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多面体紙工作で数学を楽しむ - 行動の記録

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数学

Dec 20, 2012
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カテゴリ:数学

無限大角多面体から派生する多面体を調べて、オイラーの定理が適合することを確認する

無限大角四面体から派生する多面体は数多くあるが、例として、正四面体構成の多面体についてだけを見てみる。

 それも、正三角の二倍角(六角)と三倍角(九角)で調べてみる。


1 面が正六角である多面体

  開いている面は正三角であるので、八面体になる。
  これはすでに以前のページで投稿してあるので説明はは省略する。
  この多面体はすでにオイラーの定理が当てはめられることは承認済みである。

    以前のページを示す
Dec 8, 2012
正多面体構成の正無限大角多面体総編集

2 面が正九角である多面体

開いている面は鋭角3鈍角3の六角形であるので、この面は三角が四面で埋め合わせられる。

正九角.JPG

上図のようなABCDEF六角が開いた面に現れるので、ここを三角形四個で埋めれば、20面体が出来る。

 開いた面(1個)について 

 面数 4   頂点 6   辺 9

これらを考慮すると、この20面体の三要素は 次のようになる。

  面数  F  4+4×4=20
  頂点  V  6×4=24
  辺   E  6+9×4=42

オイラーの法則に当てはめてみると、次のとおり適合する。

  オイラーの定理  V+F=E+2  

    左辺  V+F=24+20=44   
    右辺  E+2=42+2=44

 左辺と右辺は等しい。このように、オイラーの定理に適合している。

正n無限大角四面体について、開いた面の辺が2と3に着いて見てきたが、4の場合(正12角)に着いても同様に調べることが出来る。

 なお、他の4種類の正n無限大角多面体に着いても同様に、開いた面を三角で塞いで面数の大きな多面体が出来る小尾tも分かる。

 このように、五種類の正n無限大角多面体は様々な多面体の構成を立証するのに役立てられる。ただし、その多面体は基本が正多面体のものに限られるが、かなり色々な多面体が作り出されることになる。

  








Last updated  Dec 20, 2012 06:16:07 PM
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Dec 19, 2012
カテゴリ:数学

面の大きさを同じにした無限大角多面体5種類の作品

無限大角多面体_5種類.JPG

上記5種類の多面体の構成は下記の正多面体構成と同じ様態です。

正多面体_5種類.JPG

円形を切り抜くためのコンパスは下図のようなものです。

円切抜きコンパス.JPG


無限大角多面体の総合評定

面の大きさを同じにしたことにより、5種類の多面体の大きさがどのようなものであるか明確に判断できるように作りました。

 また、これらの多面体から、穴を埋めて出来る多面体の種類を推定することが出来ます。






Last updated  Dec 19, 2012 10:23:38 AM
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Dec 10, 2012
カテゴリ:数学

正八面体と正四面体の変化を交互に速替わりする模型を作ることを考えた。

正三角形4面で正八面体を作る_穴開き正八面体

その穴開き正八面体が正4面体に速変わりする。


正三角ABCD4枚にはそれぞれ角に番号を振る。

番号は(1)と2と(3) (○)で囲んだ番号は点接続されているものとする。
番号の振り方は時計回りとする。(機種異存文字を使用した為、このような表現に成っている)

正八面体から正四面体に変身(変更)させるのにどのような方法をとろうかと考えてが、紐で結ぶ方法をとった。

正八面体から正四面体に変身するに必要な接続のための紐を角に貼り付けた。


正三角形の接続

4枚点接合.JPG
AとBの角にある紐をこちら側で結び、CとDの角にある紐を向こう側で結べば穴開き正八面体が出来る。

a2b2.JPG
CとDの角にある紐を向こう側で結べば穴開き正八面体が出来る。

c2d2.JPG
AとBの角にある紐を向こう側で結べば穴開き正八面体が出来る。


正八面体、正四面体を構成するのに、正三角の角に紐をつけて、固定したり結んだりして角の点接触を図る。


正八面体

AB_AC_CD.JPG
固定されている紐のほかに、紐が更に貼り付けてあるのは、正四面体に変換するときに必要なので着けてある。

D_B.JPG
正八面体に紐で結んで構成してある様子を見る。


正四面体

正四面体.JPG
正四面体が構成されている様子を見る。

点接続について
B1D1-C2,B3C3-A2,A3D3-B2,A1C1-D2

もう一つの正四面体構成の方法があるが、画像は省略する。接続のみ下に記す。

A1C1-B2,B1D1-A2,B3C3-D2,A3D3-C2

正八面体から正四面体に変わる様子を見るための図を下に示す。

a2b2 to b1d1a2.JPG
A2B2をほどいて固定されたB1D1の角にA2を持ってきて結ぶ。

c2d2 to a3d3c2.JPG
C2D2をほどいて固定されたA3D3にC2を持ってきて結ぶ。

以上は図説で正八面体と正四面体の変化を説明したが、両手で二つの角の紐を持って、右手の紐を解いてその正三角の面を滑らせて、いとも簡単にマジックのように正四多面体に変化することが出来る。

左手の指でA2B2の紐を持ち、右手の指ででC2D2の紐を持ち、Aの三角面が左手の掌にあるならば、左手でAの三角を維持したまま、右手のD2の紐を離し、D1をA2に持ってゆくようにすれば、後は自然と正四面体の形に各面が移動してゆく。
これを素早く行えば、まさに手品を行っているように見える。

 これらのことは、実際に行っているのを見るのでなければ、その感覚が理解できないと思われます。

 この様子を動画で見てもらえないのを残念に思います。


出演した多面体たち

無限大角多面体集合.JPG

出演者 ご苦労様でした。様々な大きさでしたが、それぞれ縮小して載せましたので、大きさが変えられて出演しています。






Last updated  Dec 13, 2012 05:01:55 PM
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Dec 8, 2012
カテゴリ:数学

正多面体構成の正無限大角多面体総編集

正多角形の角を大きくしてゆくと、最後は正無限大角となる。

単に無限大角と言った場合、楕円も無限大角とみなすことも出来るので、正多角形の終局の最大角は正無限大と呼ぶことにする。

この正無限大角多面体は不明の穴開きの正多面体構成にして5種類の無限大角多面体が考えられる。

そのモデルを順に面数の少ないほうから列挙してみる。

1 正四面体構成
 
モデル 4_1.JPG

左図は上方から見た図であり、右図は側面から見た図である。

正四面体は正三角面であるので、この構成を眺めていると、正三角の倍数角であれば、穴開き四面体が作れる。 その考えで作った穴開き多面体は下図の如し。
    
モデル 4_2.JPG


2 正六面体構成

モデル 6_1.JPG

 左図は上方から見た図であり、右図は別方向から見た図である。

正六面体は正四角6面であるので、この構成を眺めていると、正四角の倍数角であれば、穴開き六面体が作れる。 その考えで作った穴開き多面体は下図の如し。
  
モデル 6_2.JPG

左図は正4角の点接続多面体であり、右図は正四角の二倍角の正八角6個で作った多面体である。



3 正八面体構成

   モデル 8.JPG
モデル 8.JPG

左図は正無限大角八面体であり、右図は正八面体の構成面、正三角形の二倍角(正六角)で作った
穴開き六面体である。ともに、正四面体の頂点が上方にある位置においたのと同じ状態に置いてある。
この正無限大八面体の穴開きの様子を見ると、正方形が想像できるので、右図のような多面体も容易に理解できる。


4 正12面体構成

モデル 12.JPG

左図は正無限大十二面体であり、右図は正十二面体の構成面が正五角形であるので、その二倍角の正十角12個で作った多面体である。この正無限大十二面体構成を眺めると、構成面の倍角(正10角、正15角・・・)であれば辺が接続された多面体が作れることが分かる。


5 正二十面体構成

モデル 20.JPG

左図は正無限大二十面体であり、右図は正二十面体の構成面が正三角形であるので、その二倍角の正六角20個で作った多面体である。

正二十面体はその頂点を眺めると、正三角形が5個集まって正五角錐を構成している。
どの頂点を見ても正五角錐が認められ、その底辺の正五角面は面交差をしていると考察できるのも興味あることである。それが、この正無限大二十面体から想像できるということが面白い。







Last updated  Dec 8, 2012 11:36:01 AM
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Dec 4, 2012
カテゴリ:数学


無限大角八面体と切頭八面体_無限大という数値の面白さ

無限大角という観念を取り入れた多面体をいくつか作ってきた。

正多面体の構成と同じ無限大角の穴開き多面体は正多面体の数と同じだけあると考えられる。

これらは、あえて無限大という角を用いた不明点のある立体である。

この考え方に従えば、正八面体構成の無限大八面体も作れるので、それを製作した。

無限大角八面体.JPG

無限大角多面体を眺めて発想するのは、正多面体の角の二倍の角でこの正八面体構成の多面体が出来ることである。

その考えに従って作った多面体が下図に示すとおりの切頭八面体であった。

切頭八面体.JPG

無限大角の概念とその応用

無限大角とは、円のことであるが、正n角形の内角の大きさを調べたとき、角度を最大にしたらどうなるかと計算を進めていったとき、その極限値が円に成るという結果を得た。

これを無限大角という表現で、このブログに用いたのであった。

そのことによって、正多面体構成の穴開き多面体の作成が容易に考えられるようになった。

 正20面体構成の穴開き多面体は正三角形の寄り集まった頭を切って出来る多面体であるので、

正六角形の20個を貼り合わせてゆけば、サッカーボールが出来るということも推察できる。

これは、正二十面体の頭をちょん切って出来る多面体が正五角形12面と正六角形20面の32面体であって
、通称サッカーボールと呼んでいる多面体であることを認識しているときに、推定できることであった。

無限大角という概念を取り入れたとき、穴開き多面体についての概念が拡張できたのであった。


参考多面体

s04_s05_s07.JPG







Last updated  Dec 4, 2012 05:47:12 PM
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Dec 3, 2012
カテゴリ:数学


無限大角六面体と無限大角十二面体の試作

ダイレクトメールのはがきで円形のパターンを18枚切り抜き、六枚で無限大角六面体と無限大角十二面体を作った。

無限大角六面体は円周を四等分した点をセロテープで点接続した。


無限大角十二面体については、円形紙の接続は、円周を五等分した点を全部糸で接続するつもりあった。
点接続であるので、このような方法をとったが、大変面倒な工作法であるので、途中からはセロテープで表裏に貼って接続した。

これで、どんな多面体になっているかが、大体の様子は分かる。

無限大角多面体.JPG

無限大角多面体についての考察

十二面体を眺めているうちに、十二面体の構成は点接続か面接続かの違いがあるだけで、立体形態は正十二面体の構成とまったく同じであるので、

線接続について考えるならば、円周を五の倍数で等分して形成される正多角形であるならば
線接続の多面体が作れることに気がついた。

それで、正十角形のパターン紙をA4判コピー紙で十二枚作り、十角形十二面体を試作した。

八角形十二面体.JPG

試作予想とおり、まったく線接続になっている。

A4判コピー紙で作ったのは、立体の裏側に指が入るから線接続をするとき、貼り合せが容易になることを考えての工作だった。

十角形を設計したときの円の十等分線を消さないでそのまま残しておいたのが現れている。


正十角形6個パターン

正10角形6個_blg.JPG

このパターンを12個 印刷して切り抜きます。






Last updated  Dec 3, 2012 03:18:49 PM
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Dec 1, 2012
カテゴリ:数学

正多角形の角数を大きく増加して行くとその内角は180度に近づく

多面体では正多角形が表面に現れているものがある。

それらの角は何度なのかを調べたことがなかったので、EXCEL表計算を用いて調べてみました。

正多角形の内角を求める表.JPG

その結果、面白い発見がありました。

角数を増やしてゆくと、その角の大きさは大きくなってゆくのわかりますが、中心角を1度にしたとき、179度になります。

さらに角数を増やしてゆけば、180度に近づきますが、絶対に180度にはなりません。

180度になるのは円の接線だけです。

このことは、「円周を無限大に等分して出来る正多角形の内角が180度である」ということです。

数学では極限値を求める問題がありますが、その極限値で表現したのでした。

これが数学の面白いところです。


計算表に用いた数式の図説

正5角形_正六角形.JPG

正五角形と正六角形で調べて見ました。

ABを底辺にした三角形には、その正多角形の角が二つ使われています。

A点は分割されて出来た三角形の共通点です。

この二つの点の数2をn角形の角数nから差引いた数がn角形の中に分割された三角形がある個数です。

その正多角形には、その正多角形の角数から2を引いた数の三角形があるのです。

即ち、正n角形の分割された三角形の数は n-2 個です。

この正n角形の内角の総和は 180×(n-2)度であって、これをnで割れば、内角の大きさが求められます。

故に、正n角形の内角の大きさは 次の式で求められます。

 {180×(n-2)}/ n = 180-360/n  ・・・ 単位は度



  






Last updated  Dec 1, 2012 02:26:51 PM
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Nov 27, 2012
カテゴリ:数学

円筒を直角に接続する方法(トイレット芯でオブジェを作る)

かつて、トイレットペーパー芯で下図のようなオブジェを作ったが、断面を正方形にして接続したのでした。

立方構造.JPG

このページでは、断面を円形そのままで接続する方法を考えたのでその設計方法を発表します。

切断の方法 設計図
T_design'.JPG

筒の表面を引き伸ばして展開した図

T_筒patern_blg.JPG
紙の筒をL接続可能にするためのゲージが作れます。
厚紙にこのパターン図を描いて切り取って筒を作り、これをトイレットペーパー芯に被せて切り取り曲線を引く。そのゲージを作る展開図です。

このパターンで切断した筒は平面状に接続できます。四本をつき合わせてつなげばクロスした筒が出来ます。


ボール紙で模型を作る

断面切断が正しいことを大きな模型を作って確認します。

L.JPG

接続部分の継ぎ目が直線で、きれいに接続されてます。

筒の切り口も、45°で切って有るので、接続後の直線が見えています。

corner.JPG

逆L状に立てて眺めた図です。

直線.JPG

内側 緑色の直線を引いた部分 その設計通り直線になっています。設計が正しかったことが、この模型で認められました。

以上は平面状で円筒を接続する方法でしたが、これを立体状に接続するには、筒の先端を直角に回転して同様な曲線で切ればよい。

その切断展開図を下に示します。

T_筒patern_blg_2.JPG

このパターンで先端を切り取った円筒を6本つき合わせて接続すれば、中心軸が三方向に直交した立体が作れます。

製作作業は時間がかかりますが、この方法で最初に挙げたオブジェも円筒のままで接続された立体として作れます。

切断方法の設計図_その考え方

前頁の続きになりますので、詳細には説明をしませんでしたが、曲線を描くときプロットす数が多ければ正確になるのですが、10°毎にプロットする点を決めました。

側面図では、筒の中心線に対して45°の角度で切り取る線を描いてありますが、円周上の各点に真上から見た直線を中心線に平行に引いてあります。

 円周を引き伸ばして平面にしたときの各点の位置を曲線で繋げば正確な曲線が描けますが、此処では、隣り合った各点を直線で引いてあります。

このような簡略法でも、この方法で作った模型では結構正しい接続が出来たのでした。






Last updated  Nov 27, 2012 02:16:08 PM
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Nov 20, 2012
カテゴリ:数学


設計試作した資料と一緒に作品5個を写真に取りました。

大きさ確認のために、ゴルフボールを一緒に置いてあります。

カラー着色した作品の後のコピー用紙で設計検討試作した大きな多面体がその資料です。

正四角錐星型八面体作品.JPG

私はゴルフはしませんが、ゴルフ練習場外の道路脇でゴルフボールを拾って来たのがありますので、いつも大きさ確認の時には、これを一緒に並べて撮影します。






Last updated  Nov 20, 2012 04:13:33 PM
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カテゴリ:数学

製作途中で設計変更を行う_正四角錐星型八面体

八部品がまったく同じパターンで描いてあるので、糊代の数が四枚多すぎる。

施工作順序は部品Aの右側に部品Bを貼ってゆく。ABCD順序で貼り合わせてゆく。

これを製作中に切って取り除いて貼り合わせていたが、貼り合わせの時に工作しやすいように設計を改定した。


改定前の設計図
四角錐星型多面体’.JPG

改定後の設計図
四角錐星型多面体_改定2’.JPG
折り曲げ方向を確実にしたことと、貼りあわせを間違えないように、符号を入れた。
最後の部品Hを貼り合わせる時には、正六角形の糊代は無くした。

 この設計図であれば、誰にでも間違いなくこの多面体を製作できる。

糊代の数

改定前の糊代の数 40 (5×8=40)

改定後の設計図
  コーン部  3×8=24
  正六角形部 3×8÷2=12 (重複しているので2で割る) 
  合計     36

失敗は成功の母
失敗した設計ではないが、糊代の数を調べて設計すれば、最初から合理的な設計が出来るということを今回も再自覚した。

多すぎる糊代を工作中に切り取るという方法は合理的でないのであった。









Last updated  Nov 20, 2012 10:18:15 AM
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