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ノリリンのパチスロ「エヴァンゲリオン」頑張ります（約束の時編）

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体積計算の別解

別解

まずは問題からどうぞ。
問.以下の図のような台形を回転軸の周りに1回転したときにできる立体の体積はいくらか。
（円周率はπとする。）

図
で、中学生の時に習った円錐・円柱の体積を求めるスタンダードな解法は日記上でやったので、
ここでは高3で習う積分による解法をやってみます。
まず、回転軸をx軸、台形の一辺をy軸と考えると、問題図は次のように座標平面上に表すことができます。

グラフ
各数値は、与えられた条件から決定できます。

すると、座標がわかったので、この図にある2本のyに関する直線をそれぞれf(x),g(x)とすると、
f(x),g(x)は座標を使って求めることができ、次のような式になります。

1
回転体の体積を求める積分公式は、次のようなものです。

2

※ここでのf(x)は、この問題におけるf(x)ではなく任意の関数を示しています。
したがって、求める回転体の体積は、f(x)以下の部分の回転体からg(x)以下の部分の回転体の
差をとったものと等しくなるため、次のような式で求めることができます。

3
あとは、これをひたすら計算するだけです。
積分部分の知識は、高2の積分計算ができれば求めることができる形になっています。

4
以上のように、日記で示した中学生の解き方と同様に、答えは60√3πで一致しました。

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