温故知新ラーニング

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​温故知新ラーニングです。
今回も数学の話をしていきます。

社会の中で「平均」という言葉をよく耳にしますね。
高校の数学Ⅰの中では、「データの分析」で
以下のような用語が出てきます。
平均値、中央値、四分位数、分散、標準偏差など…

大学入試センター試験では、「データの分析」の
ウエイトが、最近、大きくなってきた感があります。
そのためか、「平均値」ということに関して、
機械的に速く計算することには慣れている高校生が
増えてきているように見えます。

センター試験はさて置き、一緒に考えてみましょう。
＜問題＞
「温故知新ラーニング」の一行は、
​夢の中の愛車"RV"​(Reuleaux wheeled Vehicle)
に乗って、高速道路でＡ町とＢ町の間を往復した。
行きは快適に走れた。帰りは渋滞に巻き込まれた。

それぞれの平均の速さを計算したところ、
以下の通りだった。
　行き（Ａ町からＢ町）：平均時速80㎞
　帰り（Ｂ町からＡ町）：平均時速20㎞
往復の平均時速を求めなさい。ただし、行きと帰りの
走行距離（道のり）に差はないものとする。


いかがでしょうか？
こんなこと、考えていませんか？
① ２つの平均なんだから、行きと帰りを
　 足して２で割れば簡単に求まる！
　　(80＋20)÷2＝50　 平均時速50㎞！

② 走行距離（道のり）がないと、計算できない。
　　「みはじ」の公式が使えない。

①、②とも、これまで私が指導してきた生徒からも
実際にあった反応です。

まず​①。足して２で割るのはＮＧ​​です
足して２で割ってもいいのは、
次のように所要時間が同じ場合です。
　前半５時間、平均時速80㎞で走った。
　後半５時間、平均時速20㎞で走った。
この場合は、(80＋20）÷2＝50　平均時速50㎞！
とすることはできます。

次に②。みはじの公式か…
　気持ちは本当によくわかります
​​みはじの公式を使うには、何をしたらいいでしょうか？
問題文で道のり（走行距離）が与えられていないのだから、
自分で設定すればいいんです。
設定の仕方としては大きくは２通りあります。
　i) 具体的な数値を決める
　ii)文字を設定する

実は、​この問題では、​​​
走行距離に依らず往復の平均時速を求めることは可能です。

以下に解答例を２つ示します。
＜Oくんの解答＞


＜Tさんの解答＞


＜Oくんの解答＞では、
片道の走行距離を​勝手に​決めています。
でも、
イメージを明確にするためには有効な手法です！
数値だけを求める試験問題においてはＯＫです。
ただ、上の記述だけでは、
一般性を失っている解答とも見られます。
途中の考え・経過が必要な記述式解答になると、
道のりを80㎞と定めても良しとするための説明が
必要です。

＜Tさんの解答＞では、
片道の走行距離をｄ㎞とおいています。
道のりが、速さを求めるために必要なため、
自分で文字を設定しているのです。
こうすれば、
​一般性を失わない解答​になります。
途中経過を書く記述式解答試験（大学受験）では、
Tさんの解答は、Oくんの解答よりも遥かに良いです。

制限時間が設定されている​試験​では、
解答の形式（マーク式、記述式など）によって、
ベストな解法は変わってきます。

今回も、いろいろと計算例を示しました。
感覚的でも心に留めておいていただきたいことは、
「各々の平均値」を合計して「平均値データの数」で
割っても「全体の平均値」を求めることはできない！

もっと簡単に言うと、
平均値のみが与えられても、
全体の平均値を求められない！
ということです。
※上の問題では、行きと帰りの道のりが同じという条件があるため、
　平均値を求められたのです。

今回は、世の中でよく使われる「平均」について、
指導経験から、多くの人が誤解してしまいがちな例を
挙げてみました。いかがでしょうか？

ブログ開始当初に登場した『ルーロー』、念のため…
​​​​イラストのルーロー車（RV)も快適に走れますね～​​​​


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下に、数学の参考書を紹介しておきます。
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社会人と大学生のための中学数学精義 [ 安藤洋美 ]​

​
中学数学〔新装版〕 （学研パーフェクトコース） [ 学研プラス ]​


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