線上に1個の楕円を浮かべて、さらにその楕円の「閉区画」を分割しようとすると、2個までしか出来ない。「開区画」2個とあわせて、やはり最大4区画である。
 
「開区画」が3個なら、その境界線の交点の上に楕円を浮かべると、もはや楕円自体は、分割できない。「閉区画」1個と「開区画」3個、やはり4個であった。



世界が4つの区画に分割され、その中からどの2つを選んでも、必ず互いに隣接しているなら、4C2=6種の、その両側が異なる色で塗られた「境界線」が存在する。下の図の場合なら、
楕円の周囲に、赤―黄、赤―茶、緑―茶、緑―黄、楕円の内部に、赤―緑、楕円の外に、黄―茶、の6種。



たしかスイスという国は、フランス、ドイツ、イタリアの3カ国に囲まれていて、だからフランス語、ドイツ語、イタリア語、それに加えてロマンス語が公用語なんだ、と記憶していたが、見てみると、オーストリアとも国境を接している。したがって、オーストリアとフランス、ドイツとイタリアは、それぞれ隣接しておらず、上の条件に合致しない。
お?、ルクセンブルクは、上の、

型、だね?
ドイツ、ベルギー、フランス、ルクセンブルクの間には、6種類の異なる国境、
ドイツ―ベルギー国境、ドイツ―フランス国境、ドイツ―ルクセンブルク国境、ベルギー―フランス国境、ベルギー―ルクセンブルク国境、フランス―ルクセンブルク国境、が、存在する。
バチカンは、ローマ市の一部でありながら、国家のステータスをもっている。これは、

型、だ。バチカンの国境は、バチカン―イタリア国境、しかありえない。2C2=1ということだ。
フランス、スペイン国境にあるアンドラ公国は、

型、ですな。アンドラ―フランス国境、アンドラ―スペイン国境、フランス―スペイン国境の3種の国境がある。これは、3C2=3に対応する。



[定義]有限個の点を有限個の線で結んだ図形をグラフという。ただし線の両端は必ず点になっているものとする。グラフの点をグラフの頂点、線をグラフの辺という。片は立体交差をしていてもよいが、頂点以外では交わらない。


[定義]グラフの任意の頂点から他の任意の頂点にグラフの辺をたどっていけるとき、グラフは連結であるという。


[定義]グラフの連結成分の個数を、0次元ベッチ数という。


[定義]グラフGからうまくn本の辺を選んで取り去ってもGが連結したままだが、n+1本の辺をどう取り去ってもGが連結でなくなるとき、Gの1次元ベッチ数nであるという。


[定義]1次元ベッチ数が0であるグラフをツリーという。


[定理]ツリーの頂点数aと辺数bの間には次の関係がある。

a-b=1




[定理(オイラー・ポアンカレの定理)]グラフGの頂点の数をa、辺の数をb、1次元ベッチ数をp1とするとき、次の式が成り立つ。

a-b=1-p1



「はじめてのトポロジー」瀬山士郎(PHPサイエンス・ワールド新書)

隣接する区画には同じ色が塗れない。隣接していない区画には同じ色を塗っても、混じりあうことがないから、かまわない。
これを何か他の問題に「すりかえる」ことはできないかしら?、と、トポロジーの本をぱらぱらめくっていたら、上のような一群の文章に出会った。
それぞれの区画に一つの点をとり、点同士を線で結んだら、
他の区画を経由せずに結ぶことができれば、「隣接している」、
他の区画を経由せずに結ぶことができなけれれば、「隣接していない」、
といえるではないか?
それらの点と線でできた図形を、トポロジーでいう「グラフ」とみなして、その「ベッチ数」とやらを計算してみようではないか?
隣接しない区画がある場合と、ない場合で、何か違いが見つかるのではないか?
まず、以下の図形は、すべて0次元ベッチ数は、1である。
これらは、1次元ベッチ数が0、すなわち、ツリーである。切ったら二本の線になる、当たり前だ。
a=2 , b=1 , p1=1-(a-b)=0
 
次の三つは、1次元ベッチ数が1。一ヶ所切っても遠回りして他の点にいける!、が、二ヶ所切ってしまうとばらばらになる。
a=3 , b=3 , p1=1-(a-b)=1
  
次の三つは、1次元ベッチ数が3。これらの図形が、ぐにゃぐにゃの針金でできていると想像して、一つの頂点を紙の上から浮かせて立ち上げると、「四面体」になる。

なるほど同じく三ヶ所切ル場合でも、真ん中の図のように切るとばらばらの立体になってしまうが、右の図のように切るとちゃんと、つながっている!、でも、もう一ヶ所切ったら、どれかの頂点が、離れる。
a=4 , b=6 , p1=1-(a-b)=3
  
いよいよ、隣接していない区画をもつ場合だ。隣接していなければ、同じ色を塗ってもかまわないのだから、あえて、同じ色を塗ってみた。
まず、「開区画」ばかり4つに分けて、しかも真ん中が「点」でつながっているから、2色しか使えない場合。
1次元ベッチ数は1。なるほど、単なる「環」なんだから。
a=4 , b=4 , p1=1-(a-b)=1

次は、4この「開区画」、二つは線を隔てて隣接しているが、そうすると当然残り二つは、隣接できない。
1次元ベッチ数は2。なるほど、2ヶ所が不通になっても、大丈夫。
a=4 , b=5 , p1=1-(a-b)=2

これらは、点が4個あるから、それらをつなぐ線は、最大4C2=6本まで引けるべきところ、それよりも線の本数が1ないし2、減っているから、1次元ベッチ数がやはり1ないし2減ってしまったのだな。
最後に、「開区画」3個の上に「閉区画」3個浮かべて、6区画にしてみた。点は6個あるから、それらから2個ずつ選んで線を引けば、6C2=15本あるべきところ、ここでは、隣接できない区画が、3対あるので、12本しか引けない!
1次元ベッチ数は8。
a=6 , b=12 , p1=1-(a-b)=8
これは、「立ち上げて」みると、三角柱の側面に一本ずつ対角線を書き入れた立体、と思われる。


というわけで、何がわかった!、というわけではないが、中間報告。






Last updated  2013.10.15 19:23:15



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