第7章・8章では宇宙の形のまとめに入る。
宇宙の条件は、
+宇宙のどの点も、その点のまわりは、小さい3次元空間だ。
+どこまで行っても境界はない。
+有限の大きさを持つ。
無限に大きい3次元空間$ \mathbb{R}^3 $は3.を満たさないが、3次元球体は $ S^3 $ は3つの条件を満足する。3次元実射影空間$ \mathbb{R}^4 ^{P^3} $やポアンカレ・ホモロジー球面（ポアンカレ球面）も3つの条件を満たす。つまり、宇宙の形は1つに絞られているわけではない。

宇宙の大きさが有限だが境界はない――思い返してみれば、この宇宙モデルをすんなり受け入れられたのは、UFOブームの延長線上で、数学で立体図形を扱うよりも早くクラインの壺のような謎造型に出会っていたからだろう。最初に読んだトポロジー本は、たしかブルーバックスの『やさしいトポロジー』だったと思う。

4次元立方体が登場するSF作家ロバート・A・ハインラインの『歪んだ家』は私も読んだが、本書の説明を読んで、ようやくその仕組みが理解できた。『歪んだ家』は数学的にも決済であるのだ。
私は図形（幾何学）は苦手なのだが、代数は得意なので、3次元球面 $ S^3 $ を方程式で $ x^2 \ + \ y^2 \ + \ z^2 \ + \ w^2 \ = \ R^2 $ と書いてくれた方が助かる。2次元球面の方程式から容易に類推ができるからだ。第2章で唐突に登場する「3次元空間 $ \mathbb{R}^3 $ （アールスリー） 」の $ $\mathbb{R}$^3 $ は実数空間を表す数学の記号だ。これは分かりやすい。

波形やLLMをやっていると、次元数が11になっても12になっても、それほど驚かないのだが、ただ「宇宙の形」となると、実際の図形（モデル）として表現できないだけに、なんとももどしかしい。ただ、われわれが知覚しているのは、宇宙を切り取ったほんの一部であることは確かだろう。残りは想像で埋めるしかない。

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