一行程の記

[備忘録（物理）] カテゴリの記事

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• 分子軌道計算はぢめました

  ＤＶ－Ｘα法にについてすこし調べる。一般に多体の電子系をあつかう手法として、波動関数を議論するハートレー・フォック(HF)法と、電子密度を議論する密度汎関数法(DFT)とがあると思いますが、一見DV-Xαでは波動関数について議論しているのでHF法っぽいように見えますが、これってはなから多体ではなく一体の波動関数だし（…とはいってもHF法でも結局は一体の波動関数を求める問題に帰着されるが）、そして、いわゆる（"xc"の添え字の）交換相関項を、電子密度ρ(r)の汎関数としているとか、DV-XαはたぶんむしろDFTだと捉えたほうがいいのかな。あれれ？"ＤＶ－Ｘα" の名称のうち、"DV (discrete variational)"は、ハミルトニアンを行列表示するとき、その行列要素の計算に含まれる積分を（乱数に取った?）離散点で数値積分することを指し?（その離散点の数を増やした極限での行列要素の値が、変分原理から得られる永年方程式に含まれるものに一致する?）、"Xα"は、交換相関項を、電子密度ρ(r)の1/3乗に比例すると仮定する（これを最初に提案したのがスレーター?）ことを指す（その際 unknownの比例係数が習慣的にαと書かれる）、…らしい。

  Oct 14, 2009

• チャンス到来！

  投稿論文が早々にリジェクトされたとの通知がありました。これは、論文の見直しと改訂の機会を得て他の学術雑誌に掲載される又とないチャンスです！

  Sep 1, 2009

• DVR法２

  お昼のおかずは、サバ塩焼き。完全系の条件　Σ_n ｜ｎ〉〈ｎ｜＝１に対して、ここの和を、数値計算上で有限個の和で代用できるのか？…について、どうやら次のことがいえるようです。φ_n(x)＝〈x｜ｎ〉として例えば直交多項式をとる。そして、数値計算上の離散的な座標点として、そのN次多項式のゼロ点 x_i （i=1 to N）を採用する。そうすると、有限個の和　Σ'_n　に対して、　Σ'_n 〈x_j｜ｎ〉〈ｎ｜x_k〉＝ (λ_j)^-1　〈x_j｜x_k〉∴　Σ'_n φ_n(x_j)φ_n(x_k) ＝ (λ_j)^-1　δ_{j, k}となることがいえる　（ここで λ_j は、ある係数）。確かに数値計算で実際に確かめてみると、みごとにそうなっていた。…で、この関係式が Discrete Variable Representation (DVR) 法にとって重要となるみたい。Ｆ_j (x) ≡ λ_j　Σ'_n φ_n(x_j)φ_n(x)と定義すると、このＦ_j(x)という関数は、上の関係式からＦ_j (x_k) ＝ δ_{j, k}である。あたかも x=x_j に局在したデルタ関数ような振舞いにもかかわらず、その座標点での1階微分も2階微分もちゃんと解析的に得られる。この特徴により、上のように定義されたＦ_j (x)は、例えばハミルトニアン行列の基底として大変便利な関数だということ。これがまさに、DVR法である。追記：結局入手できた文献のなかで、最も有益だったのが、D. Baye and P.-H. Heenen, J. Phys. A: Math. Gen. 19 (1986) 2041-2059.

  Nov 1, 2007

• DVRのグリッド点

  DVR法について文献を漁った（バケガク系のヒトは賢いなー）。その結果分かったことは、どうやらこれまでは誤解していたようで、離散的なグリッド点はこちらで勝手に設定していいわけではなくて、正しくは、例えば直行多項式系をDVR法で利用する場合には、そのゼロ点をグリッド点として採用する必要があるらしい。というわけで、エルミート多項式のゼロ点の数値を求めるプログラムを作った。

  Oct 30, 2007

• 完全系

  完全系の条件Σ_n ｜ｎ〉〈ｎ｜＝１は理屈上ではそうなんだけど、この和を数値計算上、有限個の和で代用したとき、この条件がどれだけ保たれるかがよく分んない。…ということで、Discrete Variable Representation (DVR) 法をプログラム上にインプリメントしようとしてみて、はたと、いきづまったのでした。ノート上では（理屈上では）辻褄があってるように見えるんだがなー。まぁもう少しよく考えてみるか。

  Oct 29, 2007

• DVR法

  Discrete Variable Representation (DVR) 法が、だいぶ理解出来てきた感触。

  Oct 26, 2007

• 行列基底と収束法

  DVR法とDIIS法について調べていた。

  Oct 25, 2007

• ゲージ

  TDGLシミュレーションやってる人と議論してる最中混乱してしまったので、後で、砂川 理論電磁気学をひっくり返して確認してみた。初歩的なことなんだろうけれども、今日改めてローレンツゲージについて再認識した。これまで自身の研究で電磁気使う機会なかったから（言いわけローレンツゲージって、ある条件式（ローレンツ条件と呼ばれる）をみたすようなベクトルポテンシャル及びスカラーポテンシャルに対応するゲージの総称であり、ある特定の一種類のゲージの選び方を指すのではないということ。であるからして、特定のゲージ、例えばシンメトリックゲージやランダウゲージは、同時にローレンツゲージでもあり得るということみたい。

  Aug 31, 2007

• 状態密度

  NGIさんから、DS法とそれに代わる方法についてのノートを送って頂いたので、その問題について考えてみました。

  Jul 11, 2007

• SRTさん

  今週末の前後に控えている締め切りモノに合わせて、それら関連の文献を読もうと思っていたけれども、なかなかはかどらず。むしろ、職場の同僚の人と、某トリプレットと思われている超伝導体について長いこと議論した。そこでは結局、あの物質はいろいろ分ったようで、依然さっぱり分ってないんじゃないかということに。前にSRTさんは講義で、「これは、教科書的な超伝導体として、…」と言っていたけれども。（上記の同僚の人とは、先週の金曜日にも長時間、Doppler-shift法などについて議論した。そこでは、Doppler-shiftは、低磁場での E=0の状態密度を評価するのには有効だろうけれども、しかし E≠0 の状態に対してはよくない、すなわち E についての積分量として与えられる物理量（例えば有限温度の磁場侵入長など）については正しい結果を導かないのではないか、という結論でした。）今日のタイトルは NGIさんの日記と合わせてみました。

  Jul 9, 2007

• メモリ分が足りない！

  二次元の格子点、その数、ｎ×ｎ＝ｎ^2　（ｎの２乗）行列の基底を、格子点の座標でとると、行列の大きさは、ｎ^2×ｎ^2＝ｎ^4　（ｎの４乗）に跳ね上がるさらに２×２の粒子ホール空間を考慮すると、（２×ｎ^2）×（２×ｎ^2）＝４×ｎ^4行列要素が、倍精度の複素数型の変数だとすると、１変数あたり16バイト占めるらしいので、メモリ消費量は１６×（２×ｎ^2）×（２×ｎ^2）＝６４×ｎ^4　バイト系の大きさ　ｎ　が１０のとき、640,000 B ＝ 640 kB　（全然余裕ですな）　ｎ　が５０のとき、400,000,000 B ＝ 400 MB　（まだまだイクおー）　ｎ　が１００のとき、6,400,000,000 B ＝ 6.4 GB　…(´Д｀；)　ｎ　が５００のとき、4,000,000,000,000 B ＝ 4 TB　…(Ｘ＿Ｘ )これが、三次元系になると、ｎの６乗になり１６×（２×ｎ^3）×（２×ｎ^3）＝６４×ｎ^6　バイト　ｎ　が５０のとき、1,000,000,000,000 B ＝ 1 TB　…((((;゜Д゜)))　ｎ　が１００のとき、64,000,000,000,000 ＝ 64 TB　…(ﾟдﾟ )……orzこういった事情があるから、世の中では、帯行列である特徴を利用したりしてｎの肩の指数を下げたり、工夫がされてるんですな。納得。ｎ^4　→　ｎ^3------夕方NGIさんより、論文原稿のほぼ最終稿届く。

  Jun 12, 2007

• 補間

  二次元面上の複素数の離散データから、任意の位置での値を補間するプログラムを書いていた。出てきた結果を振幅についてプロットしてみると、線形に補間したにもかかわらず微妙に波打っているので何かなと思ったけど、少し考えて、これは当然の結果だと解析的に示すことができた。渦糸のまわりのように、位相が空間変化しているときにこのことが起きる。この性質のおかげで、元の離散点が粗くて渦中心の位置をだいぶ外していても、補間によって、渦中心で振幅がちゃんと潰れるような補間値が得られるようだ。（ただし、中心からの振幅の立ち上がりは、本来そうあるべき線形からはズレる。）ここまでできれば三次元系への拡張はストレートフォワードだと思う。

  May 30, 2007

• ノート

  ここ暫くは、主に計算ノートを作っているのですが、手書きでなく、キーボードからTeXで打っています。たまに手元で鉛筆（シャーペンでなく鉛筆）で走り書きしてから、TeXへ写すこともありますが、ほとんどは計算も、TeX入力しながらやっています。これには、いろいろメリットがあり、　・コピペが効くので、冗長な数式も、繰り返し楽に書ける。　・コピペが効くので、行を変えつつ式変形してゆく過程で、写し間違いがへる。　・きちんとした表示で出力されるので、いろいろ変なうっかり間違いがへる。　・出力結果は、後で見返しやすい。（蓄積として残すのによい）　・コピー印刷とかFAXとか面倒なことをせず、メールで他の人に簡単に送れる。　・紙だとちゃんとファイルしないとたいがい散逸してしまうけど、それがない。　・あらかじめTeXで打ってあると、後々論文にするときに楽。デメリットとしては、　・手書きほどの、自由自在な表現ができない。　・手書きのような、ちょいちょいと簡単に書ける気軽さがない。　　　（ただし、コピペは手書きには無い気軽さを高めてくれる）　・込み入った表現をしようとすると、何のコマンド使ったらいいか、その都度調べざるを得ない。　　　（まぁこれも、一度使えばその後は、それをテンプレートとしてコピペできるのでいいんですが）　・コピペが効くことで、逆にうっかりミスが出る。で、トータルとしては、TeXを打ちながら計算することのメリットの方が多大なので、ここ数年は主にそれでやっています。そのやり方と、紙の上に書くのと、一旦印刷してそこに書き込んだりして式変形するのと、それらを適宜組み合わせるのがいいかんじみたいです。この過去2年間くらいの間に、ノンセントロのアイレンベルガーのノートをTeX上で計算しながら書き下したことや（初期の見通しの付かないうちは紙上でやってましたが）、それと演習授業の問題解答の準備を同じようにやったことや、NGIさんを始めBるさんなど若い方のPDFノートの影響とかもあって、すっかりキーボードから入力しながら計算するようになりました。

  Apr 23, 2007

• 宣誓

  この４月から所属する機関は、これまで属してきた組織と性質が異なりますので、今後は、日々のお仕事の内容はこちらへ書かないと宣言いたします。

  Apr 1, 2007

• ２成分

  YNSさんと、ある系である状況下での２成分ＧＬについて議論しました。

  Dec 6, 2006

• ハバード

  午前にセミナーがあり、午後にはそのYNSさんのCePt3Siの反強磁性オーダーを考慮したミクロな理論について、いろいろと教えてもらいました。

  Nov 29, 2006

• 

  曲線のスムージング

  曲線の平滑化（スムージング）が、試行錯誤の後うまくいきました。Ｂｅｆｏｒｅ：Ａｆｔｅｒ：経験的に見出した方法は以下のとおり。まず、元の曲線のデータが、y(i) として与えられているとします。（i は整数）（縦軸 y，横軸 i ）y(5) の「新しい」値を、多項式による補間 (Polynomial Interpolation) の方法を使って、y(0)，y(2)，y(4)，そして y(6) の値から補間して求めます。次に、y(6) の「新しい」値を、y(1)，y(3)，y(5)，そして y(7) の値から補間して求めます。ここで、y(5) としては、上で求めた「新しい」値を使用します。同様にして、y(7) の「新しい」値を、y(2)，y(4)，y(6)，そして y(8) の値から補間して求めます。ここで、y(6) としては、上で求めた「新しい」値を使用します。このように同様の計算を、増大する整数 n に対して、続けていきます。すなわち、y(n+5) の「新しい」値を、y(n)，y(n+2)，y(n+4)，そして y(n+6) の値から補間。ここで、y(n)，y(n+2)，y(n+4)については、すでに求めた「新しい」値があればそれを使用。こうして得られた「新しい」 y(i) からは、元の古い y(i) のもっていた小さなギザギザの振動が取れていました。この方法にどのくらい汎用性があるかは不明。

  Nov 17, 2006

• 

  フラウンホーファー

  今日は、フラウンホーファー・パターン形成の直観的な理解の仕方がわかった。ジョセフソン接合に磁場を印加した際に観測される、電流と磁場のカンケイについて考えてみよう。接合を流れる最大の超伝導電流の値　Ｊ　（縦軸）を、接合部をつらぬく磁束 Φ　（横軸）の関数としてプロットすると、理想的な接合では、次の図のようになることが知られている。（１） ここから見られるように、磁束 Φ　（横軸）の値がちょうど磁束量子　Φ_0　の整数ｎ倍になったとき（ Φ＝ｎ×Φ_0）に、電流　Ｊ　（縦軸）の値はゼロとなる。この特徴的な振動のふるまいは、フラウンホーファー(Fraunhofer)・パターンと呼ばれている。ではどうして、このような振動パターンが生まれるのだろうか？以下は、その一つの直観的な理解の仕方である。まず、次のような、超伝導体に左右から挟まれたジョセフソン接合を考える。（図において接合部は水色）（２） そこへ（画面にたいし垂直の方向に）磁場を印加し、磁束がつらぬくことによって、接合部には渦電流が流れる。その渦電流はジョセフソン・ボルテックスと呼ばれる。一つのジョセフソン・ボルテックスは、ちょうど磁束量子の値　Φ_0　と同じ磁束に対応する。（これを、以下の図では、薄ピンク色であらわす）ちょうど　Φ＝Φ_0　の値の磁束がつらぬくと、接合部には、ただひとつだけのジョセフソン・ボルテックス（渦電流）ができる（下の左図）。このとき接合を流れる電流、すなわち下の図の「矢印」は、「右向き」と「左向き」のものが同数個だけあり（下の右図を参照）、したがってトータルとして接合をよこぎって流れる電流はゼロとなる（Ｊ＝０）。(3a) 　(3b)同様に、磁束量子　Φ_0　のぴったり整数倍（ｎ＞１）の値の磁束が、接合部をつらぬくときも、すなわち整数個のジョセフソン・ボルテックス（図で薄ピンク色）が存在するときにも、接合をよこぎって流れる電流はゼロとなる（すなわち、左右の向きの矢印の本数が同数となっている）。たとえば、Φ＝２×Φ_0　のとき、左右の向きの矢印の本数は同数となっている：(4a) 　(4b)また、Φ＝３×Φ_0　のときも、左右の向きの矢印の本数が同数：(5a) 　(5b)このように、磁束量子の整数倍の磁束がつらぬくとき、接合をよこぎって流れる電流はトータルとしてゼロとなる（つまり、左右の向きの矢印の本数が同数）。フラウンホーファー・パターンの図でいうと、横軸（磁束）の値が整数のときに、縦軸（電流）の値がゼロとなる。（６） また一方、ぴったり整数ではない場合、たとえば　Φ＝（１．５）×Φ_0　すなわち接合部をつらぬく磁束の数が、Φ_0を一本として、１．５本　である場合を考える。このとき、接合部分には、１．５個　のジョセフソン・ボルテックスが存在することになる（下図を参照）。(7a) 　(7b)図からわかるように、左右の向きの矢印の本数は同数ではない。つまり、左右の向きの矢印はトータルとして打ち消しあわない。したがって、接合をよこぎって電流が流れていることになる。これは、フラウンホーファー・パターンの図でいえば、横軸（磁束）の値が　１．５　であり、このとき縦軸（電流）の値がゼロでない値となっていることをあらわす。（８） ……以上のようにして、接合部をつらぬく磁束が 磁束量子の整数倍かそうでないかによって、ジョセフソン・ボルテックスの配列に違いが生じ、そして、その配列が接合部の幅にぴったり（図３ａ～５ａ）か中途半端か（図７ａ）の違いによって、接合をよこぎるトータルの電流が、ゼロとなるか（図６）、ゼロでない値となるか（図８）の違いが現れることをみた。これが、フラウンホーファー・パターンが形成される理由の直観的な一つの理解の仕方を与える。

  Oct 19, 2006

• 三位一体

  d/s接合のジョセフソン効果についてのレビューを読む。……以下メモ。それによると、接合部における 次の三つの事柄(a), (b), (c)が互いに関連しており、それらが、一つの現象「接合部での時間反転対称性の破れ」に対する三つの異なったとらえ方、を与えるとのこと。　(a) 複数のクーパー対の同時のトンネル　〔J_m ～ sin(mφ), m>=2〕　(b) 接合部を薄い導体とみなすモデルをとった場合に、そこに形成されるアンドレーエフ束縛状態　(c) 近接効果による、接合の両側の超伝導成分の混合位相差をφ＝φ_d － φ_s　として〔　φ_d： d波超伝導体側の位相，　φ_s： s波 〃 側の位相　〕、なるほど、(a) からの J_2∝sin(2φ)の寄与は、φ＝±π/2になろうとする傾向を与える。(b) では、ゼロエネルギー近傍に束縛状態が形成されているとき、有限の位相差φ≠0を生じることによって、束縛状態の励起エネルギーをシフトさせ、それによるエネルギーの得がえられる。そして、ある状況下(※)では、そのエネルギー的な得が、位相差φ＝±π/2の際に最も大きくなる。(c) では、上の(※)と同じ状況下において、接合部近傍で、ｄ±iｓ状態が安定化される。その際、接合部近傍でのｓ成分とｄ成分それぞれの位相は、接合をはさんでそれぞれの側でのバルクのそれぞれの位相でもあるから、したがって、φ＝φ_d － φ_s＝±π/2となる （つまり、exp[iφ]＝exp[±iπ/2]＝±i ）。なお、ｄ±iｓ状態は、時間反転対称性の破れた状態である。以上から、ようは接合をはさんでの位相差をφ＝φ_d － φ_sとして、それがφ＝±π/2のときにエネルギー的に最も安定になるような ある状況の存在することが上の(a), (b), (c)それぞれの見方から説明でき、そして、その同じ状況下で近接効果(c)を考えると、接合部近傍で、ｄ±iｓ状態（時間反転対称性の破れた状態）が現れている、ということですか。（なおここでは、きっちりφ＝±π/2が安定となる場合に話を限った。すなわち、ｄが x^2-y^2型のときに、[110]面が接合面である場合。　また、その[110]面の場合はT_c直下からｄ±iｓ状態となるが、一方それが[110]面からズレると、T_cよりも低いある温度で相転移がおき、それ以下の温度でのみ時間反転対称性の破れた状態が現れるとのこと。）

  Oct 18, 2006

• PrOs4Sb12，ギャップノード理論；　Kerr効果理論，カイラルｐ波

  備忘録cond-mat/0608122cond-mat/0608148

  Aug 8, 2006

• Sr2RuO4，Ru トンネル；　電場中の超伝導

  備忘録cond-mat/0608066cond-mat/0608084

  Aug 4, 2006

• Fractional vortex，２ギャップ超伝導

  備忘録cond-mat/0608015

  Aug 2, 2006

• マヨラナ・フェルミオン，ｐ波，トンネル

  備忘録cond-mat/0607779

  Aug 1, 2006

• Kerr効果，Sr2RuO4，時間反転； 熱伝導，PrOs4Sb12，ｓ波

  備忘録cond-mat/0607539cond-mat/0607561-----その他NGIさんより、再投稿した論文について掲載決定の連絡くる。

  Jul 24, 2006

• ノンセントロ、ジョセフソン

  備忘録cond-mat/0607409

  Jul 18, 2006

• giant vortex、粒子数密度； スカーミオン、p波超伝導

  備忘録cond-mat/0607405cond-mat/0607391

  Jul 18, 2006

• フェルミガス，渦；　μSR，バナジウム，KP効果

  備忘録cond-mat/0607179cond-mat/0604501

  Jul 10, 2006

• d波渦状態密度，量子ゆらぎ； 希薄フェルミガス，渦，粒子数密度

  備忘録cond-mat/0607137cond-mat/0607147

  Jul 7, 2006

• 不純物，NMR，２バンド；渦糸状態密度

  備忘録cond-mat/0606393cond-mat/0607042--------以下、日記日中いまいち集中できず。つか、KOTONOHA DAYS 希望。夜になりエンジンがかかり、計算がちょっと進む。

  Jul 4, 2006

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