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ねこログ

2013.10.22
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平面に1本の線を引く。こうして「世界」は2つの部分に分けられる。この「線」は、「リーマン球面」上の円、と考えて差し支えない。リーマン球面上のすべての閉曲線は、元の平面の閉曲線に投影される。ただ、リーマン球面上の「大円」、つまり球と同じ半径の円、だけは、元の平面の無限直線に対応する!、ことに気づいた。大袈裟にリーマン球などを持ち出してみたが、その後あまり展開がなさそうなので、ふたたび、無限に広がる平面で考えることにして、お茶を濁すことにした。。

        

次に、この「線」上の異なる2点を結ぶ曲線を描く。そうすると、そこに3番目の部分が現れる。以下同様のことを繰り返し、どこで「変化」が生じるのかを見ることにした。

曲線を追加する際に、必ず、その「結び目」が「三叉路」になるように注意する。

  

そうではなく、このように「十字路」型につなぐと、十字路を挟んだ対岸が接触しないことになってしまうから、だ。いずれは接触できない部分は現れる、だが、回避できるだけ回避する、そうすれば「接触できない」ことの「理由」に近づくことができるだろう、という目算なのである。

トポロジー(位相幾何学)では、「グラフ」上の頂点に奇数個の辺がつながっている「奇頂点」であるか?、偶数この頂点がつながっている「偶頂点」であるか?、が重要な意味を持つそうなのである。

たとえば、


[定理]グラフGが一筆書きできる必要十分条件は、Gのすべての頂点が偶頂点、あるいはGがちょうど2つの奇頂点を持つことである。さらにすべてが偶頂点である場合は任意の頂点から出発し、その点に戻ってくる経路があり、奇頂点2つの場合は、その片方の奇頂点から出発し、もう一方の奇頂点で終わる経路がある。

「はじめてのトポロジー」瀬山士郎(PHPサイエンスワールド新書)

この「一筆書き」問題も、ここでの「世界」を「部分」に分ける境界線についてなのか?、分けられた「部分」に取られた1点をつなぐ「グラフ」についてなのか?、それはどっちかよくわからないが、大いに関係ありそうに思われるのだけれど、・・・、やはり「予感」に終わってしまったようだから、打っちゃっておくことにする。

そう、そういえば、ここ沖縄では、「三叉路」には魔物が棲む、と言われていて、そういう場所には「石敢当」と書かれたお守りのような札が、貼られているのだ。うちの路地を出たところも三叉路で、そういえば、闇夜、かどうかは記憶にないが(笑)、見たこともない子猫が忽然と現れ、何年来の親友であるかの如くに馴れ馴れしく纏わり付いてきて、・・・、その愛らしさに困惑し、愚かにも拾ってしまったことが、何度かあった。モモさん♪、ちっこい♪、は、そうしてうちの子になった。

「愁いの」、というわけでもないか?、ももさん♪「ちっこい」、退院。「ちっこい、可愛いね♪」って、先生に、「褒められ」た!
左、モモさん♪、右、ちっこいさん♪

で、そうやって「三叉路」を付け加えては「部分」を増やしていくと、4つまでは、そこからどの2つの「部分」を取り出しても互いに隣接している、と言う関係を保てるのに、5つになるや、これがどうしてもできなくなってしまう。そこまではもう何度も話した。なにやらそれは重大な数学史上の難問で、どうして出来ないか?、の証明が、出来ないんだそうである。だったら私のような凡人の出る幕ではないに決まっているのだが、凡人は凡人なりに、そこに何か「意味」を見出したくて仕方なく、ここ数日、そればかり考えている。くどいけれど付け加えておけば、・・・、もちろんそれは「逃避」なのであって、人間もっと「考え」なければならない人生の重大事があるはずだろ?、いや、それを考えな・い・ためにこそ、頭の中を、「1次元ベッチ数」だので満たしておかなければならないのである。

右のように、各「部分」に一つずつの点をとり、これを線でつなごうと思う。ただし、その線は他の「部分」を通過してはならない。そうすると、「部分」同士が隣接している、と言う事実を、線が引ける、と言う事実にすりかえることができる。で、その点と線でできた図形を聞きかじり「トポロジー」で、グラフとみなして、1次元ベッチ数とやらを計算してみたものの、とくにクリアな発見はできなかったわけだ。

そろそろ飽きてきたし、いつまでもこんなことに「没頭」している振りをするわけにもいかないので(笑)、少しは絵になる結末をつけて、終わりにしたい。

    

    

    

    

右の図の「線」が、ぐにゃぐにゃのゴム上のものでできているとして、・・・、トポロジーってのが、なにやらやたら「ぐにゃぐにゃの」変形によって、意外なつながりを発見する学問であるらしいことは、われながら少しは理解されてきたようではある、・・・、それを変形してみる、場合によっては、どこかを「持ち上げて」立体にしてみる。

3つの「部分」からは、三角形ができる。
4つの「部分」からは、四面体ができる。
5つの「部分」からは、す・べ・て・の・面が三角形でできた六面体ができる。
6つの「部分」からは、八面体ができる。これも、すべての面が三角形である。

すべての面が三角形でなければ、そこには隣接していない「部分」があることになる。上の5つの「部分」で、「三叉路」でつなげるルールに反してしまうと、同じく5頂点の立体なのだが、四角錐になる。底面が三角形でないから、もう一つ、隣接しないペアが生じてしまうのだ。

ところで、表面がすべて三角形であっても、5、6の場合は、やはり隣接しない「部分」のペアが生じている。

で、わかった!(笑)
四角形がどうして「いけない」のだ?、それは、対角線があるからだ!、「この世」でただ一つ、対角線を持たない平面図形は、三角形なのであった。

どうして4までなのだ?、やはり、今度は立体の内部に、対角線があるからだ!、表面に出てこない対角線がある、と言うことが、結ばれない点のペアがある、と言うことに対応している!
そして、またしても「この世」でただ一つ、対角線を持たない立体図形は、四面体、なのである。






Last updated  2013.10.22 17:28:24



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