GMの抵抗ワショーイ

ウポス補助武器の成功確率は段階（１～３０）によって変動します。
5レベルごとにセーブポイントがあり、そこまでどう頑張って到達するか？のゲームとなります。
（素材の必要個数は1~10が5個、11~20が7個、21～30が10個です）

ウポス補助武器20Lv！！
5Lvごとに失敗時ダウン確率のないセーブポイントがあるっぽいです pic.twitter.com/HeQduX4RaV

— そこらの民衆 (@sokoranominnsyu) March 10, 2023

詳しい成功確率は赤石の民衆で書くとして、まずはどのように計算すればいいか、せっかくなのでchatGPTに聞いてみました。




何か数式がおかしなことになってますが、方針自体はマルコフ連鎖で問題ないです。
厳密には5段階がゴールなので吸収マルコフ連鎖ですね。（状態遷移図は再帰性があるものになる）

ということで、確率の計算は難しそうなので期待値の数式を出してもらいます。
確率はこっちで与えちゃいます。
（ちなみに今与えている確率は20->25段階のものです。）





あってそうで微妙に数式が違うな…。原因は失敗時に等級維持が発生するケースを教えていないから計算に含めてくれていないのか。

その後も色々指示して計算させるものの、上手く計算してくれなかったので方針だけ考えてもらうようにしました。
chatGPTは数学の問題解くのが苦手なのかもしれない。この辺は別モデルのAIに任せた方がよさげかもね。

マルコフ連鎖において、終端に至るまでの期待値を求めるには、終端から逆算することができます。この方法は、再帰的にベルマン方程式を解くことで実現できます。

具体的には、各状態における期待値を表すベクトルを定義し、各状態から遷移する可能性のある状態に対する期待値を使ってベクトルの要素を更新します。更新が収束するまで、この過程を繰り返します。

以下に、具体的な手順を示します。

初期状態での期待値ベクトルを作成する。最初にいる状態は0段階目なので、それ以外の状態の期待値は0に設定します。

終端状態（5段階目）の期待値を0に設定します。

各状態に対して、可能性のある遷移先の期待値を使って、期待値ベクトルを更新します。具体的には、以下の式を使います。

期待値ベクトル[i] = 遷移先の期待値の加重平均

ただし、iは現在の状態を示し、遷移先の期待値は、現在の状態から遷移する可能性のある状態の期待値を使って計算します。遷移先の期待値の加重平均は、遷移確率と遷移先の期待値の積の総和を取って求めます。

3の処理を収束するまで繰り返します。収束の判定は、前回の期待値ベクトルと現在の期待値ベクトルの差が十分小さい場合とします。

収束した期待値ベクトルの各要素が、それぞれの状態から終端状態まで到達するための期待値になります。

この方法を使って、上記のグラフにおける各状態から終端状態まで到達するための期待値を求めることができます。

…何か難しい言葉が多く並んでいるので実際に計算してもらった。




9.2回は草最短で5回なんですが…。

chatGPTに連立方程式を解かせるのは難しいということで、別サイトを使います

連立方程式(ke!san)

x0 = 1 + 0.8x0 + 0.2x1
x1 = 1 + 0.5x0 + 0.1x1 + 0.4x2
x2 = 1 + 0.5x1 + 0.15x2 + 0.35x3
x3 = 1 + 0.5x2 + 0.2x3 + 0.3x4
x4 = 1 + 0.5x3 + 0.25x4 + 0.25x5
x5 = 1

この式、実際にはx5=0であることと、行列形式で渡せるように式を整備しました。
ここでシミュレートした結果はこちら




失敗時0に確定で戻るとしても500回に1回程度なので期待値がこの数値をオーバーすることはなく、低すぎもしない。確かに方針は合っていそうね。（計算はグチャグチャでした）


数式多すぎて頭混乱する人のために一言でまとめると
20->25段階の期待値は約120回
※※※成功/ダウン確率違ったらごめん！！！再計算します！！！※※※






この結論に至るまでの経緯がここまでの文章でした。
なお、21段階であれば期待値5回、22段階なら期待値13.75回なのでこの辺りは現実的な感じしますね。



※22->23段階までは確率メモってるので、その仮定のもとで全部まとめておくと
21段階：5回
22段階：13.7回
23段階：29.1回
24段階：58.0回
25段階：120回

1回チャレンジが10個、課金なし1600Lvで1日に獲得できるのが3*2+4*2=14個
ざっくり期待値を日数でまとめる。

21段階：４日
22段階：10日
23段階：21日
24段階：42日
25段階：86日


3か月頑張ってデイリー＋秘密やれば25段階なれる見積り。
実際には上振れ下振れ要素があるので半年かかると見込んだ方がよさげ。
25->30段階は確率さらに低いらしく、気が遠くなりそう。2年ぐらいかかるんか…？

20段階まではそんなに難しくないので1か月で見積もるとして、
2つ目作るか悩むボーダーは大体22段階辺りなのかもね。





1->25までの全期待値計算は赤石の民衆で補助武器の確率まとめるときにのっけます。
ところで23->30辺りまでチャレンジされたかたいますか？
どなたか成功/ダウン確率を貼っていただけると…。


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