算数大好き！　クルミと森のなかまたち

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• ＜小学生算数の時間／分数の大小をもう一度＞

  ◎娘たちの「チャイルドアカデミー」体験記＜その４＞娘たちはあっという間にイメージングできるようになり，瞑想すると，自分の見たい映像が見られるようになりました。全部，カラーの動画です。マックが「赤い球をイメージしてー。」というと赤い球がすぐ浮かんできます。「青色に変えてー。」…すぐに青に変わります。「球をサイコロの形に変えてー。」自分たちの見たいイメージが次々と現れてきます。マックも七田の教室でチャレンジしました。モノトーンですが，動画を見ることができました。マックの場合，自分の欲するイメージではなく，自分の机のまわりの風景が，よく出てきます。蛍光灯，万年筆，定規などの映像がリアルに見えます。ときおり，人がいっぱい出てきます。街並みを上から見ているようです。みんな，おしゃべりしていたり，歩いたりしています。不思議な映像です。マックの場合は，潜在意識が解放されて，夢をみているときのような映像が展開するのだと思います。一方，こどもたちの見ている映像は，自分の見たいチャンネルが見られるという，自由度の高いレベルになっています。おとなとこどもの能力の違い，能力の差があります。ある中学校で，このイメージングを実験してみたことがあるそうです。(理解のある教育者ですね。ふつうなら，あやしいことをしていると一蹴されそうな。)すると，１週間程度でクラスのほとんどの子は，自由に色彩豊かな映像が見られるようになったそうです。(七田博士の著書に出ていました。)マックがたびたび書いているように，「こどもは天才」です。右脳が開くと，左脳とブリッジしてあげれば，記憶力やＩＱレベルが高くなっていきます。感性も豊かになっていきます。音楽や語学など，自分の関心のある分野が，イメージ訓練で深まっていきます。オリンピックやプロ野球，高校野球などで，選手がイメージ訓練をしていることは常識となっていますね。これを学習に生かせないか，という発想で，いろいろな研究が行われています。七田教室も，右脳から入っていくスクールです。マスコミで刺激的に，天才児・優秀児を養成するスクールとして紹介されたりしましたが，マックは報道には違和感を覚えます。天才・優秀を強調し過ぎています。右脳が開くと，こころが豊かになります。このことが右脳を開くための最大の目標であって，それを天才とか優秀とか表現するのは？？です。こどもなら，みんなそういう能力を持っていて，それを顕現させてあげるか，どうかの違いだけ，とマックはみています。どの子も，１年間でＩＱは少なくとも３０は伸びると思います。赤ちゃんを見ただけで，こころが和みます。これは，赤ちゃんの発しているエネルギーが強力だからだと思います。宇宙レベルに近い波動を持っているともいわれています。その波動は，だんだんレベルが下がっていきます。ほんとうは，みんながものすごいエネルギーを持って誕生してきているのに，そのエネルギーが制限されていくのです。宇宙本来の波動とずれが生じ，その人が本来持っているすばらしい脳力が，だんだんと枯渇していくという図式が見えてきます。大人が制限をかけていきます。コントロールしようとします。こどもたちのすばらしい力，パワーは大切にしてあげないと，失われていきます。マックは，娘たちとイメージングである実験をしてみました。(つづく)◎１１／２の問題は，設定を大きな数だけにすると，１／２より大きいか，小さいかでみごとにグループ分けされます。掲示板に投稿された「ぶおさん」のご指摘のとおりです。そこで，いろいろな場面を想定して「大きさ比べ」をしてみようかと思います。さっそく，問題の別バージョンをやってみましょう。【問題１】３／３７，　４／４７，　５／５９，　６／７３　の中でもっとも小さい分数を求めましょう。【解説】１／２で分ける方法は使えませんよー。分子をそろえてみましょう。３，４，５，６の最小公倍数は　→　６０　ですね。分子を６０にしてしまいましょう。３／３７　→　６０／７４０４／４７　→　６０／７０５５／５９　→　６０／７０８６／７３　→　６０／７３０一番大きな分母は，７４０です。答え　３／３７　【問題２】３／３７，　４／４７，　５／５９，　６／７３の中でもっとも大きな分数ともっとも小さい分数の差を求めましょう。【解説】一番小さい分母は，７０５です。４／４７－３／３７＝７／１７３９答え　７／１７３９　【問題３】４／７，　０．６，　３／４，　２／３，　０．４　の中でもっとも大きな数ともっとも小さな数の差を求めましょう。【解説】これは，全部小数にした方が速いですね。４／７＝０．５７…３／４＝０．７５２／３＝０．６６…０．７５－０．４＝０．３５答え　０．３５分子を統一してもいいですけれど…。４／７，　３／５，　３／４，　２／３，　２／５　４と３と２の最小公倍数は１２ですね。４／７　→　１２／２１３／５　→　１２／２０　３／４　→　１２／１６　　→　これが，もっとも大きい数２／３　→　１２／１８２／５　→　１２／３０　　→　これが，もっとも小さい数いろいろな場面に遭遇(そうぐう)して，いろいろな解き方を試し，力をつけましょね。☆☆別解を見つけたら，掲示板に書き込んでくださいね。☆☆　※別解をみつける訓練はとても大切です。たとえば，旅人算は比を使って解ける問題がたくさんあります。面積や体積も，ちょっとした工夫や面積比，体積比の利用で，なんとおりもの解法が見つかります。問題をいっぱいこなすことも大切ですが，ていねいにこなすことも同じくらい大切です。基本力が自然にそなわってきます。基本力が身につくと，算数・数学の本質に近づくことができます。

  2003.11.04

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• ＜小学生算数の時間／既約分数の問題から＞

  ◎娘たちの「チャイルドアカデミー」体験記＜その３＞きのうは，Ｍさんに，クルミのガイダンスをしました。そして，１０問くらいの文章問題で，クルミの威力を実感してもらいました。この間，１時間３０分ほどでしたが，お互いに集中していたので，あっという間に終わりました。小学５年とは思えない理解力です。娘のサーヤもそうですが，七田教育を経験している子の多くは，明敏です。ＩＱレベルが一様に高いのです。マックが教えることを，スピーディーに自分のものにしていってしまいます。ＩＱレベルだけでは，今の世の中，通じません。マックもＥＱの方が好きです。しかし，こういうＩＱレベルが高いこどもたちも現実にいます。マックは，純粋にこういう子たちの能力を素直に伸ばしてあげたい，という気持ちになります。なぜなら，単にＩＱが高いということではなく，自立心があり，向上心があるからです。そして，精神的にゆたかなのです。Ｍさんは，算数の力を身につけたいという自発的な意欲をもって通いはじめました。自分で塾を探したり，教材選びをしたり，というパワーがあります。こういうこどもたちに，今の学校が応えられているかどうか，コメントするまでもありません。一方では，算数・数学についていけないこどもたち。この子たちの方が多数派です。マックは，この多数派のこどもたちが心配です。こどもの能力は大きな可能性を秘めています。どんな子でも，質のよいインプットをしてあげれさえすれば，才能は開花します。こどもは天才です。チャイルド・アカデミーで，マックはこの目で見てきました。呼吸→瞑想→イメージ訓練，これを２，３日こどもたちが体験すると，ほとんどの子が色彩豊かなイメージを見ることができるようになります。速い子は，その日のうちにできてしまいます。この能力が速読などにつながっていきます。これは，こどもの右脳が働いているからです。活発な時期です。ほぼ，１００％のお子さんが見えるようになります。実は，マックは，娘たちをチャイルド・アカデミーに通わせる前に，家で「呼吸」→「瞑想」→「イメージ訓練」　をやらせてみました。すると，あっという間にイメージングができてしまったのです。その勢いで「オーラ視トレーニング」にもチャレンジしたら，幼いサーヤがすぐに見えるようになりました。カオリンの方は，１日遅れて，見えるようになりました。こどもたちの不思議な能力，これは右脳の働きで説明できるといわれていますが，こういう能力はどのお子さんも持っています。右脳が活発に働いている状態で，インプットしていってあげると，ＩＱレベルが驚くほど高くなります。サーヤは，半年間で，ＩＱが２０以上アップしました。そして，また半年たつと，さらに２０以上アップ。ＩＱがそのまま成績や能力に結びつくわけではないし，ＩＱそのものの信憑性もあります。しかし，右脳のもつ力を利用すればこうなる，という一例です。チャイルド・アカデミーには障害をもったお子さんたちも通っています。サーヤのおともでチャイルドに通うことになったマックは，そういうお子さんたちの教育風景を見たりしていました。そして，思いました。「いかなるこどもも天才である」と。「社会」の子として，こどもたちを大切に育て上げることが親の責務です。新聞やテレビの報道などで，幼児虐待やこどもを巻き込んだ事件を目にすると，とても悲しくなります。こどもを虐待する大人たちを許せません。どんな背景があろうと，こどもたちを不幸にしたり，犠牲にしたりすることは決して許されるものではありません。こどもたちのいない風景を想像すると，とても殺伐としています。そこには，未来も希望もなく，笑い声も聞こえてきません。育児は毎日のことで，こどもと向き合っている精神的なゆとりが，なかなか出てきません。マックも体験してきました。しかし，時間の多寡ではなく，親子がこころとこころで結びついているかどうか，こどもたちに今してあげられることは何なのかと日々を振り返ってみる作業が大切といえます。単純に可愛い，ということもあります。それに加えて，こどものこころを大切にして育てていくと，いつか，精神的にゆたかな，いい子になります。子育ては，苦闘の連続ではありますが，苦労した分，いい子になってくれます。(つづく)◎算数基礎の見直しです。【問題】　０より大きく１より小さい分数で，分母が48になる既約分数を　　　　すべて求めましょう。【解説】　エントリー候補となる分子は，１から47まで，47個ありますね。1個ずつ調べていくというのは，マックはごめんです。既約分数というと，これ以上「約分できない」分数でしたね。これを数え上げると，泥沼にはまります。ですから，正面突破作戦は中止！残るは，「約分できる」分数を見つける作戦になります。気づき　→　「約分できない」から「約分できる」へ視点を移行。約分できるということは，分母と分子が公約数をもつということと同じです。48＝２×２×２×２×３全部の公約数を調べると二重手間，三十手間になるので，２と３に代表選手になってもらいます。まず，「２で割れる数」＝「２の倍数」は何個あるか，調べましょう。　47÷２＝23　あまり１より，23個。次に「３で割れる数」＝「３の倍数」は何個あるかも，調べましょう。　47÷３＝15　あまり２より，15個。ここで，大切なこと。これでも，二重に数えている数の一群があるのです。２の倍数でもあり，３の倍数でもある６の倍数ですね。６の倍数はダブルカウントしているので，注意が必要です。まず，６の倍数が何個あるか，調べます。　47÷６＝７　あまり５７個ですね。７個を２回数えているので，１回分を引けばいいのですね。　23＋15－７＝31約分できる分子の数は31個でした。ということは，「全体の分子の数」－「約分できる分子の数」＝「約分できない分子の数」から47－31＝16答え　16個☆きょうの問題にでてきた，「６の倍数」の見つけ方は，よーく覚えておきましょう。　２の倍数でもあり，３の倍数でもあるということですよ。

  2003.11.03

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• ＜小学生算数の時間／数の大きさ比べから＞

  ◎娘たちの「チャイルドアカデミー」体験記＜その２＞きのうは，チャイルドアカデミーのK先生と小５のお嬢さん，Mさんが来られました。そして，Mさんがクルミを気に入ってくれました。暫く，ガイダンス的にマックが直伝することになります。Mさんの算数レベルは最難関コースです。マックも，いろいろなヒント，気づきをもらえそうなので，楽しみです。ノートを見せてもらいましたが，解けなかった問題をコピーして貼り付けてあります。さすがだなー。これで，クルミを理解すれば，いい線いきます。　　　　　◇　　　　　　　　　　　　　　　　◇　　　　　　　　　　　　　　　　　◇さて，マックの娘たちは，七田チャイルドで，実にいろいろなことを学びました。二人とも喜んで通っていました。メニューが豊富で，こどもが飽きません。次から次へと，ゲーム感覚でいろいろな訓練をしていきます。マックがおもしろいな，と思ったツールのひとつにフラッシュカードがあります。先生が，高速で読み上げながらカードをめくっていきます。先生には重労働の作業かもしれません。とにかく速いのです。ドイツ語がとび出すこともあります。熟語，漢字，世界史，世界地理，星座，分数，俳句，論語，漢詩，エコロジー…さまざまな分野の知識をこうしてインプットします。高速で，画像と言葉をリンクさせ，知識を吸収させるという手法です。こうすることで，右脳が活発になるということなのですが，こどもたちは，高速のときに集中します。大人もそうかもしれません。ゆっくり，というのは注意が散漫になり，頭に残る量も少ないようです。英単語や英熟語を１日何個という調子でやると，たいていは続きません。おもしろくないし，記憶するそばからどんどん忘れていきますかから，そのうち嫌になります。そもそも，文字だけで覚えようとするのは，かなり無理のある設定です。画像つきで覚えた方が効率がいいというのは，マックも経験しています。アメリカにいる義兄は，横須賀で少年時代を送りました。ベースの中のスーベニアでアルバイトをしていました。そこで，英会話を覚えたのですが，単語は同じ映画を何度も見て覚えたといいます。つまり，単語と画像をいっしょに覚えたんだなーと，マックは分析してます。もちろん，文章とセットにしているということもあります。しかし，基本的に単語を見たり，聞いたりすると，日本語に変換するより前に，画像・イメージが浮かんでくるという反射能力を鍛えたと思います。そして，こういう覚え方をすると忘れないのです。これと同じ発想のツールが，フラッシュカードなのではないかと思います。知識を言葉だけで覚えるのはつらいです。勉強がつまらない，苦しいというのは，イメージすることを忘れている，あるいは，知らないからです。理科でも，実験は楽しいですね。画像つきの授業，自分も参加するという能動性を満たしてくれるので，刺激的です。でも，教科書だけの授業は，写真や表など画像もあることはあるけれど，脳を刺激するまでには行きません。深くないのです。厚みがないのです。こどもたちはもっとたくさんのことを知りたがっているのに，まだこどもには必要ないということなのでしょうか。こどもたちの能力は，本当は無限大と考えていいのですが。チャイルドアカデミーは，とりあえず，こどもたちの知識欲を満たしてくれました。マックも，フラッシュカードを娘たち用に，あれこれと作りました。親として，せめてこれくらいはしてあげないと，という気持ちでした。県名や国名とその場所，漢字も学校の教科書に合わせて自作しました。よなべ仕事で，作っているうちにあれもこれもとアイデアが湧いてきます。楽しい作業でした。(つづく)◎算数の基礎力の見直し編です。分数の大きさ比べをします。中学生以上の方も，算数パズルとして，チャレンジしてくださいね。今回は，単純な問題です。しかし，正面攻撃では体力を消耗します。【問題】　次の数の中で，一番大きな数を求めましょう。　　１／７ ４／９ ２／19 ４／５ 11／18　　　　　　 【解説】まさか，通分はしないでしょうね。(汗)通分してもいいのですが，計算はぼう大です。マックはこんな計算はまっぴらです。正面突破作戦は放棄しましょう。何とか，楽できないかなー？分母に手をつけると，通分という泥沼になるから，☆気づき　→　残る分子で考えてみよう！もしも，分子がぜーんぶ　1　だとしたら？…分かりますね。　　１／７ １／９ １／19 １／５ １／18　分母の一番小さい数が，一番大きい数になります。上の例では １　 ── ５ですね。この考え方を利用すれば，いいのかな…。そうなんですよ！！☆分子を同じにしてしまいましょう。☆分子は　1 4 2 4 11 です。同じにするには公倍数，その中の一番小さな最小公倍数を計算しましょう。44　と出ましたか？これでフィニッシュへ。　44／308 44／99 44／418 44／55 44／72 　　　 分母で一番小さな数は　→　55答え ４── ５「押してもだめなら引いてみな」作戦でした。

  2003.11.02

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• ＜小学生算数の時間／剰余系を利用しましょう＞

  ◎娘たちの「チャイルドアカデミー」体験記＜その１＞　「クルミと森のなかまたち」を教えてー，と七田教育のK先生から先週　お話をいただきました。きょうは，そのK先生と小５のお嬢さんが，クルミ　たちに会いにやってきます。楽しみです。　　七田教育は，七田真氏のチャイルドアカデミーのことで，書籍などを通じて　ご存知の方も多いと思います。　マックの娘たちも，ここで長らくお世話になっていました。　　教わっていた頃は，学業の効果は，目に見えてよくなったとか，そういうことは　ありませんでした。(その威力が発揮されたのは，中学に入ってからのことです。)　それでも，夕食後，丹田呼吸法や瞑想，イメージ訓練をよくしていました。　　高１の娘のカオリンは，小学生のころ，長距離走が強かったのですが，イメージ　訓練の効果がありました。前日に，トップでゴールインしている自分をイメージして　翌日にそなえます。どちらかというと運動音痴な娘がなぜ…とマックもはじめは　信じられませんでしたが，賞状を見て，これは本物だと思いました。　学業の方は，すぐに効果は表れませんでした。それでも，速読ができるように　なってきました。漢字もイメージでどんどん覚えるようになりました。　一方，サーヤは，目を瞑ると教科書の映像が表れてくるようになりました。個性　によって，表れてくる能力が違うんだなー，と思いました。たとえば，国語の教科　書だと，４～５ページ分を１～２回読めば，後は教科書を閉じて暗唱できます。　頭の中に教科書のイメージが浮かんでくるそうです。それを読み上げるわけで　すが，ほとんど正確です。　　しかし，こういう能力がそのまま成績に結びつくわけではないのです。　能力をどう学業に結びつけていくか，それが大きなテーマになります。　(つづく)◎小学生の算数を剰余系で解く練習をします。剰余系が初めての方は，マックの過去の日記をみてください。9／20以降の日記にあります。めんどうな人向けに，さわりだけ書いておくと…たとえば７で割る世界を考えます。あまりは１から６まであります。もちろん，割り切れる数もあります。余りの数が同じならば，数は「等しい」と考えていい，というのです。22と15と８は７で割ると余りが１です。表記の仕方は次の通りです。22≡15≡８　(法７)「７で割る」ということを「法７」といいます。「ほう，そうなんだ」とだじゃれを言ってる場合ですよ。楽しくいきましょう。剰余系を使うと，すっきりと解ける問題が，けっこうあります。高校生でも，このやり方を知らない子がいっぱいいます。学校で教えないからです。でも，中学校でも出てくる暦の問題，余りが同じものは，曜日が同じ，という問題は，剰余系の考え方なのです。学校や塾では，これを剰余系とはっきり言いません。素通りしています。数を扱う考え方として，剰余系はとても面白いのです。ひょっとして，こんな楽しいこと，みんなには教えてあげない，それで，秘密にしているのかも。【問題1】ある整数を３で割っても，５で割っても２あまります。このような数で，100に一番近い数はいくつですか。【解説】ある整数をMとします。M≡２ (法３)M≡２ (法５)Mから２をとってしまえば，３でも５でも割り切れますね。３でも５でも割り切れる数は，15の倍数です。15×６＝90 15×７＝105 100をはさんで候補を2つ出しました。それぞれの数に２を加えて，元にもどします。90＋２＝92105＋２＝107107の方が近いですね。答えは　107　です。もうひとつのパターンもやっておきましょう。【問題2】ある数で６６を割ると３あまり，120を割ると１あまります。ある数を求めましょう。【解説】ある整数をMとします。６６≡３　(法M)120≡１　(法M)法Mの世界でぴったり割り切れるように，手を加えます。６６‐３＝６３　こうすれば　　 ６３≡０　(法M)120‐１＝119　こうすれば　　 119≡０　(法M)６３と119の公約数を求めましょう。６３＝３×３×７119＝７×17公約数は１と７しかありません。法Mは法７のことだったのです。答え　７剰余系の考え方で，最大公約数も求められるんですよ。言われれば納得，という単純な方法ですが。【問題3】56と32の最大公約数はいくつでしょう。【解説】スリムになりましょう。これが考え方の基本です。２つの数を　(56，32)　と表記します。２つの数のうちの小さい方の32から法32の世界としてスタートします。56から32を引いてしまいます。56-32=2456も24も法32の世界では同じ数です。つまり，あまりが同じです。(56，32)　→　(24，32)　次は法24として32から24が引けます。32-24=８(56，32)　→　(24，32)　→　(24，８)　法８として24から８を1個ずつ引いてもいいのですが，８×３として，一度で済ませます。24-８×３=０(56，32)　→　(24，32)　→　(24，８)　→　(０，８)　これ以上は進めません。そして，この８が最大公約数になります。この解法が威力を発揮するのが，次のような大きな数のときです。【問題4】297と418の最大公約数はいくつでしょう。【解説】スリム作戦開始！(297，418)　　418－297＝121　　　　　　　　　←　法297としていますよ。(297，418)　→　(297，121)　297－121×２＝297－242＝55　　　←　法121ですね。(297，121)　→　(55，121)　121－55×２＝121－110＝11　　　　←　法55です。(55，121)　→　(55，11)55－11×５＝０　　　　　　　　　　　　　←　法11ですねん。(55，11)　→　(０，11)答え　最大公約数は11です。121あたりで，勘のいい人はピンと来たかもしれませんね。この解法は，ユークリッドの互除法そのものですが，いろいろな場面で使えます。難問も解けたりします。私立中学の入試でも，このやり方でスピーディに解ける問題が出されていました。この解法が気にいったら，お手元の問題集で試してみてくださいね。

  2003.11.01

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• ＜中学数学の時間／２進法＞

  ◎車が庭に現れたー２００１年のお正月！！＜第３話＞ドアが開いたので，とりあえずドライバーは生きている…安心しました。運転席をのぞきこみました。げっ，何か知らんが，こちらを顔面蒼白な人間が見ています。眼はトローンとしています。この時点で，はっきり言って，男か女か？年取っているのか，若いのか？分かりませんでした。「怪我はないかー?」「…(ボーッ)。」放心状態です。本人も，何が起きたのか，理解できていないようです。でも，一言，やっと出てきました。「ごめんなさい…。」そう言いながら，こちらを振り向きました。その声で女性ということがやっと分かりました。でも，振り向いた顔は緊張の極限の顔，顔面蒼白とはこのことか，と思える顔でした。「怪我は?」「だいじょうぶです。」そう言って，彼女がふらふらしながら，運転席から立ち上がり，出てきました。３０歳台の女性でした。「どうしましょ。ごめんなさーい。」そう言って，彼女はしゃがみこんでしまいました。「どうしましょ。」と聞きたいのはマックの方ですが，ともかく，彼女の精神状態が恐慌をきたしているので，彼女を現場から門の方へ連れて行きました。道には，近所の人や通行人が集まり出しています。けっこう，野次馬的性格の人が多いのです。あとは，警察に電話したり，リフォーム会社に電話したりで，半日がつぶれました。被害状況は，ガレージは全壊。敷地のレンガ，庭木，ウッドデッキなどなど。愛車も完全にやられました。家の壁や玄関の階段，ポールもね。全額弁償してもらいましたが，なぜ，起こりようもない事故が起きたのか…マックの家があるのは，まったくの住宅街で，道も狭いです。ここは，かつて映画村と呼ばれた土地で，東映を中心にした映画スターや女優，映画関係者，作家，芸術家などいろいろな人が集まり，住んでいました。なかでも，川口松太郎と長谷川一夫は別格で，二人を慕って移り住んだ人が多かったそうです。マックが通った小学校の通学路には，渋い造りの子母沢寛の家や，邸宅然としていた萬屋錦之助の家もあったんですよ。お子さんや兄弟，縁者の方たちが，今，静かに暮らしています。しかし，映画の凋落とともに，ぽつりぽつりとスターたちは引越していき，映画関係者，音楽家などで残っている人もずいぶんと少なくなりました。マックの先輩の松竹のカメラマンや映画のプロデューサーの方たちと会うと，当時の思い出話になります。…といっても，マックの幼稚園から小学校時代のことですから，マックはあまり覚えていないのですが。そういえば，近所には大島渚監督の家もあります。表札が「大島」と勢いのある草書体が踊る，青色の陶板です。とてもいいセンスです。話を戻します。(汗)マックの家の前の道で方向転換しようとして，一度バックし，それからギア・チェンジし，前に出て曲がりきれないので，再度バック。なぜか，この動作を繰り返しているうちに，ブレーキとアクセルを踏み間違え，そのままマックの家にいい角度で突入してしまったのです。いまだに，信じられないですね。誰も怪我をしなかったのが，不幸中の幸いというか，数秒早く，嫁さんたちが庭にでていたら，確実に事故に巻き込まれていました。自転車２台が，車とデッキに挟まれて，ぺしゃんこ。これが人間だったら，と思うとぞっとしました。でも，壊れたところは腕のいい職人さんたちが心をこめて丁寧に修繕してくれたし，車も買い替えようかなと思っていた矢先の事故だったので，災い転じて福となる，と思うことにしました。２００１年はこうして，波乱の幕開けとなりました。そして，その年の９月，N．Y．であの信じられないテロが起こりました。あのときも，サリーに国際電話を入れました。ものには動じない，肝っ玉かあさんのサリーが，興奮していました。メキシコとの国境が封鎖されたこと，空港も狙われているというので軍隊が警備にあたっていること，しかし，ジェイクもジャネットもみんな無事であることなど，早口で一気に話していたことを思い出します。それにしても，カリフォルニア南部の山火事，だいじょうぶかなー。◎中学生のための２進法のお話２進法の世界は，１と０しかありません。金貨の袋を覚えていますか？９／22の日記のミミタン王国のお話です。袋の中に金貨を１枚，２枚，４枚，８枚，１６枚，３２枚と分けて入れれば，１～６３までの数を表すことができるという問題でした。そして，この数の分け方が２進法であるというところまで，話を進めました。○はそのふくろが「ある」，●はそのふくろが「ない」　を表します。金貨の枚数を左から３２枚，１６枚，８枚，４枚，２枚，１枚として，表をつくります。金貨の袋と10進法の数との対応は次のようになりますね。●●●●●●＝０●●●●●○＝１●●●●○●＝２●●●●○○＝３●●●○●●＝４●●●○●○＝５10進法の０は　　２進法でも０10進法の１は，金貨１枚入りの袋なので，２進法でも１ここから違ってきます。10進法の２は，金貨２枚入りの袋で表わせるので，２進法では１０になります。○を１，●を０と数字に変換すれば，それが２進法による数になるのです。10進法の３は，２進法では１１ですね。10進法の６３は，○○○○○○＝６３なので，２進法では１１１１１１です。次に，３２枚，１６枚，８枚，４枚，２枚，１枚は「２の何乗」という形で表せますね。この「何乗」の「何」というのを，「べき」と呼びます。３２＝２×２×２×２×２＝２＾５１６＝２×２×２×２＝２＾４ ８＝２×２×２＝２＾３　４＝２×２＝２＾２　２＝２＝２＾１　１＝２＾０「べき」の数に１を加えれば，２進法のけた数が出てきます。３２に対応するべき数は５になっていますね。それで，２進法では５＋１＝６より，６けたになります。○●●●●●＝３２　→２進法に変換すると，　１０００００【問題】　２進法の１０１０を10進法で表しましょう。【解説】金貨の袋に直すと　○●○●金貨８枚と金貨２枚の合計１０枚使っています。答えは　１０中学生らしく表現すると，１×２＾３＋０×２＾２＋１×２＾１＋０＝８＋２＝１０【問題】　１１を２進法で表しましょう。【解説】　金貨の袋でもいいです。１１は８と２と１に分解できるので，○●○○これを数字に変換して，１０１１答え　１０１１これが，大きな数になると計算が大変なので，下に下りていく「すだれ算」を利用します。２　　１１　└──２　　　５　…… １　└──２　　　２　…… １　└──２　　　１　…… ０　└──　　　　０　…… １あまりを下から数を読み上げて，１０１１しくみは１１＝１×２＾３＋０×２＾２＋１×２＾１＋１で考えます。１１÷２　を実行すると，一番右はしの１はあまりになりますね。商は　１×２＾２＋０×２＾１＋１＝５また，２で割ります。５÷２　を実行すると，１はあまりになりますね。商は　１×２＾１＝２２÷２　を実行すると，あまりは０で，商は　１２÷１　を実行すると，あまりは１で，商は　０２　　１×２＾３＋０×２＾２＋１×２＾１＋１　　└──────────────２　　１×２＾２＋０×２＾１＋１　　　　　　　　…… １　　└──────────────２　　１×２＾１　　　　　　　　　　　　　　　　　…… １　　└──────────────２　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…… ０　　└──────────────　　　０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…… １

  2003.10.31

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• ＜数学の時間／漸化式をもう少し＞

  ◎サンディエゴの住民が避難しているというカリフォルニア州南部の山火事。義兄や奥さんのサリーが心配になったので，昨夜10時ごろ，メールを送りました。サンディエゴには，サリーの姪のジャネットやローレイン，また，親戚も住んでます。「Hi Sally and Jake(以下日本語に変換します。)カリフォルニア州南部の山火事，日本でも大きく報道されています。サンディエゴでも住民の避難がはじまったとのことですが，みなさん，大丈夫でしょうか。M子さんとも電話で話をして，メールを送ろうということになりました。みなさまが，ご無事でありますように。マックより　　」日本時間の午前2時36分，サリーから返信のメールがきました。現地の雰囲気がよく分かるので，メール文を掲載しておきます。Hi Mac and all the Family in JapanWe are ok so far. We have our car packed just in case. The wild fires arereally bad. The air is awful!Janet and all her friends had to evacuate their homes. The fires were worsein San Diego. Thank goodness her house is ok. All her friends’ homes are oktoo. It is very scary right now. If the weather stays cool we all will beout of danger.There are many fires still. Some not too far away from us. If the winds orweather changes， we could be in trouble.But so far everthing is ok. Thank you for your concern.Take care，Love，Sally and JakeWe are ok so far.／But　so far everthing is ok.　これまでのところはだいじょうぶ，とあるので，一安心です。気候がcool なままで，風の状況が変わらなければ，義兄の家まで山火事が達することはまず，ありえないのですが，それでもWe have our car packed just in case. 　万が一の事態に備えて，避難の準備はしています。カリフォルニアは冬でもコートのいらない温暖な土地で，今年はwetな年だと，サリーは夏ごろ，言ってましたが，それでもかなり乾燥してます。◎車が庭に現れたー２００１年のお正月！！＜第２話＞車がデッキで止まり，まだ，うなり声を上げています。悪い夢でも見ているかのよう。そこで，はっと気がついて玄関の方に向かいました。嫁さんたちが玄関から外に出ていたら，…。ドアを開ける寸前でした。彼女たちは無事でした。もし，数秒差で外に出ていたら，侵入した車に轢かれていたかもしれません。ほんとうにタッチの差でした。マックは，みんなの無事を確認し，そして玄関を開けて外に出ました。愛車が見事に玄関ポールのところで止まり，その脇で静かになった侵入車が邪魔をして，先に進めません。一体，何がどうしたというのか。マックは，あり得ない光景を目の前にして，何から手をつれけばいいのか，一瞬考えました。『車の中には人がいる。』人間がすべてに優先します。デッキから裏に回りこみ，ほぼ車を一周して，ドライバー席の真横にたどりつきました。「大丈夫かい?」ドアがゆっくりと，開き始めました。(つづく)◎最初の問題(１０／２８の日記)はこうでした。【問題】森のジュース屋さんはキャンペーン期間中で，ジュースの空きびんを３本持っていくと，ジュース１本と交換してくれます。ですから，５本買うと，まず５本飲め，空きびん５本のうち３本持っていくと，もう１本飲め，これで空きびんの合計は３本になるので，さらにもう１本飲めます。合計で７本飲めますね。それでは，ジュースを６７本買ったら，何本飲めますか。結論は　　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋３　　(ｎ：自然数）　　ただし，Ｆ（１）＝１，Ｆ（２）＝２　　になりました。ここで，思考訓練です。空きびんが最後に余る本数は，３より小さい１か２のどちらかになります。必ず，このいずれかになります。もし，３本余っていたら，再びジュース１本と交換でき，結局，１本の空きびんが残りますね。この余りを　ｒ＝１　や　ｒ＝２　で表しました。ここから話を始めますよー。ジュースをｎ本買って，Ｆ（ｎ）本飲めて，最後に　ｒ＝１本　残ったとき，つまり，ｒ＝１のときもう２本追加で買います。　　　　　　…全体の本数は，式で表せば　ｎ＋２追加分を飲んでしまいましょう。　　　　　　　…☆２本飲んだー。空きびんが２本できました。全体で空きびんは３本になりましたね。これで，またジュース１本と交換できます。交換したジュースを飲んじゃいますね。　　　…☆合わせて，２＋１＝３本飲んだー。空きびんが１本残っているけれど，これ以上先には進めません。「ｒ＝１のとき，２本買い足せば，もう３本飲める」ということを式にすれば　　　　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋３　　になるわけですね。　ｒ＝２のときも，ｎ本から，もう２本追加で買い(ｎ＋２)，ます。この２本を飲んで，空きびんが２＋２＝４本。このうち３本をジュースと交換して飲み，(Ｆ（ｎ）＋３)最後に手元に残った空きびんは２本です。　　「ｒ＝２のときも，２本買い足せば，もう３本飲める」を式にすれば　　　　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋３　　が成立するわけです。　ここまで，昨日の解説を「余りのｒ」を中心にして，説明してみました。次は，いよいよ，空きびん４本とジュース１本との交換問題です。【類題】森のジュース屋さんはキャンペーン期間中で，ジュースの空きびんを４本持っていくと，ジュース１本と交換してくれます。ですから，８本買うと，まず８本飲め，空きびん８本を持っていくと，もう２本飲め，合計で１０本飲めます。この交換を漸化式で表すと？【解説】余りは　ｒ＝１，２，３本　のいずれかになりますね。ｒ＝４本なら，まだ交換できて，ｒ＝１　になってしまいますから。ｒ＝１本としましょう。今，ｎ本買いました。Ｆ（ｎ）本のジュースを飲みました。最後に手元に残った空きびんが１本です。ジュースを３本追加で買ってみましょう。全体で　ｎ＋３本買って，Ｆ（ｎ＋３）本のジュースを飲むことになります。このＦ（ｎ＋３）を，Ｆ（ｎ）でうまく表せるかどうか，です。ジュースを３本飲みますよー。空きびんは１＋３＝４本になりました。ジュース１本と交換し，飲んじゃいましょう。飲んだ本数は，４だけ多くなりました。空きびんは，１本だけ手元に残っています。答えは，Ｆ（ｎ＋３）＝Ｆ（ｎ）＋４になります。初項Ｆ（１）＝１　で，公差が４　の等差数列です。　　ｒ＝２，３のときも同様の議論で，同じ漸化式が出てきます。ということは，５本の空きびんを１本のジュースと交換できる場合は，Ｆ（ｎ＋４）＝Ｆ（ｎ）＋５が成り立ちますね！※10/29の日記の(3)で，間違えを発見しました。「奇数はｍを２以上の自然数とすれば，２ｍ－１と表せます。」は「奇数はｍを自然数とすれば，２ｍ－１と表せます。」に訂正します。(元の日記は修正済みです。)

  2003.10.30

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• ＜数学によるエレガントな解法／漸化式をつくる＞

  ◎車が庭に現れたー２００１年のお正月！！＜第１話＞掲示板にカキコしていただいた「車が跳びこんできた話」ですが，述懐風に書いておきます。確率的にいって何百万分の１のことなんでしょうが，ホント，unbelievableなお話しです。　 おととし２００１年の１月，幕の内が過ぎた頃のことです。休日でした。昼食を終えて，マックは横になってテレビでニュースを見ていました。嫁さんとサーヤが外出するというので，玄関の方で「行ってくるわねー。」という声が聞こえました。お見送りに行こうかな，と思って立ち上がろうとした，その時です。いきなり体全体に異常な振動を感じました。最初は道路工事でも始まったのか，という振動，それが家を揺るがす振動に変わった時，これは非常事態発生！と本能で悟りました。窓の方に寄り，一体何が起こったのかと，庭を見ました。「くっ，くるまが…！」絶句してしまいました。見たこともないよそ様の車が，道路からマックの家のガレージのフェンスを突破し，マックの愛車を押しているではありませんか。愛車は玄関前の４段の階段を押されて上がり，トランクの部分が玄関のポールに当たって，止まりました。侵入車は，マックの車を押しのけ，ウッドデッキにぶつかって，漸く止まりました。(つづく)◎昨日の問題を漸化式をつくって解いてみます。算数の問題が，エレガントな数学の世界に早変わりします。【問題】森のジュース屋さんはキャンペーン期間中で，ジュースの空きびんを３本持っていくと，ジュース１本と交換してくれます。ですから，５本買うと，まず５本飲め，空きびん５本のうち３本持っていくと，もう１本飲め，これで空きびんの合計は３本になるので，さらにもう１本飲めます。合計で７本飲めますね。それでは，ジュースを６７本買ったら，何本飲めますか。【解説】具体例から。数学の解法のこつは，単純な例で実験してみるということです。何らかの手がかりがつかめます。とにかく，行動すること！動けば，活路が開けてきます。(1)買って飲んだジュースの数が１なら，それでおしまい。買って飲んだジュースの数が２でも，それでおしまい。完結します。買って飲んだジュースの数が３から，そろそろ正体を現してきます。買ったジュース３本を飲みましょう。　　　　　　　　　　…　☆３本飲んだ(交換する空きびんの数，交換できず余る空きびんの数)でしたね。空きびんは３本。（３，０）となり，３÷３＝１でジュース１本と交換できます。交換したジュース１本を飲みます。　　　　　　　　　　…　☆１本飲んだ（１，０）なので，これ以上は進めません。すると，３本買って，４本飲めたことになりますね。買ったジュースの本数を　ｎ飲めたジュースの本数を　Ｆ（ｎ）とします。これは，関数ですね。　ｎ→Ｆ（ｎ）　という対応です。また，最後に余った空きびんの本数を　ｒ　で表します。だんだん，設計図があぶり出されてきました。ここから，集中して聞いてくださいね。今，３本の例では，余りｒ＝１になってます。すると，もう２本追加して買い，その２本飲み干すと，　　…☆＋２本空きびんは３本になります。（３，０）ですね。これでジュース１本と交換できるので，それもＤｒｉｎｋ。　　…☆＋１本３本飲めて，空きびんが，また１本残ってしまいました。これを数式で表現しますよ。まず，３本買ったところからです。「３本買った」　ｎ＝３　　→　「４本飲めた」　Ｆ（３）＝４，ｒ＝１　　次に，２本追加して買いました。「２本追加買い」　ｎ＝３＋２＝５　→　「４＋３＝７本飲めた」　Ｆ（５）＝７，ｒ＝１　　同じ論法で，また，２本追加で買っても「２本追加買い」　ｎ＝７　　→　　「４＋３＋３本飲めた」　Ｆ（７）＝１０，ｒ＝１　今までの関係を並べて，鑑賞しましょう。Ｆ（１）＝１　　Ｆ（３）＝４　Ｆ（５）＝７Ｆ（７）＝１０正体，見たり！！これは，初項１，公差３の等差数列ですね。漸化式で表せば　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋３　　(ｎ：自然数のうちの奇数)　　初項　Ｆ（１）＝１　　(2)偶数が抜けてますね。早速，実験です。ジュース４本を買って飲みましょう。　　　　　　　　　　…　☆４本飲んだ空きびんは４本発生しました。（４，０）＝（３，１）となり，３÷３＝１でジュース１本と交換できます。交換したジュース１本を飲みます。　　　　　　　　　　…　☆１本飲んだ空きびんが１本発生しました。しかし，（１，１）＝（０，２）なので，これ以上は進めません。すると，４本買って，５本飲めたことになりますね。そして，空きびんは２本余ってます。「４本買った」　ｎ＝４　　→→→　「５本飲めた」　Ｆ（４）＝５，ｒ＝２　　もう２本追加して買うことにします。※なぜ２本追加なのかというと，偶数でまとめたいからなのです。　我田引水式の進め方，強引というか，自分の都合のいいように　話を進めていくというセンスが，数学には必要です。(汗)追加して買った，その２本飲み干すと，　　…☆＋２本空きびんは４本になりますね。（２，２）＝（３，１）です。これでジュース１本と交換できるので，それもＤｒｉｎｋ。　　…☆＋１本合計３本飲めて，空きびんが，また２本残ってしまいました。「２本追加買い」　ｎ＝６　　→→→　「５＋３本飲めた」　Ｆ（６）＝８，ｒ＝２　　同じ論法で，また，２本追加で買っても「２本追加買い」　ｎ＝８　　→→→　「５＋３＋３本飲めた」　Ｆ（８）＝１１，ｒ＝２　今までの関係を並べて，またまた鑑賞です。Ｆ（２）＝２　　Ｆ（４）＝５　Ｆ（６）＝８Ｆ（８）＝１１これは，初項２，公差３の等差数列ですね。漸化式で表せば　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋３　　(ｎ：自然数のうちの偶数)　　初項　Ｆ（２）＝２　　偶数と奇数を合わせて　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋３　　(ｎ：自然数）　　ただし，Ｆ（１）＝１，Ｆ（２）＝２　　きれいな漸化式になりました。等差数列だから当たり前か(汗)。(3)これで，あとは一般項を求めてフィニッシュに入ります。ふーっ。まずは，奇数の場合の一般項からです。奇数はｍを自然数とすれば，２ｍ－１と表せます。初項Ｆ（１）から第（２ｍ－１）項のＦ（２ｍ－１）まで項数はｍ個。　　※ｍ＝１から，ｍ＝ｍまでを２ｍ－１に代入するので，　　　代入した個数はｍ個，と考えてくださいね。公差は３でした。Ｆ（２ｍ－１）＝Ｆ（１）＋（ｍ－１）・３　　　　　　　＝１＋３ｍ－３　　　　　　　＝３ｍ－２偶数は２ｍと表せ，初項Ｆ（２）から第２ｍ項のＦ（２ｍ）まで項数はｍ個。Ｆ（２ｍ）＝Ｆ（２）＋（ｍ－１）・３　　　　　　　＝２＋３ｍ－３　　　　　　　＝３ｍ－１６７は奇数なので，２ｍ－１＝６７２ｍ＝６７＋１＝６８ｍ＝３４Ｆ（６７）＝３・３４－２＝１０２－２＝１００答え　１００本お疲れ様でした。さて，この問題，交換できる本数を「空きびん４本でジュース１本」にしたら，どんな結論になるでしょう？「空きびん５本でジュース１本」にしたら？(つづく)

  2003.10.29

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• ＜算数の時間／数検をめぐって＞

  ◎算数と高校数学の両面から解ける問題をやってみましょう。これに似た問題は，慶応の高校入試問題にも出たこともありますよ。というわけで，私立高校を狙う中学生の子もチャレンジしてみてください。【問題】森のジュース屋さんはキャンペーン期間中で，ジュースの空きびんを３本持っていくと，ジュース１本と交換してくれます。ですから，５本買うと，まず５本飲め，空きびん５本のうち３本持っていくと，もう１本飲め，これで空きびんの合計は３本になるので，さらにもう１本飲めます。合計で７本飲めますね。それでは，ジュースを６７本買ったら，何本飲めますか。※算数による解き方の解説は，後段へ↓。　　数学による解き方の解説は，明日掲載します。◎数学検定，正式には「実用数学技能検定」には，８級から１級まで，準２級と準１級を含めて１０段階あります。８級が小学４年，１級上がるごとに学年も１つ増え，３級が中学３年です。ただし，検定内容のたてわけは，旧課程のままです。たとえば，不等式が３級に入ってますね。全体的に，素直な問題です。算数・数学のできる子には物足りないかなー，という感じですね。言って見れば，各学年で最低限ここまではできないとねー…という達成度・理解度を確認する問題のレベルです。学校の算数の授業では物足りない，中学に進んでからが心配だけれど，進学塾のレベルまでは要らない，というお子さん向けです。算数の力がついていないお子さんが，この数検突破を第一の目標にして学習していけば，クラスの中位より上が狙えます。楽しんでチャレンジできるかどうか，が大事ですけれど。実力をもっと磨きたいという子は，中堅の私立中学受験用の問題集にチャレンジですね。ちなみに，娘のサーヤには，応用自在問題集の算数を夏休みに，高速でやらせました。学校のスピードがかたつむりのようなので，これはまずいと思って一気に教えました。こどもは，こちらの熱意でついてきてくれます。なぜ必要なのか，という話からはじめます。「中学に入ってから小学校の勉強をやり直すのは，時間がもったいないね。」「学校の勉強はやさしくなっちゃったんだ。これだけでは，せっかく理解できる年になったのに，もったいないよ。」「今の方が，すんなりと頭に入るよ。今なら，時間にも余裕があるしね。」いろいろと理由を話します。最後は，サーヤの判断に任せました。(といっても，これだけマックがワイワイ言ってると，付き合うか，という感じ？)ちょっと，補足しておきます。数学が苦手な子は，小学校の算数がしっかりと身についていない場合が多いのです。中学生で，「容積」が分からないという子も実際いました。「容積」という言葉の意味が，です！ダイヤグラムが出てくると，拒否症状をあらわす子もいます。逆に，小学生のうちにダイヤグラムを教えてあげると，すんなり頭に入ります。これは，理解する思考回路が，小学生と中学生以上とで変わってくるからです。ダイヤグラムありき，でスタートできるのが小学生です。ダイヤグラムを見せると，知りたがります。そして，イメージでしっかり理解していきます。一方，中学生は，なぜそうなるのか，式であらわし，論理的に導入してあげないと，腑に落ちないのです。式・論理→ダイヤグラムの順です。マックは小学生を教える方が，自由度の点ではおもしろいですね。もちろん，中学生の子や高校生の子と，どちらがよい解き方か，などと張り合うのもおもしろいですよ。中学生以上は，マックの友だちです。特に高校生と問題の解答を競い合うワーキングはとてもスリリングです。話が，脱線しました。続けます。実際に，数検の問題集をみていただければ分かりますが，できる子からみると何でもない問題です。しかし，多くの小学生の子には，解けません。ひどい状況です。科学立国ＮＩＰＰＯＮはどうなってしまうのでしょうか。　　※明るくなる話題，希望がみえてくる話題も，もちろんあります。たとえば，　　 今年７月に開催された第３５回国際化学オリンピック・ギリシア大会で，　　 日本の高校生たちが銅賞を受賞するなど，大健闘しました。ノーベル　　 賞もそうですが，すごい人たちがいるものです。がんばれ，日本！！教育のあり方ひとつで，将来の日本の進路が大きく変わってきます。基本がしっかりしていないと，企業も，ビジネスも世界との競争に負けます。オーバーになりましたが，教育は本当に大切です。それも，基本的な読み書き算盤(今はＰＣかな？)だけは，しっかりと身につけないと，こどもたちの未来は…。(つづく)◎冒頭の問題を，算数で解いてみましょう。ポイントは表記法です。表記法さえつくってしまえば，ほぼ解決です。マックは縦書きが好きなので，ノートには分数のようにして書いています。(列ベクトルをまねっこして作りました。)でも，下記のような(○，△　)という横書きスタイルでも，問題ありません。【解説】(1)６７本飲みました。　　　　　　…　「これまでに飲んだ数　６７本」空きびんは６７本できますね。　　これを２群に分けます。ジュースと交換できるグループは６６本，余りは１本ですね。これを　(６６，１)　と表記します。(2)次のステージは，６６÷３＝２２本分のジュースと交換です。そして，これを全部飲みました。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…　「これまでに飲んだ数　６７＋２２本」空きびんは　(２２，１)　→　(２１，２)　になりました。(3)また，ジュースと交換です。２１÷３＝７本のジュース！　　　　　　　…　「これまで飲んだ数　６７＋２２＋７本」　（ゲップ！）空きびんは　(７，２)　→　(９，０)　になりました。(4)またまた，９÷３＝３本のジュースと交換です。　　　　　…　「これまで飲んだ数　６７＋２２＋７＋３本」　（ゲッ！）空きびんは　(３，０)　になりました。(5)これで最後です。ジュースと交換→３÷３＝１本　…　「これまでに飲んだ数　６７＋２２＋７＋３＋１本」　（ゲボッ！）空きびんは　(０，１)　で１本余っていますが，これは交換できません。　　６７＋２２＋７＋３＋１＝１００　　答え　１００本想像しただけで，気持ち悪くなりますね。キャンペーン時の買い過ぎにはくれぐれも注意しましょう。

  2003.10.28

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• 公立の子に数検を！

  ◎数検を選択肢に入れよーか昨夜，近所の友人宅に遊びに行きました。友人といっても，マックより一回り上で，友人と呼ぶのは申し訳ないのですが，年齢差を考えずにお付き合いしています。その彼の奥方から，小学４年になる孫の勉強が心配という話が出ました。漢字が特にひどい，という話です。公立小のレベルの低さに，マックも常々驚いているのですが，教育にあまり関心のない彼も，「とにかくひどい。」の連発。マックも小５になる娘のサーヤの話をして，盛り上がってしまったのですが，教育の機会均等という言葉も，このままでは死語になってしまうのではないか，という危機感がみんなにあります。私立小の子たちもみているマックには，その差があまりに大きく，比べる気力も失せてしまいます。公立は何で，こんなになってしまったのでしょう？彼及び彼の奥方と話していて，家庭の意識の問題もありますが，自衛策として，漢検や数検・英検などを子どもたちに受けさせていく，そして，子どもたちの到達度を客観的に評価していくことが，とりあえずできる方法という結論になりました。また，彼の奥方が言うには，孫の通う小学校では徒競走がなくなるとか。勝ち負けがよくない，という発想で廃止の方向になっているそうです。しかし，一歩社会に踏み出したら，競争です。小学校で競争はよくないという考え方は，絶対評価の延長線上の議論ですが，これでは運動会そのものもつまらなくなりますね。何かが違っているなー，マックは日本にしか存在しない学校の運動会そのものが，いずれ消えていく運命にあるような予感がします。◎自衛策の話ですが，数学検定を調べてくれい，という友人の依頼もあるので，明日から，数学検定についてのレポートをしていこうかな，と思います。これから，本屋さんにダッシュー………。【昨日のパズルの答え】　答えは２通りあります。(1)まずは，次のセットが答えです。　　　１　２　３　４　５　６と　　０　６　１２　１８　２４　３０　これは，前から考えていけば出てくるセットです。　まず，０との組合せからスタートです。　　１　２　３　４　５　６　　０　　これで和は１から６まで出てきます。次は，７からです。　　１　２　３　４　５　６　　０　６　　７から１２までの和が出てきました。　このように考えていけばいいですね。(2)前から，ということは後ろからもできる？早速，実験です。　　　　０　１　２　３　４　５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３１　　これで，３１～３６の数が出てきます。次は，和が３０からです。　　　　０　１　２　３　４　５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２５　３１　後ろからはじめて，２５までは出てきました。以下，同じ手順で，　　　　０　１　２　３　４　５　　と　　　　　　　　　　　１　７　１３　１９　２５　３１　これが２つ目の答えです。　※算数パズルは，中学受験をされるお子さんには必要です。発想力を身に　つけるツールとして，パズルのような問題を解くことをお奨めします。

  2003.10.27

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• マックの算数・数学ティールーム

  ◎妹尾榮聖様んとこのお妹君のａｉｃｃｏ様から，質問が来てます。　とても難しげな質問です。だれか助けてー。とばかりも言ってられないので，書きます。学問としての数学で，一番役立つのは，「関数」的な考え方なのでは…。ＰＣスキルを上げるためにも，「関数」の扱いに慣れておいた方が得です。エクセルの式をエレガントに作れるかどうかに係ってきます。関数は写像というイメージ，ある要素が自分の属する集合から，ほかの集合に(ほかの集合が自分自身になったりすることもあるのですが)対応する…簡単に言っちゃえば，マックは関数と聞くと，パブロフの犬のように「自動販売機」のイメージが出てきます。また，たとえば，１００枚のばらばらな経理の書類を，どう整理しますか？ナンバーリングしていけば解決しますね。これも関数の考え方の応用です。数字と書類を１対１に対応させるという関数化の作業です。(写像と言ったりしますが，ひとまとめにして，関数でいいでしょう。)そのほか，数学は，まず対象とする内容をできるだけシンプルにして，それを扱います。これは，日常でも，一見複雑そうにみえる問題・課題は，簡単にしてから処理するという「細分化」の手法につながっていきます。パターンを見抜くというのも，数学的な思考です。一般的に，数学が得意な人間は試験に強いです。数字やデータを分類し，必勝パターンを自分なりに構築してしまうからです。しかし，気をつけないと，作業してる本人がパターン化されて，平均化されてしまったりするわけですが…。何と言っても，数学はわずかな記号や式で，真理を表してしまうところがすごいです。事実から真理を発見し，それを極限まで抽象化してしまいます。抽象化すると，それは他の科学分野でも使えるツールになります。レトリックの世界とは正反対の，いたって簡潔な世界です。真理は簡潔である，という見本のマーケット，見本市です。そして，命題が真か偽か，必要・十分条件を満たしているか，などなど，論理の面から言葉のレトリック，話し手の真実性を，白日の下にさらしてしまうことすら，あります。「このプロジェクトは，これで完全無欠になったぞー。」「あらっ，でも，あの会社ではこれこれの点でうまくいかなかったそうよ。」これは，反例です。数学の世界でも証明に反例を出して，論破したりします。高校生のときにやった「√３は無理数であることを証明せよ。」…これは背理法で証明できましたね。日常でも，こういう論法を使います。また，帰納法的思考，演繹的思考も数学の世界が原点です。(これらは論理的数学の分野です。)ＹＥＳかＮＯかの二元論も二進法ですし，考えてみると，現代人は知らぬ間に数学の世界に，どっぷりとつかっているのでした。欧米の合理的思考が数学・論理学をベースにしていて，それを日本は一生懸命学んできていますから，数学的思考を，すでに普段から使用しているわけです。というわけで，合理性，効率性，整合性のスキルを仕事を通じてレベルアップしていく，というのが一番速い解決策かと思います。経営というと，確率や統計，ＯＲ(オペレーション・リサーチ)など，新たな数学の一群は，経営工学の分野で盛んに使われています。書店で最近も出ているＴｈｅ　Ｔｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｔｈｅ　Ｇａｍｅ　ゲームの理論は，企業戦略などに使われています。太平洋戦争で，アメリカが使った戦略がＯＲです。いかに，少ない被害で相手をたたくか，数学者たちが作成した数式モデルを使って，司令官たちは戦略を立て，日本軍に大きなダメージを与えました。ＯＲは，戦後に入ると，電算によるシミュレーション技術を駆使して，さらに強力なツールに変わっていきます。こういう底流があって，戦後の日本はアメリカ式の経営を導入してきたので，日本的な情の部分と，アメリカ式の経営ツール及び思考が混在してきたわけです。逆に，日本的な良さに目を向ける場合は，欧米の合理的思考から少し離れた方がいいのかもしれません。最後になりますが，経済や経理の世界では，フローとストックの概念が必ず出てきます。これぞ，まさしく数学的概念です。数学の申し子です。フローは瞬間風速で，一瞬の値。刹那の世界。ビデオを見ていて，一瞬止める。この操作でその瞬間の映像が見えます。これがフローの世界の極微，微分の世界です。そうすると，ストックは積分の世界，ということになります。微分は割り算の進化形，積分はかけ算の進化形と思ってもかまいません。給料はフローで，ダイヤモンドの指輪はストックというのは，時間に幅をもたせ，時間の長い，短いでたてわけているのですね。ａｉｃｃｏ様へ参考になりましたでしょうか。＜追記＞日本には古来「言霊」信仰がありますが，西洋には，ギリシャ以来の「数霊」信仰があります。つまり，数は宗教的なものなのでした。「万物の素は数である。」と主張する一派もありました。こういった伝統があるので，米欧の思想はきわめて数学的かつ論理的であるのでしょう。マックはそう思います。＜日曜日なのでパズルでもしよう。＞　パズルというより，中学入試に出したいような問題です。【パズル】サイコロの形をした積み木が２つあります。(ここまでは昨日と同じ…。)各面に数字を１つずつ書いて，上の２面の和が１から３６になるようにしたいと思います。各面には，どんな数字を書けばいいでしょうか。※答えは明日掲載します。その前に合っているかどうか，早く知りたい　 という方はホームからメールをくださいね。【昨日のパズルの答え】９は６をさかさまにすれば使えますね！これは，柔軟な思考力がものをいいます。それぞれの積み木に書く数字は，次のとおりです。０，１，２の３つは，どちらにも必要なので，答えは　　０　１　２　３　４　５と　０　１　２　６　７　８

  2003.10.26

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• マックの算数・数学ティールーム

  ＜土曜日なのでパズルをしよう。＞というわけで，算数パズルで頭の柔軟体操はいかがですか。【パズル】サイコロの形をした積み木が２つあります。それぞれの面に数字を書いて１日から３１日までの日付を表したいのですが，それぞれの面にどんな数字を書けばいいでしょうか。ただし，１日は　０と１，３１日は　３と１　などと表します。※こんな積み木で，来年用のカレンダーをつくっても　いいかもしれませんね。◎文系大学生向きの「線形代数学」と「微分・積分学」の本について，質問がありました。マックもあまり意識してなかったのですが，少し考えると，文系の人間がいきなり教養課程の微分や積分を学ぶというのは，ハードルが高いです。高校３年の微積をやっていれば，何とかつながってくるのですが…。指数関数，対数関数，三角関数の微分がいきなり出てくると思います。グリコのおまけのように，三角関数の逆関数，逆三角関数の微分も出てきます。ここまでは，前哨戦です。そこから，果てしのない微積の世界にＧｏ！たとえば，経済学では，公共セクターを入れた単純モデルの　Ｙ＝Ｃ＋Ｉ＋Ｇ－Ｔ　(Ｙ：国民総生産　Ｃ：総消費　Ｉ：総投資　Ｇ：政府支出　Ｔ：税)という式があります。消費が何％増えたら，国民総生産は何％増える，という乗数効果の議論では，この式を全微分します。(実際の国家公務員試験などでは，⊿を使う差分法の世界ですが。)Ｙ＝Ｆ（Ｋ，Ｌ）　　（Ｋ：資本　Ｌ：労働）これは，生産関数です。資本の増加にともなう生産額の変化(成長率)を調べるには，まず，Ｋについて生産関数を偏微分します。時間：ｔ　を考慮に入れると，ｌｏｇＹをｔで微分するという，対数関数の微分に突入していきます。Ｙが時間の関数になるからです。しかし，安心してください。おそらく，εやδの議論から始めても，文系では精密な数学的証明を求めてくることはないと思います。テーラー展開も出ないと思います。(出たら，ごめんなさい。)テストは，実際に計算問題が解けるかどうかでしょう。そういう実用的な問題でないと，学生に負担が大き過ぎますから。その意味では，テキストに載っていて，指導教官が一度でも説明した問題のバリエーションしか出てこないと思って，間違いはないです。次に，線形代数学ですが，ベクトルの概念から入るのが定番です。しかし，数式にとらわれると，全体の中で迷子になります。要は，行列と行列式の操作がある程度できればいいのです。詳細な証明に嵌ると，泥沼状態になりますよ。イメージができれば，式の意味することが分かってきます。一次独立　→　ｎ次元の座標平面をイメージ基底　→　一次独立の単位ベクトルの集合をイメージ気をつけること　→　行列Ａと行列Ｂの積ＡＢはＢＡにならない。　　　　　　　　　　　　　ＡＢ＝ＢＡになるのは，ごく特殊な場合のみ。方程式　→　行列で表示　→　正則行列の逆行列　→　方程式の答え方程式　→　行列式で表示　→　クラーメルの公式で答える固有値　→　固有ベクトル　→　ベクトルがスカラー倍　線形代数学は，線形計画法，ゲームの理論，ワルラスの一般均衡理論…応用範囲はとても広いです。経済統計学や数理経済学，計量経済学などでは必須科目です。レオンチェフの産業連関分析も然り，です。しかし，教養課程レベルでは，さほど難しいことはテストに出ないでしょう。やはり，テキスト重視で，板書された問題以外は出ない(数値は違ってくる可能性大です。)ものと思われます。習ったこと以外は出ないと，気楽に構えて，実用数学の楽しさを味わってみてください。証明に深入りしないように，注意しましょう。

  2003.10.25

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• マックの中学数学雑記帳－確率１

  ◎還元算や方程式は，ビデオの巻き戻しのイメージ(中学受験レベル)算数の還元算，「ｘ」を求める計算，みなさん，どうやってますか？「ｘ」はなぞの数なので，Ｍｉｓｔｅｒｙの頭文字のＭで表すことにします。たとえば（６×Ｍ－８）÷２＝１７ふつうのやり方は，こうですね。６×Ｍ－８＝１７×２　　　　　　 ＝３４６×Ｍ＝３４＋８ ＝４２ Ｍ＝４２÷６　 ＝７これを，ビデオの逆戻しのイメージで解いてみます。１７×２＋８「÷」が出てくるので，全体をかっこでくくり，（１７×２＋８）÷６＝（３４＋８）÷６　　　　　　　　　　　＝４２÷６　　　　　　　　　　　＝７１７×２＋８の式は，左側の式は，最後に２でわっているので，２をかけ，かっこの中では，８をひいているので，８をたすこんな操作をします。「＋８」がついたので，全体をかっこでくくらないと６でわれません。最後に６でわってできあがり。ちなみに，某私立小の６年では，次のようなタイプの宿題が出ます。〔{８＋（６６÷Ｍ－５×２）}×７÷５－（１８－６×２）〕÷１１－１＝１ビデオの逆戻しです。（１＋１）×１１＝２２ここで，左の辺の〔　〕をはずしますよ。２２＋（１８－６×２）＝２２＋（１８－１２）　　　　　　　　　　　　＝２８次は「×５」からです。２８×５÷７＝２８÷７×５　　　　　　　＝２０{　}をはずしますよ。２０－８＝１２（　）をはずします。１２＋５×２＝２２６６÷Ｍ＝２２６６÷２２＝３答え　Ｍ＝３慣れてくると，１本の式でできます。また，分数が入ってくると１本の方が効率がいいです。中学生以上の方も，こういうやり方にチャレンジしてみてください。確実に計算力がつきますよ。◎中学数学雑記帳－じゃんけんぽんで考える確率じゃんけんぽんをロビンとサラが，２人でするとしましょう。ロビンはグー，チョキ，パーの３通り，サラもグー，チョキ，パーの３通り場合の数では，樹形図(ツリー図)を描くのが原則ですから，ロビンからスタートして樹形図を描きましょう。　　　　　ロビン　　　　　　　　サラ　　　　　　　　　　　→　　　　グー　　　　　　グー　→ →　　　 チョキ　　　　　　　　　　　→　　　 パー　　　　　　　　　　　→　　 グー　　　　　　チョキ→ →　　 チョキ　　　　　　　　　　　→　　 パー　　　　　　　　　　　→　　 グー　　　　　　パー　→ →　　 チョキ　　　　　　　　　　　→　　 パー　　　　　　ロビンのグーに対して，サラは３通りあります。　　　　ロビンのチョキに対しても，サラは３通りあります。　　　　ロビンのパーに対しても，サラは３通りあります。　　ロビンの３通りのそれぞれにサラの３通りが対応するので，　　これを「積の法則」と呼び，それぞれをかけることになるので，　　　　積の法則より　　３×３＝９通り　　もし，３人でじゃんけんしたら　　　　３×３×３＝２７通り　　もし，４人でじゃんけんしたら　　　　３×３×３×３＝８１通り　　この「じゃんけん」のイメージをして，次の問題に挑戦です。　　【問題１】　　４人で旅行にいきました。旅館には空いている部屋がＡ，Ｂ，Ｃの　３部屋あります。４人はどの部屋にも入れるとして，その入り方は何　通りありますか。ただし，だれも入らない部屋があってもいいものと　します。　　【解説】　　４人でじゃんけんするイメージで解けます。　　部屋をＡ→グー，Ｂ→チョキ，Ｃ→パーと考えれば，　　全員がグーを出したら，全員がＡの部屋に入るというイメージです。　　すると，１人ずつ，グー，チョキ，パーを自由に，勝手に出すので　　３×３×３×３＝８１通り　になりますね。　　答え　　８１通り　　　次のコイン投げもじゃんけんです。　　　　　　【問題２】　　４枚の硬貨を同時に投げました。次の確率を求めましょう。　　(1)少なくとも１枚は表が出る確率　　(2)表も裏も出る確率　　(3)表が偶数枚出る確率　　【解説】　　(1)場合の数からいきます。表を○，裏を●とします。　　　４枚の硬貨の出方は２＾４(２の４乗)＝１６通り。　　　　　比較→４人がグーとパーだけ出せるじゃんけんのイメージです。　　　次に，　　　「少なくとも１枚は表」を満たさないのは「全部表でない」＝「全部裏」　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ということですが，いいですか？　　　☆「少なくとも」の考え方　　　　　少なくとも，という言葉が出てきたら，その反対の世界をつくろう。　　　　　少なくとも１枚　→　反対は？　→　全部～でない　　　　　　at least 　 　　 all　　ｎｏｔ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　表でない　＝　裏である　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆次の考え方は超重要です。☆ 　　　全部裏　の確率を　　Ｐ　とすると　　　少なくとも１枚は表　の確率は　　１－Ｐ　である。　　　☆　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　☆　　　さて，全部裏になるのは，１通りしかありません。　　　確率は１／１６　　　答えは　１－１／１６＝５／１６　　(2)今度は「表も裏も出る」をみたさないのは「全部表か全部裏」。　　　「全部表か全部裏」の確率は１／１６＋１／１６＝２／１６＝１／８　　　答えは　１－１／８＝７／８　　(3)「表が偶数枚」のケースは　表が０枚か２枚か４枚しかありません。　　　(ア)表が２枚は慣れないうちは書き出してしまいましょう。　　　書き出すときは規則的に！　　　　○○●●　　　○●○●　　　○●●○　　　●○○●　　　●○●○　　　●●○○　　　　　この書き方をまねしてください。規則的になっていますね。　　　６通りあったので，確率は６／１６　　　(イ)表が０枚と４枚はあわせて２通り。確率は(2)から２／１６ですね。　　　答えは　６／１６＋２／１６＝８／１６＝１／２　　　さて，ここからが実験です。　　　上の問題では４枚のとき，表が偶数枚になる確率は１／２でした。　　　５枚のとき，偶数枚になる確率はどうでしょう。　　　　　　４枚のときの「表が偶数枚」を並べてみましょう。　　　○○●●　　　○●○●　　　○●●○　　　●○○●　　　●○●○　　　●●○○　　　○○○○　　　●●●●　　　これに，裏を１枚ずつ付け足します。　　　そして，「表が偶数枚」にしますよ。　　　○○●●　●　　　○●○●　●　　　○●●○　●　　　●○○●　●　　　●○●○　●　　　●●○○　●　　　○○○○　●　　　●●●●　●　　　　　　この作り方で８通りでてきました。まだありますよ。　　　次は，４枚のときの「表が奇数枚」を並べてみましょう。　　　　　　○○○●　　　○○●○　　　○●○○　　　●○○○　　　○●●●　　　●○●●　　　●●○●　　　●●●○　　　これに，表を１枚ずつ付け足しますよ。　　　○○○●　○　　　○○●○　○　　　○●○○　○　　　●○○○　○　　　○●●●　○　　　●○●●　○　　　●●○●　○　　　●●●○　○　　　また８通り出てきましたね。　　　　　　全部で８＋８＝１６通りになりました。　　　これは４枚のコイン投げ全体の場合の数そのものですね。　　　　　　ところで，５枚のコイン投げ全体では２＾５＝３２通りあります。　　　５枚の場合の確率は１６／３２＝１／２　　　(４枚のコイン投げの全体の数÷５枚のコイン投げの全体の数)　　　やっぱり１／２になりました。　　　　　　このように考えれば，次の結論が出できます。　　　「投げる枚数が何枚でも，表が偶数枚出る確率は１／２である。」

  2003.10.24

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• 高校数学メモ帳 第二話「関数と対称移動」の物語

  ☆「関数で出てくる対称移動」の物語は，後段に掲載しました。◎買い物に役立つおつりの計算！きょうのスタートは，お母様方に便利なおつりの計算を紹介します。(知っている人は読み飛ばしてくださいね。)マックは，みんな知ってることと思っていたのですが，散歩のついでにメンバーに聞いたら，みんな知らないというのです。そこで，ご存知でない方向けに計算方法を書いておきます。買い物をしたときのおつりの計算は，慣れればさっと出ます。(使用上の注意：家で充分練習してから，ご使用ください。)お子さんが聞きたがったら，しくみを教えてあげてくださいね。お使いで，算数の勉強ができます。では，簡単な例からいきます。【例１】６５３円の買い物をしました。１０００円札を出したら，おつりはいくらになるでしょう。マックなら，数字を左から見て３４７円と出します。【例２】３５７３円の買い物をしました。１００００円札を出したら，おつりはいくらになるでしょう。これも，数字を左から見て，６４２７円とすぐ出てきます。【例３】６７３０円の買い物をしました。１００００円札を出したら，おつりはいくらになるでしょう。数字を左から見て，３２７０円です。もう気がついた人もいるかと思います。【例１】の６５３円では９－６＝３９－５＝４１０－３＝７これで３４７円と出てきます。左から計算します。ふつうは，１０－３＝７とやって，次に十の位で１繰り下がった９で９－５＝４さらに百の位で１繰り下がった９で９－６＝３と計算します。それなら，最初から１０００円を９００円と９０円と１０円に分ければいいじゃん！と気づくところに，この計算のおもしろさがあります。つまり，９００円と６００円９０円と５０円１０円と３円のグループに最初から分けて，差を求めればいいのです。【例２】の３５７３円では１００００円を９０００円と９００円と９０円と１０円に分けます。そして，最後を除いて９から引くだけでいいのです。９－３＝６　　　　　たして９９－５＝４　　　　　たして９９－７＝２　　　　　たして９１０－３＝７　　　　たして１０これで６４２７円と出てきます。左から計算します。【例３】の６７３０円では１００００円を９０００円と９００円と１００円に分けます。一番小さい位が十の位なので，１００円まででいいのです。９－６＝３　　　　　たして９９－７＝２　　　　　たして９１０－３＝７　　　　たして１０これで３２７０円と出てきます。引き算を左から計算するのー！お子さんは？？になるかもしれません。でも，こういうふうに工夫して計算すると，算数が楽しくなります。繰り下がり計算しなくて済みますから，マックは楽をしています。◎高校数１レベルの基本的な公式をチェックしていきます。１０／１９の☆第一話　「関数で出てくる平行移動」の物語に続く，第ニ話です。☆「関数で出てくる対称移動」の物語点Ａ(ｘ，ｙ)をｘ軸に関して，対称移動します。それを，とりあえず点Ｂ（Ｘ，Ｙ）と大文字で表します。ｘは変わりありません。変わったのは，ｙです。－ｙになりました。Ｘ＝ｘＹ＝－ｙこれは，図で覚えておけばいいですね。ｘ軸を書いて，上(下)に点Ａ(ｘ，ｙ)　　　　　　　　　　下(上)に点Ｂ（Ｘ，Ｙ）＝(ｘ，－ｙ)　この操作だけ覚え，いちいち公式として覚えないこと。いいですか。ｙ＝ｆ（ｘ）で考えるなら，ｘ＝Ｘｙ＝－Ｙの形にして，ｙ＝ｆ（ｘ）に入ります。－Ｙ＝ｆ（Ｘ）旧番地の表示にもどします。－ｙ＝ｆ（ｘ）ｙ＝－ｆ（ｘ）【例題】ｙ＝３ｘ－５をｘ軸を対称軸として，対称移動しましょう。移動後の一次関数の式を求めなさい。【解説】ｘ＝Ｘｙ＝－Ｙを　ｙ＝３ｘ－５　に代入して，－Ｙ＝３Ｘ－５　Ｙ＝－３Ｘ＋５　　答え　ｙ＝－３ｘ＋５☆アルゴリズムで考えよう。ｘ→ｘｙ→－ｙｙ＝ｆ（ｘ）にこの変化を伝えます。－ｙ＝ｆ（ｘ）ｙ＝－ｆ（ｘ）になりますね。ｙ＝３ｘ－５　は（－ｙ）＝３（ｘ）－５－ｙ＝３ｘ－５ｙ＝－３ｘ＋５▽次は，点Ａ(ｘ，ｙ)をｙ軸に関して，対称移動します。高さｙは変わらず，ｘが－ｘに変わりますね。ｘ→－ｘｙ→ｙｙ＝ｆ（ｘ）にこの変化を伝えます。ｙ＝ｆ（－ｘ）になりますね。【例題】ｙ＝３ｘ－５をｙ軸を対称軸として，対称移動しましょう。移動後の一次関数の式を求めなさい。【解説】ｘ→－ｘｙ→ｙを一次関数に伝えます。ｙ＝３ｘ－５　→（ｙ）＝３（－ｘ）－５＝－３ｘ－５　答え　ｙ＝－３ｘ－５▽原点に関して，点Ａ(ｘ，ｙ)を対称移動します。ｘが－ｘに変わり，高さｙも－ｙに変わりますね。ｘ→－ｘｙ→－ｙｙ＝ｆ（ｘ）にこの変化を伝えます。（－ｙ）＝ｆ（－ｘ）ｙ＝－ｆ（－ｘ）　　になりますね。【例題】ｙ＝３ｘ－５を原点に関して対称移動しましょう。移動後の一次関数の式を求めなさい。【解説】ｘ→－ｘｙ→－ｙを一次関数に伝えます。ｙ＝３ｘ－５　→　（－ｙ）＝３（－ｘ）－５＝－３ｘ－５ｙ＝３ｘ＋５　答え　ｙ＝３ｘ＋５

  2003.10.23

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• マックの中学数学雑記帳から－増加率の話

  ◎シュタイナー教育の話が，楽天日記「ルーのパパさん」のＨＰに掲載されています。シュタイナー教育という文字を見ただけで，思わず懐かしい思い出の世界に浸ってしまいました。わが娘サーヤは，幼稚園に入る前の準備期間のため，１年間だけですが，このシュタイナー教育の手法を採り入れているスクールに通っていました。マックは当時，シュタイナーの本を読み漁っていました。日本にもこういう学校があれば，本当の天才があらわれると思いました。そして，情報を集めたら，家から車で５分もかからないところ，マックの卒業した中学のそばに，スクールがあったのです。サーヤは，スクールでいろいろな絵を描いて，家に持ってきてくれました。マックの宝物として，まだ残してあります。絵柄がとても神秘的，今まで見たことのない宇宙の構成のような絵です。シュタイナー教育は，こどもの才能が開花するように，絵や遊びにいろいろな手法・ツールを用います。詰め込みではなく，一人一人に応じた段階を踏んで，教育を進めます。枠にとらわれない発想，アイディア，創造性など，シュタイナー教育の思想やテクニカルな面に，親としてほんのちょっぴりですが，係りました。のびのびとした本当に自由な学校です。ここのところ，すっかりご無沙汰していたなーって，ＨＰを見て思いました。ところで，サーヤは，小学生になってからも，マックにいろいろな絵を描いてくれます。マックがいまだに不思議なのは，太陽から緑色の線がいっぱい伸びている絵と，月の光が何色にもなっている絵です。サーヤに見えて，マックには見えません。サーヤは，逆に，どうして太陽の緑の光が見えないのか，質問してきます。月も黄色の光だけではなく，大きく分けて，三色の光が見えるといいます。月を見るととてもきれいと言います。光がいっぱい見えるので，絵を描くときに，その光がじゃまになるとも言います。空には，いろいろな光が乱舞しているようです。お子さんが不思議な絵を描いたら，そのまま受け取ってあげてください。マックの勘では，大人に見えない風景が，こどもには見えています。光や風は，大人が見るような，ただの光や風ではないようです。マックには分かるような感じがします。画家が不思議な絵を描きます。ごくふつうの中年であるマックには見えないで，画家には見えている世界があるのでは…。風の音も，ある音楽家たちにとっては，音楽そのものに聴こえているような気がします。◎マックの中学数学雑記帳(増加率は比ですぐ出せますか？)中学生向けに，知っておくべき基本的なことがらを連載しています。中学受験の基礎レベルなので，小学生の方もひまなら読んでね。きょうのテーマは増加率。人口増加率，経済成長率…みんな増加率の世界です。お金も成長します。これが金利。体重も身長も，去年と今年で変化していれば，去年を基準にして増加率が出ます。世の中の変化，有為転変を数字であらわすと，増加率。平家物語の諸行無常の世界も増加率(減少率？)ー。増加率はデルタ⊿を使って，あとで定義します。まず，Δｘや，Δｙとかの表し方から勉強します。Δｘを日本語に約すと「ｘの増分」といいます。どれだけ増えたか，その増えた量を表します。身長をｘとします。去年の１０月２１日に測った身長が１６２ｃｍ(ｘ１)で，今年１０月２１日に測った身長が１７０ｃｍ(ｘ２)なら，Δｘ＝ｘ２－ｘ１＝１７０－１６２このように使います。増加率の定義は　　　　　　　　　　　増分　　　　　　　Δｘ増加率　＝　──────　＝　───　　　　　　　　　基準点の量　　　　　ｘ１※公民の話になりますが，経済成長率gは　Ｙを国民総生産として　　　　　　　ΔＹ　　g　＝　───　　　　　　　　Ｙで定義します。ついでに，ｘ－ｙ座標平面でみてみると，ｘ座標がｘ１からｘ２に変化したら，ｘの増分はΔｘ＝ｘ２－ｘ１同時に，ｙ座標がｙ１からｙ２に変化したら，ｙの増分はΔｙ＝ｙ２－ｙ１増分どうしの比の値を変化率と呼びます。そして，変化率は　　　　　　　　　　Δｙ　　　　　　ｙ２－ｙ１　　　変化率＝───　＝　─────　　　　　　　　　　Δｘ　　　　　　ｘ２－ｘ１と定義します。２変数の世界です。変化率はふつうはどんどん変化しますね。変化率がまったく変化しないという特殊な世界が，一次直線の世界です。直線の場合は，変化率がいつも同じ，一定です。Ｆｉｘされているので，これを「傾き」と呼んだり，「勾配(こうばい)」と呼んだりします。それでは増加率の問題です。【設問】１５０グラムの値段が３０００円であったお肉が，１６０グラムで３６００円になりました。何％値上がりしたでしょう。【解説】１５０グラムの値段が３０００円のときに，１６０グラム買ったらいくら？１５０：１６０＝３０００：ｘｘ＝３０００÷１５０×１６０＝３２００増分は３６００－３２００＝４００(円)　ですね。基準の値は　３２００円　なので　　　　　　　　　　　　　４００　　値上がり率＝　───　×１００　＝　１２．５％　　　　　　　　　　　　３２００　　答え　１２．５％　※３６００÷３２００－１＝１．１２５－１＝０．１２５　　と，いっぺんに出してもいいですね。次は，よく出るかたちの基本です。いきなり，超簡単になります。【設問】ある中学校で，去年の全校の生徒数より今年は２％増えて５６１人になりました。去年の全校の生徒数は何人ですか。【解説】去年の全校の生徒数をｘとすると(このｘが基準の値になります。)ｘ（１＋０．０２）＝５６１１．０２ｘ＝５６１ｘ＝５６１／１．０２＝５５０　答え　５５０人次は，比の積と増加率の組合せ問題です。【設問】ある品物の９月の値段は，８月より２割値上がりし，１０月はさらに５％値上がりして，４４１円になりました。８月の値段はいくらでしたか。【解説】８月の値段をｘ円とします。(このｘが基準の値になります。)ｘ(１＋０．２)(１＋０．０５)＝４４１ｘ＝４４１÷１．２÷１．０５＝３５０答え　３５０人［増加率のまとめ］魔女のモニカ×魔法のつえ＝少女クララ　　　●　　　　×　　　▲　　 ＝　　■　　　……　　●が基準の値　●×（１＋増加率）＝■　　　　　　　　　　……　　　　大切な式　　　　　　　　　　■　１＋増加率＝──　　　　　　　　　　●　　　　　　　　■　　　　　■－●　増加率＝──－１＝────　　　　　　　　●　　　　　　●　■－●　を　増分　といい，⊿●で表す。　　　　　　　⊿●　増加率＝───　　　　　　　　　　　　　　……　　　　定義の式　　　　　　　　●　※●を変数ｘに置き換えて，整理しておきましょうね。

  2003.10.22

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その１０＞

  ◎きのう，高校生の化学をみていました。クルミ(マックの塾で教えている解法のことなんです。)で，化学の概念を表現する作業を，このところ少しずつ進めています。こういう作業がおもしろいのです。発見する作業です。たとえば，「水溶液(ａｑ)の重さ×絶対温度(ｋ)の上昇とＱＫＪの関係」は，仕事算で使うＷのクルミというツールを応用すれば，すぐ理解できます。(ヒント：化学反応も仕事をしていると考える，そういうイメージをしていくと，化学の概念と算数の仕事算が，リンクしてきます。)こうして，クルミβー版ができると，娘カオリンに最初に試します。試し方は，まず，クルミの概念図を見ないで問題を解いてもらいます。時間も計ります。次に，クルミの概念図を見てもらいます。そして，クルミの説明を二言，三言して，再び同じ問題にチャレンジ。計算ミスをしなければ，これで９割程度は解けます。解き終わってから，意見・感想を聞きます。クルミを修正することもあります。こうして，クルミができたら，１週間くらい，寝かせます。その間も，思考を続けます。もっとよい表現はできないか…など，工夫を重ねていきます。こうして，「化学の概念」クルミをせっせと貯めています。そして，いつか，本にしたいなー，という夢をもっています。今，マックの塾にきている小学生のこどもたちが，高校に入ったら，すぐ使えます。それまでには…。「化学の概念」クルミを作り終えたら，「物理の概念」クルミも作っていきたい，夢はどんどん広がります。◎逆比シリーズの最終回は，歩幅と歩数の問題です。　歯車の問題の変形です。歯車をイメージして次の問題を　解いてみましょう。【問題】ロビンが４歩歩く間に，妹のサラは５歩歩きます。　　また，ロビンが３歩かかるきょりを，サラは５歩で歩きます。　　きょうは森のお祭りの日です。サラが先に家を出かけました。　　サラが１５０歩進んでから，ロビンが家を出発し，サラのあと　　を追いかけました。ロビンは何歩歩けば追いつけますか。　　【解説】　　歩幅からみてみましょう。　　「ロビンが３歩かかるきょりを，サラには５歩で歩きます。」　　ここに歩幅が入っていますね。　　３：５の逆比が歩幅の比です。　　歩幅の比が５：３なので，一歩の幅をかりに５０ｃｍと３０ｃｍと　　すると，　　ロビンは　　３歩×５０ｃｍ＝１５０ｃｍ　　サラには　　５歩×３０ｃｍ＝１５０ｃｍ　　で同じになっていますね。　　歩幅が，歯車の歯の数のイメージです。　　(歯車の歯の数　５：３)　　次に，「ロビンが４歩歩く間に，妹のサラは５歩歩きます。」　　という情報で，歩数の比４：５が出てきます。　　歩数は，歯車の回転数のイメージです。　　(歯車の回転数　４：５)　　　歩幅×歩数で「歩く速さ」になります。　　(歯車がぐるぐる回りはじめました。)　　　　ロビンとサラの「歩く速さ」の比は　　５×４：３×５＝２０：１５　　になりました。　「サラが１５０歩進んでから」　　この情報から，これから先の話は，サラの歩幅に統一して　　進めていきますよ～，というサインが出ました。　　サラの歩幅で一貫していきますよ。　　だから，ロビンは歩数だけ異なるサラ２号に変身です。　　※算数・数学の世界では，このように同じ世界でのお話しに 　　　 して解いていくというのが，ひとつのテクニックです。同じに　　　　しておかないと，実験できないからです。理科の実験も　　　　ほかの条件を同じにして，一カ所だけ変えていくという　　　　テクニックを使いますね。それとまったく同じです。　　　　ここから，小さな歯車の世界のお話になりますよ。　　　　サラ２号(ロビン)とサラの歩く速さの比は，　　同じ時間で　　サラ２号が２０歩ならば　　サラは１５歩です。　　追いつき算を使います。　　２０歩と１５歩を１セットとしましょう。　　１セットで５歩だけ差がちぢまります。　　１５０歩の差は　１５０÷５＝３０セット　必要です。　　ロビンは，１セットにつき，サラの歩幅で２０歩でしたね。　　２０歩／セット×３０セット＝６００歩　　　　サラ２号は，サラの歩幅で６００歩歩けば，サラに追いつきます。　　　　ここから，サラ２号はロビンの世界にもどります。　　大きい歯車の世界にもどります。歩幅が５：４から，４分の５に，　　歩数は４：５から，５分の４になります。　　歩くスピードがゆっくりになるというイメージです。　　　　つまり，サラの歩幅の６００歩分は，ロビンの世界では　　　　６００×４／５＝４８０歩分になります。　　大きな歯車，ロビンの世界では　　　４８０歩になったけれど，歩幅の比の５をかければ　値は２４００　　小さな歯車，サラの世界でのロビンは，　　歩幅も歩数もサラと同じになっているので，　　６００歩に歩幅の比の４をかければ　値は２４００　　　　　　答え　４８０歩　　このイメージを何回もしてみてください。　　比の積と逆比が両方イメージできるようになります。　　(逆比のシリーズ　了)

  2003.10.21

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その９＞

  ◎マックの中学数学雑記帳(比の商が使えますか？)中学生になっても，割合や比の考え方って，とっても大切です。文章題がにがてという子は，割合や比にもどって勉強し直しただけで，文章題が分かってきます。相似比を学んでいる子もいると思いますが，名前からして「比」の世界ですね。比の世界だから，逆比も出てきます。相似で入試クラスの問題になると，比の積と逆比がいっぱい出てきます。円や三平方の定理も同様です。割合と比は，快適な数学ライフのための２大ツール！といっても過言ではありません。忘れてしまったとか，いまいち分からないという子は，今のうちに小学校の５年，６年の割合と比のところを勉強し直しましょうね。小学生レベルの問題で，きみの比の力をテストしてみましょう。【設問】ロレインさんは５０円，１０円の２種類のお金を合わせて７６枚持っています。それぞれの金額の比は４：３です。ロレインさんは５０円，１０円のお金をそれぞれ何枚持っていますか。　　　　　　　　　　　　　　　(制限時間：３分)【解説】方程式でも解けますが，比を使って解くと，速いです。図形の問題では，比を使って解かないと，時間がなくなるかも。それでは，比を使って解説です。金額の比は４：３　これを利用します。仮定をうまく使います。金額をそれぞれ　４００円，３００円とおいてみましょう。すると，枚数の比が見えてきますね。枚数の比　　４００／５０：３００／１０＝８：３０＝４：１５　比例配分の式を使います。５０円の枚数は　　　　　　　　４　　　７６×───　＝１６　　　　　　　４＋１５よって，１０円の枚数は　　７６－１６＝６０　　答え　５０円は１６枚，１０円は６０枚 金額の比を枚数の比に直すときに「比の商」を使いました。比の商に慣れてきたら，次のようにいっぺんに求められます。　　　４　　　　　　３　　──　　：　──　＝　４：１５　　５０　　　　　１０基本の式でも確認！　単価×枚数＝金額　　　●　×　▲　＝　■　　○　×　△　＝　□　　枚数＝金額÷単価　　　▲＝■÷●　　△＝□÷○　■÷●　と　□÷○　が比の商の正体です。◎小学生向きの逆比の話　－－　歯車と逆比【問題】逆比の問題で，なつかしいというと，この歯車の回転数と歯数です。歯車Ａ，Ｂの歯数は，それぞれ１２０歯，９０歯です。今，Ｂが２０回転すると，Ａは何回転しますか。【解説】　　歯数×回転数＝かみあった歯数　　　●　×　▲　＝　■　　歯車Ａを　●×▲＝■　　歯車Ｂを　○×△＝■　　とします。■は同じですね。　　●：○＝△：▲　という逆比になりますね。　１２０：９０＝２０：△　　　４：３＝２０：△　△＝２０÷４×３＝１５　答え　１５回転　歯数　　→　歩幅　回転数　→　歩数　　と考えると，おとなとこどもがいっしょに歩いているという　イメージになります。　このいっしょに，という制限をはずすと，比の積の問題になります。　　歯車ならば，「歯数×回転数」は歯車の回る速さになります。　人間ならば，「歩幅×歩数」は歩く速さになります。　問題集や入試をみると，歯車ではありきたりなので，最近は　歩幅×歩数という形にすがたを変えて，出題されています。　　歩幅×歩数の問題が分からなくなったら，　歯車のイメージにもどって考えてみましょう。 大きい歯車がおとな，小さな歯車がこども。

  2003.10.20

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その８＞

  ◎マックの中学数学雑記帳(割合のなかまの濃度が使いこなせますか？)濃度の計算で，濃度と濃度をいきなり足したり，引いたりする子がいます。中学生の子でも，現実にけっこういますよ。たとえば，「５％の食塩水３００グラムと１０％の食塩水２００グラムを混ぜると何％の食塩水ができますか。」この設問で，１５％と答える子がいます。足して２で割って７．５％と答える子もいます。でも，食塩水が３００グラムと２００グラムで，スタート地点が違いますね。割合の計算は，●が命です。前回の仕入れ値・定価・売り値では，仕入れ値の●で一貫していますね。スタート地点が違うと，割合どうしの足し算ができないのです。仮にもしも，設問が「５％の食塩水３００グラムと１０％の食塩水３００グラムを混ぜると何％の食塩水ができますか。」と，食塩水が両方とも３００グラムならば，７．５％になります。　　食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ　　　　　　　　●　×　▲　＝　■５％の食塩水３００グラム中の食塩の重さは　　　　　３００×５／１００＝１５　　　　　　　　→　●＝３００１０％の食塩水２００グラム中の食塩の重さは　　　　　２００×１０／１００＝２０　　　　　　　→　●＝２００注）●＝３００　と　●＝２００　で一貫していないですね。　濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ　　　▲＝　　■　　　÷　●　　濃度＝(１５＋２０)÷(３００＋２００)×１００　　　　＝３５÷５００×１００＝７　答え　７％◎逆比の問題，まだ続きます。いろいろなパターンに慣れましょう。【問題】１５０円の２割４分はＡ円の３割です。Ａを求めましょう。【解説】１５０円の２割４分　→　●×▲Ａ円の３割　　　　　→　○×△　●：○＝△：▲１５０：Ａ＝０．３：０．２４　　　←　逆比ここまで準備できたら，計算開始！１５０：Ａ＝０．３：０．２４＝３０：２４＝５：４Ａ＝１５０÷５×４＝１２０　　　　答え　１２０◎高校数学メモ帳 「関数で出てくる平行移動」の物語ｙ＝ｆ（ｘ）上の点Ａ(ｘ，ｙ)からｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑだけ平行移動します。それを，とりあえず点Ｂ（Ｘ，Ｙ）と大文字で表します。Ｘ，Ｙは仮のすがたです。ｘ，ｙと間違えないための仮のすがたです。（※このとりあえずで，分からなくなる人，いますか？）正確に書くと「点Ａ(ｘ，ｙ)が点Ｂ(ｘ＋ｐ，ｙ＋ｑ)に移りました。」ですね。しかし，これで終わってしまうと，先に進めないのです。そこで，仮の変数，ＸとＹを持ってくるのです。「点Ａ(ｘ，ｙ)が点Ｂ(Ｘ，Ｙ）に移りました。」「点Ａ(ｘ，ｙ)が点Ｂ(ｘ＋ｐ，ｙ＋ｑ)に移りました。」どちらも同じことをいっていると思ってください。座標平面が(ｘ，ｙ)と小文字で表される世界が旧番地の世界。そこから移った先は，とりあえず，（Ｘ，Ｙ）と大文字で表記される新番地の仮の世界です。いま，成り立っていることはＸ＝ｘ＋ｐＹ＝ｙ＋ｑという関係ですね。仮の新番地のＸ，Ｙと古い番地のｘ，ｙとの関係です。このまま，移動後の新しい式を作ろうとしましたが，はたと困りました。そうです。関数のｙ＝ｆ（ｘ）は旧番地の世界の式なので，新番地表示の大文字のＸさん，Ｙさんには，直接入れないのです。─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　（※この説明でわかりましたか？）数学的な説明では「ｘ，ｙはｙ＝ｆ（ｘ）上の点のｘ座標，ｙ座標です。　その意味で，点Ａはｙ＝ｆ（ｘ）にｏｎしているといいます。　一方，点Ｂは移動後の点なので，ｙ＝ｆ（ｘ）にｏｎしていません。　ｏｎしていなければ，Ｘ，Ｙの組はｙ＝ｆ（ｘ）を満たしません。　つまり，Ｘ，Ｙを代入した　　Ｙ＝ｆ（Ｘ）　は成り立ちません。」と，こんな言い方になりますが，ｏｎ＝乗っている，というイメージです。グラフの上に乗っているってどんなイメージかな？─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　─　そこで，小文字のｘさん，ｙさんにも集まってもらい，相談しました。小文字のｘさんが言いました。「そうだ，ぼくたちは　ｙ＝ｆ（ｘ）　に入れるから，ぼくたちのうしろにそーっと隠れて，入っちゃえばいいよ！」ｘ＝Ｘ－ｐｙ＝Ｙ－ｑこうして，やっと作戦会議は終わりました。ｘにＸ－ｐ，ｙにＹ－ｑを代入します。入れましたね。Ｙ－ｑ＝ｆ（Ｘ－ｐ）大文字のＸさん，Ｙさんは旧番地の世界に入れたことに気をよくして，Ｙ－ｑ＝ｆ（Ｘ－ｐ）のまま，しばらく暮らしていました。ある日，大文字のＸさん，Ｙさんにみんなが言いました。「きみたち，新番地の世界は仮の世界なんだから，そろそろｘ，ｙに戻ってもいいんじゃない？」まわりのみんなも，「そうだね，仮の世界にもどることはもうないんだから，旧番地の表記にしちゃいなよ。」と言いました。大文字のＸさん，Ｙさんは，「そうだ。ぼくたちの生きてる世界は旧番地の世界なんだ。」と思い出しました。Ｘ，Ｙはｘ，ｙと混同することはなくなったので，ｘ，ｙとふつうの表記になりました。ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）これが平行移動の公式ですね。※古いｘ，ｙと新しいｘ，ｙとして，今までの話をまとめてもいいです。「古いｘ」→ｐだけ平行移動→「古いｘ」＋ｐ→これを「新しいｘ」とする。「古いｙ」→ｑだけ平行移動→「古いｙ」＋ｑ→これを「新しいｙ」とする。「古いｘ」＋ｐ＝「新しいｘ」「古いｙ」＋ｑ＝「新しいｙ」変形します。「古いｘ」＝「新しいｘ」－ｐ「古いｙ」＝「新しいｙ」－ｑｙ＝ｆ（ｘ）　には「古いｘ」と「古いｙ」がｏｎしています。そこで，「古いｙ」＝ｆ（「古いｘ」）　がなりたっています。次に，新しいｘ，ｙで表せるように代入します。「新しいｙ」－ｑ＝ｆ（「新しいｘ」－ｐ）　「新しい」という形容詞を取ります。　ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）　　　　新しいｘと新しいｙはこのグラフの上にｏｎしています。古いｘ」と「古いｙ」がｏｎしているのは，ｙ＝ｆ（ｘ）　ですよ。ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）は，ふつうは　　ｙ＝ｆ（ｘ－ｐ）＋ｑと表わします。ｙ＝ｘ＾２　ならｙ－ｑ＝（ｘ－ｐ）＾２ｙ＝（ｘ－ｐ）＾２＋ｑですね。▽アルゴリズム(計算システム，計算のしくみ)で覚えてみましょう。座標平面をノートに書いて点Ａ（ｘ，ｙ）と点Ｂ（Ｘ，Ｙ）をプロットします。下のような関係になってます。Ｘ＝ｘ＋ｐＹ＝ｙ＋ｑ変形します。ｘ＝Ｘ－ｐｙ＝Ｙ－ｑこの時点でＸはｘに，Ｙはｙに戻します。お化粧直しを先にします。すると，ｘ→ｘ－ｐｙ→ｙ－ｑｙ＝ｘ＾２　→　（ｙに代わるもの）＝（ｘに代わるもの）＾２というアルゴリズムが現れます。ＥＮＴＥＲキーを押すと（ｙ－ｑ）＝（ｘ－ｐ）＾２になりますね。【例題】頂点（４，３）の次の二次関数を，ｘ軸方向に３，ｙ軸方向に－２だけ平行移動します。移動した後の二次関数の式は？　ｙ＝ｘ＾２－８ｘ＋１９(解法１)ｙ＝（ｘ－４）＾２＋３　に変形します。ｘ＋３＝Ｘｙ－２＝Ｙからｘ＝Ｘ－３　　(アルゴリズムを使うなら　ｘ→ｘ－３)ｙ＝Ｙ＋２　　(アルゴリズムを使うなら　ｙ→ｙ＋２)こうすれば，代入できますね。あとは，計算です。Ｙ＋２＝（Ｘ－３－４）＾２＋３Ｙ＝（Ｘ－７）＾２＋１お化粧直ししてｙ＝（ｘ－７）＾２＋１答えはｙ＝ｘ＾２－１４ｘ＋４９＋１　＝ｘ＾２－１４ｘ＋５０(解法２)単純に頂点だけで考えて，頂点（４，３）を代入します。(三次以上の関数には使えない解法ですが…。)ｘ＋３＝Ｘ　から　４＋３＝Ｘｙ－２＝Ｙ　から　３－２＝Ｙ　よってＸ＝７Ｙ＝１Ｙ＝Ｘ＾２が原型です。頂点が（７，１）になったので，Ｙ＝（Ｘ－７）＾２＋１お化粧直ししてｙ＝（ｘ－７）＾２＋１答え　ｙ＝ｘ＾２－１４ｘ＋５０

  2003.10.19

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その７＞

  ◎マックの中学数学雑記帳(比の積が使えますか？)　中学生で，比の積や商がうまく使えない子がけっこういます。　【設問】　　仕入れ値の２割のもうけをみこんで定価をつけましたが，　売れなかったので，定価の１割引きで売りました。利益は何％　になりますか。　　これは，算数の問題です。　　すぐに答えられないという人は，比の積を勉強し直しです。　このままでは高校入試に対応できません！　でも，今，気づいた人はもう大丈夫！しっかり，理解しておきましょうね。　【解説】　頭の中に四角形や線分をイメージしてみます。　算数・数学はイメージの力の勝負です。　割合は割合の世界の中で，足したり，引いたり，かけたり，割ったり　計算できます。スタート地点に条件がありますので，この点に注意　すれば，四則計算ができます。　　定価の割合は　１＋０．２　なので，　　仕入れ値×(１＋０．２)＝定価　…　(1)　　　　　●　×　▲　＝　■　　　　売り値の割合は　１－０．１　なので，　　定価×(１－０．１)＝売り値　　…　(2)　　　●　×　▲　＝　■　　　売り値＝定価×(１－０．１)　　　　　　＝仕入れ値×(１＋０．２)×(１－０．１)　　←(1)を代入　　　　　　＝仕入れ値×１．２×０．９　　　　　　　　　←　比の積　　　　　　＝仕入れ値×１．０８　　　　利益＝売り値－仕入れ値　　　　　＝仕入れ値×１．０８－仕入れ値×１　　　　　＝仕入れ値×０．０８　　答え　８％　慣れてきたら，　　　売り値＝仕入れ値×１．２×０．９　　　←　比の積　　　と，いっぺんに式が出てくるようになります。　このように計算できるのは，スタートが仕入れ値●で　固定されて(ｆｉｘｅｄ)いる，　言い換えれば，仕入れ値が●で一貫しているからです。◎平均と逆比の関係　　平均を逆比で解く問題の第２弾です。　　　【問題】　　ロレインさんは４回のテストの平均点が８８点でした。あと２回の　　テストで平均何点をとると，６回の平均点が９０点になりますか。　【解説】　面積図の解き方から。　４回のテストは平均より２点，へこんでいますね。　　　→　４×２　５回目・６回目のでっぱりが？ですね。？をａとおくと　 →　２×ａ　でっぱりの面積＝へこみの面積　４×２＝２×ａ　２×ａ＝４×２　ａ＝４　４＋９０＝９４　答え　９４点　　逆比を使うと，　回数の比４：２の逆比が，全体の平均点からの差の比で１：２　　　１：２＝（９０－８８）：ａ　１：２＝２：ａ　ａ＝４　４＋９０＝９４　答え　９４点　どちらも，基本の考え方は同じです。　まずは，次の式はいいですね。　平均点×回数＝得点　　●　×　▲　＝　■　　平均算の面積図は，でっぱりとへこみに注目して，次の式を使います。　全体の平均点からのでっぱり(へこみ)×回数＝でっぱり(へこみ)の点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●　×　▲　＝　■　◎高校数学メモ帳　昨晩，娘のカオリンと「二項定理の確率への応用」をやったときの　メモ書きです。所要説明時間…１５分間。＜二項定理と確率の関連づけのイメージ＞　樹形図が必ず２本ずつに分岐　→これが二項定理の最大の特徴　 パスカルの三角形をイメージしようスタートからゴールまでの物語　→　途中一部だけでは，使えない２つのグループに分けられるか？　→　分けられたら二項定理　例：コインの裏と表，サイコロの３の倍数とそれ以外…係数がｎＣｒ×確率が後ろにつく　→　二項定理でいっぺんに解く【実験】　コインを４回投げる　　　４枚とも表　４Ｃ１　　　　　　　　　　　○○○○　　　３枚が表　４Ｃ３　　　　　　　　　　　○○○●　　○○●○　　○●○○　　●○○○　　　２枚が表　４Ｃ２　　　　　　　　　　　○○●●　　○●○●　　○●●○　　●○○●　　　　●○●○　　●●○○　　　１枚が表　４Ｃ１　　　　　　　　　　　○●●●　　●○●●　　●●○●　　●●●○　　　０枚が表　４Ｃ０　　　　●●●●　　　　　　　　＜表の枚数Ｘ＝ｋのときの表＞　　Ｘ　　　　　　　　　　　ｐ　　　　　　０　　　　　　　４Ｃ０（1/2）＾４　　　　１　　　　　　　４Ｃ１（1/2）＾４　　　　２　　　　　　　４Ｃ２（1/2）＾４　　　　３　　　　　　　４Ｃ３（1/2）＾４　　　　４　　　　　　　４Ｃ４（1/2）＾４　　注）通常は下のように横書き。Ｘ　　　　０　　　　　　　　　　　１　　　　　　…─────────────────ｐ　４Ｃ０（1/2）＾４　　　４Ｃ１（1/2）＾４　　…　　　　　　　　　　　係数×確率　　ｎＣｋ×（１／２）＾４　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　(ｘ＋ｙ)＾ｎ＝ΣｎＣｋｘ＾ｋ・ｙ＾（ｎ－ｋ）　　　　　　　　　　ｋ＝０　　　において，ｎ＝４，ｘ＝１／２，ｙ＝１／２とせよ。これだけやっておけば，とりあえずだいじょうぶだとは思いますが…。

  2003.10.18

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その６＞

  ◎マックの数学雑感　　中学生で，一次方程式を学んだ子が，　　　３ｘ＝－２４　　を計算することは，とても簡単です。　　ところが，　　－２４＝３ｘ　　となると，とたんに分からなくなってしまう子がいます。　　　　ほかに，とちゅうによけいなステップを入れないと混乱する子がいます。　　この子のやり方は　　－３ｘ＝２４　　　←　よけいなステップ　　　３ｘ＝－２４　　と，ワンステップ多いのです。直すのが大変でした。　　　　小学校でマスターすべき計算のしくみを基本から理解した方がいいですね。　　基本からスタートです。　　●×▲＝■　　これを，左右反対にしても同じですね。　　■＝●×▲　　等号(＝)は，左右が等しいという記号なので，　　右と左を「せいの！」といっぺんにあべこべにしてもいいのです。　　　　みなさんは，だいじょうぶですよね。　　◎平均と逆比の関係　　平均を逆比で解くというのもあります。　　ここまでくると，面積図を知らないと，少し苦しいでしょう。　【問題】　　６０人がテストを受けました。男子の平均点は全体の平均点より　　２点低く，女子の平均点は全体の平均点より３点高かったそうです。　　男子の人数は何人でしょうか。　　【解説】　　平均はでっぱっているところと，へこんでいるところを平らにならす　　というイメージですね。　　全体の平均点からみて，男子は２点へこんでいます。　　女子は３点だけ出ています。　　(男子の人数)×２点＝(女子の人数)×３点　　ということは　　(男子の人数)：(女子の人数)＝３：２　　と，点数の逆比になります。図をかいて確かめましょう。　　比例配分を使って　　　　　　　　３　　　６０×───　＝３６　　　　　　　３＋２　　答え　３６人

  2003.10.17

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その５＞

  ◎こどもたちを教えていて気がつくことは，基礎的な知識が不安定ということです。考えてみれば当然の話で，新しい知識が定着するまでには，３０日は必要です。自分が中学生になったとして，三平方の定理をはじめて習います。原理は授業で分かりました。これを使って問題を解きます。簡単な問題集からはじめるでしょう。これで慣れてきたら，『高校への数学・レベルアップ演習』(東京出版)レベルの問題を１日１～２題ずつ解いて，力をつけていきます。これを３回繰り返せば，私立中堅高の入試にも対応できる力がつきます。重要な問題は，別冊に問題と解答を書いて，問題をみたら解答がイメージできる訓練もしていきます。ここまでで，最短１カ月です。そして，力がついたら，その力を維持するために，１カ月後，３カ月後と復習する時期を決めておいて，そのときに再復習します。本当の意味で定着するというのは，問題をいつ見てもすぐに解答できる，ということですが，こうなるまでには３カ月みないと本物かどうか判定できません。こういう学習の進め方が，ご自分でできるお子さんは，力をつけていきます。しかし，そういうお子さんは稀です。まわりでケアしてあげないと，分からないことが累積していって，勉強が嫌になってきます。優秀だけれど，学習法が悪いために成績が伸びない，というお子さんがとても多いのです。マックは，塾レベルの話ですが，基礎的な部分をしっかりとしたものにしようと，『森の学校通信』をきょうから始めることにしました。公式や大切な考え方を一行問題形式にして，こどもたちに隔日で発信していきます。この試みが効を奏するかどうか，１カ月後にレポートします。＜今日の目次＞　　１　逆比の話２　図形のエッセンス２５～ヒポクラテスの三日月の秘密◎逆比と面積の関係も有名問題ですね。【問題】２つの四角形Ａ，Ｂが一部だけ重なっています。重なっている部分Ｃの面積は，Ａの面積の２／５，Ｂの面積の３／４です。Ｂの面積はＡの面積の何倍になりますか。【解説】連比で解いてもいいですね。Ａ：Ｃ＝１：２／５＝５：２Ｂ：Ｃ＝１：３／４＝４：３です。　Ａ：Ｂ：Ｃ　５：　　２　　　４：３　15：８：６Ａ：Ｂ＝15：８＝１：８／１５答え　８／１５倍逆比なら，Ｃの面積を１とおいてＣ＝１　ならば　Ａ＝５／２Ｃ＝１　ならば　Ｂ＝４／３Ａ：Ｂ＝５／２：４／３＝15：８しくみは，こうです。　●×▲＝■　Ａ×▲＝Ｃ＝１　　→　　Ａ＝１／▲　　　Ｂ×△＝Ｃ＝１　　→　　Ｂ＝１／△　　Ａ：Ｂ＝１／▲：１／△Ｃが■になっているので，逆比が利用できます。【問題】プールでお父さんとこどもが同じ深さのところに立っています。お父さんは，身長の３／５が水面から上に出ています。こどもは，身長の１／３が水面から上に出ています。こどもの身長は，お父さんの身長の何倍になりますか。【解説】■はどこにあるでしょう。水面から下の部分ですね。お父さんは　１－３／５＝２／５＝▲こどもは　　　１－１／３＝２／３＝△ここから，先は同じ部分■を１と考えます。お父さん：こども＝１／▲：１／△＝５／２：３／２＝５：３　こどもはお父さんの身長の３／５倍ですね。答え　３／５倍◇図形のエッセンス２５◇１０／１６　　「ヒポクラテスの三日月の秘密」のお話です。　　図をかいてみると，イメージで覚えられますよ。　　　　これは，ギリシャの数学者，ヒポクラテスというおじさんが発見した　　定理です。(医聖のヒポクラテスとは別人です。)　　　　一番長い辺を下にして，直角三角形をまず書きます。　　直角をはさむ２つの辺を直径とする半円を三角形の外に描きます。　　半円Ａと半円Ｂができました。　　　　一番長い辺を直径とする半円を直角三角形を囲むように描きます。　　これを半円Ｃとしましょうね。　　　　半円Ａと半円Ｂと直角三角形を足して，　　そこから半円Ｃを引いてみましょう。　　　三日月が２つ残ります。これが，ヒポクラテスの三日月です。　　　☆ヒポクラテスの三日月の面積の求め方☆　　Ｓ＝半円Ａ＋半円Ｂ＋直角三角形－半円Ｃ　　実際に計算してみると，あらら不思議！　　ヒポクラテスの三日月の面積と直角三角形の面積が　　同じになってしまいました。　☆ヒポクラテスの三日月の面積のもうひとつの求め方☆　　ヒポクラテスの三日月の面積＝直角三角形の面積　　この求め方が，秘密だったんですね。　　※お家の方へ　　　ピタゴラスの定理によれば，　　　半円Ａ＋半円Ｂ＝半円Ｃ　　　ですね。　　　　　　Ｓ＝半円Ａ＋半円Ｂ＋直角三角形－半円Ｃ　　　　＝(半円Ａ＋半円Ｂ－半円Ｃ)＋直角三角形　　　　＝０＋直角三角形　　　　＝直角三角形　　☆ヒポクラテスの三日月の面積は，直角三角形の面積と　　同じになります。☆　　これを「ヒポクラテスの三日月の秘密」といいます。　　　　ピタゴラスの定理を知っている中学生以上のお子さんならば，　　　　「ヒポクラテスの三日月の面積＝直角三角形の面積」　　　をすぐイメージできるように，教えてあげてください。

  2003.10.16

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その４＞

  ◎きのうは，中間テスト対策番外編で，化学１(高校生)をやりました。お互いにクルミ語で話ができるので，速いです。(クルミ語とは，マックの塾で使う解法をいいます。)分子量を質量保存の法則で求める問題は，入試試験にもよく出てきます。メインは倍数比例の法則で，質量と分子量を関連づければ前半完了です。そこに，質量保存の法則をもってくれば一発で解答が出てきます。それにしても，化学にはクルミがいっぱい出てきます。とりあえず，たとえば　ａｍｏｌ／リットルの水溶液　と出てきたら，「水溶液１リットルにａｍｏｌが入っている。」と日本語に直してから式をつくっていきましょうね。小学生のみなさん，いま算数をしっかりとやっておけば，高校生の化学も解けるだけの実力がついてしまいますよ。算数は，科学を学ぶ基礎体力をつけてくれます。＜今日の目次＞　　１　逆比の話２　図形のエッセンス２４～円錐台の体積◎逆比で解く速さの問題をもうひとつ，やっておきましょう。【問題】ロレインちゃんは，坂道を上りは毎分８０ｍ，下りは毎分１２０ｍで往復しました。時間を計ったら，上りの方が３６秒多くかかりました。上りには何分何秒かかりましたか。また，坂道は何ｍありますか。【解説】時間は速さの逆比ですね。速さの比は　８０：１２０＝２：３時間の比は　３：２　になります。比の差３－２＝１が　３６秒　なので，　３×３６秒：２×３６秒　　上りには　３×３６＝１０８秒＝１分４８秒　かかりました。きょりは，　　　　　　４８８０×１──　＝１４４ｍ　　　　　　６０です。逆比をじょうずに使えば，あっという間に解けますね。◇図形のエッセンス２４◇　　円錐台，もとの円錐をつくります。　　相似比から体積比をつくります。　　差をとり，全体で割れば　　出ますね，円錐台の体積が。※図形のエッセンスは，次回でいったん終わります。

  2003.10.15

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その３＞

  ＜今日の目次＞　　１　逆比の話　　～速さの問題から２　図形のエッセンス２３　～おうぎ形の面積◎逆比がよく出てくる速さの問題をみていきましょう。【問題】片道１２ｋｍの道のりを往きは時速３ｋｍで歩き，帰りは時速６ｋｍで歩いてもどりました。往復の平均の速さを求めなさい。【解説】速さ×時間＝きょり　ですね。●×▲＝■逆比を使わないと，往きは　１２÷３＝４（時間）帰りは　１２÷６＝２（時間）往復で　２４÷(４＋２)＝４　　答え　時速４ｋｍとやりますね。逆比は，きょりがいくらかなんて問題にしません。往きも帰りも同じかどうかだけ，問題にします。今は，往復なので，往きも帰りも１とおきます。(１とおくのが，逆比の奥義です。)往きは　１÷３＝１／３帰りは　１÷６＝１／６往復で　２÷(１／３＋１／６)　　　　　　　　　２　　　＝───────　　　　　　　１　　　　　１　　　　　　　　──　＋　──　　　　　　３　　　　　６　　　　　　　２　　　　　　　　６　　　＝────　＝２×──　＝４　　　　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　──　　　　　　　６と計算します。逆比を知らないと，次のような問題で迷うかもしれません。【きょりの値がない問題】ある区間を，往きは時速３ｋｍで歩き，帰りは時速６ｋｍで歩いてもどりました。往復の平均の速さを求めなさい。【解説】ある区間としか書いてません。きょりが出てきません。でも，逆比を知ってしまったら，心配無用。逆比を使い，区間の道のりを１とおいて計算して完了です。時速３ｋｍの逆比→１／３　…　これが速さ時速６ｋｍの逆比→１／６　…　これが速さ往復の道のり→２計算は，前の問題と全く同じです。答え　時速４ｋｍマックの塾では別解法で，よりエレガントに解いています。でも，こどもたちには，逆比という概念は理解してもらっています。◇図形のエッセンス２３◇　おうぎ形の面積は　　　半径×弧の長さ÷２　　でも出てくるよ。　　三角形の公式に似てるので，覚えやすいかもね。〔解説〕　おうぎ形の面積は面積＝半径×半径×円周率×中心角／３６０　　(1)一方，おうぎ形の弧の長さは弧の長さ＝半径×２×円周率×中心角／３６０　　(2)(2)を(1)に代入します。面積＝半径×半径×円周率×中心角／３６０＝半径×２÷２×半径×円周率×中心角／３６０＝半径×２×円周率×中心角／３６０×半径÷２＝（半径×２×円周率×中心角／３６０）×半径÷２＝弧の長さ×半径÷２＝半径×弧の長さ÷２円の面積は半径×半径×円周率＝半径×直径×円周率÷２＝半径×（直径×円周率）÷２＝半径×円周の長さ÷２ふたつ並べてみると，おうぎ形の面積は　　半径×弧の長さ÷２円の面積は　　　　　　半径×円周の長さ÷２ふたつ並べてみると，とてもよく似ていますね。※お家の方へ　　円の面積の出し方を教科書で再確認しておきましょう。　　　　トイレットペーパーを使う実験です。　　半径までカッターで切って，左右に広げ，　　半径を高さ，円周を底辺として，三角形に変形して　　面積を求めます。　　円の面積は，「半径×円周の長さ÷２」になりますね。　　(近似値の世界ですが，高校生までは，この形での理解が　　おすすめです。)

  2003.10.14

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その２＞

  ◎昨日の昼間，海岸を歩いたら，国道は車で渋滞していました。３連休なので，伊豆・箱根方面の行楽客で大混雑です。土産物屋が並ぶ江ノ電江の島駅の通りも，にぎわっていました。ところで，江ノ電江の島駅の改札を出たところに，売店があります。その前に，ガチャポンの器械が２台置かれています。はじめて気がついたのですが，１台の方は，江ノ電の電車グッズが出てくるのです。かわいい江ノ電の電車が出てきます。マックも買いたくなりましたが，恥ずかしいので，がまんして帰ってきました。日本全国，ここだけしか売っていないグッズかもしれませんよ。＜今日の目次＞　　 高校生カオリンからの質問　逆比の話　図形のエッセンス２２◎二次関数の頂点を求めるのに，高１でも微分を使ってもいいか，という質問が，娘のカオリンから出ました。クラスの中でも，何人かは微分を使っているといいます。テストのときに使っていいものかどうか…こういう質問なのですが，洒落の分かる先生ならだいじょうぶです。しかし，先生に確認しておいた方が安全ですね。教えていない範囲を使ってはいけない，という先生が多いです。といっても，高１の段階で，高２・３の勉強に進んでいる人が多い(特に私立の中高一貫教育組)のも現実ですから，これは大学入試で，大学レベルの数学を使っていいかどうかと同じで，悩ましい問題です。分かって使っているかどうかが一番重要な問題ですが。二次関数の最大値・最小値も，微分を使った方が簡単に解けたりします。それを二次関数の形だけで判断する高１の解法は，スマートさに欠ける場合があります。逆に，微分をわざわざ使わなくても解ける問題は，シンプルに高１の解法によって解くのがスマートな場合も多いです。実験です。ｙ＝３ｘ＾２－１２ｘ＋３　(1)の頂点を求めます。微分を使う解き方から…ｙ＝ｆ（ｘ）とします。ｘについて微分します。ｙ’＝６ｘ－１２＝０　より　ｘ＝２これを(1)に代入してｆ（２）＝３・４－１２・２＋３＝－９答え　（２，－９）シンプルなやり方の場合…ｙ＝３ｘ＾２－１２ｘ＋３　＝３（ｘ＾２－４ｘ）＋３＝３（ｘ＾２－４ｘ＋４）＋３－１２＝３（ｘ－２）＾２－９答え　（２，－９）どっちがいいですか？マックは下の方が感覚的には好きです。シンプルさが，たまりません。係数が合っているかどうか程度は，微分で確認してますが…。◎逆比の考え方に，少し慣れましたか。きょうは，パワフルな使い方の例をみてみましょう。【問題】持っているお金すべてを使って，１冊６０円のノートを買うと，１冊８０円のノートを買うよりも１５冊多く買えます。お金をいくら持っていますか。【考え方】持っているお金すべてがクララ■ですね。■を求めなさい，という問題です。ノートの値だんの比は６０：８０＝３：４買える冊数はその逆比ですから，４：３比の差は　４－３＝１比の１が１５冊にあたります。ノートの冊数は４×１５：３×１５＝６０冊：４５冊６０円のノートが６０冊なので，６０×６０＝３６００円　…　クララ■答え　３６００円▽何が逆比になっているか，それが分かると，後は簡単。　　逆比による解法は，切れ味がいいですね。◇図形のエッセンス２２◇　　きのうの円柱を四角柱にしたら，どうなるの？　　こういうそぼくな疑問が出てきたきみは，素質があります。　　きょうは，円柱の代わりに，四角柱。　　　　斜めに四角柱を，ある平面でカットしたときの体積を求めます。　　切り口で，対角線と対角線をぶつけると，ちょうど真ん中で交わって　　そこで，高さがいっちします。　　それを四角柱の高さとみなし，　　底面積とこの高さをかければ，立体の体積が出てきます。　　　　断面の四角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。　　点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの高さをそれぞれａ，ｂ，ｃ，ｄとしましょう。　　すると，ａ＋ｃ＝ｂ＋ｄ　という関係が出てきます。　　高さは，(ａ＋ｃ)／２＝(ｂ＋ｄ)／２で求めます。　　入試問題で，ときどき出てきますよ。　　底面積とａ，ｂ，ｃが分かっていて，ｄと体積を求めなさい，という問題です。　　　　ようかんがあったら，お家の人に断って，斜めに切ってみましょう。　　切り口のところで合わせれば，もとの四角柱にもどりますね。　　この公式，もしかしたら，ようかんを切っているときに考えついたのかも。　　※三角柱の場合は，切り口の重心から底面までのきょりを　　　　高さとみなして，底面積×高さ＝体積とやります。　　　　高さは，（ａ＋ｂ＋ｃ）／３で求まります。　　　　しかし，このやり方は，確認のために使いましょう。　　　　苦労して，体積を求める作業も必要です。

  2003.10.13

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• 反比例（逆比）を知らない小学生の方へ＜その１＞

  ◎新指導要領では，小学校で反比例（逆比）を習わなくなりました。逆比はとてもパワフルです。しかも，考え方や問題としては，出てくるのです。それを反比例の関係とか，逆比とか断っていないだけで，実際にはあつかっています。あつかうのが自然だからです。いつも，ここからスタートですね。魔女のモニカの●と，魔法のつえの▲と，クララの■に登場してもらいます。●×▲＝■この式で，クララ■がいつも同じ量のときに，●と▲は反比例の関係にあるといいます。小学生のみなさんは，学校でこの名前を，参考程度には聞いているかもしれませんね。反比例の関係の例をみてみましょう。四角形の面積を一定にして，たてと横の長さを変えていくというのが，典型的な反比例の関係ですね。■＝２４ｃ㎡　としましょう。●×▲＝２４　となるような●と▲の組をさがしてみましょう。たて×横＝面積１×２４＝２４２×１２＝２４３×８＝２４４×６＝２４６×４＝２４８×３＝２４１２×２＝２４２４×１＝２４整数だけでもこれだけありました。イメージとしてはたての長さが増えていけば，横の長さは減る。面積はいつも一定，変わらない。片方が２倍，３倍と増えていくと，もう一方は１／２倍，１／３倍と減っていく。こういった例は，いっぱいありますね。１個のケーキを食べるのに，人数とひとりあたりの取り分の関係。１０００円持ってノートを買いに行ったときの，１冊の値だんと買えるノートの冊数の関係。家の近所の公園に行くときの，速さと時間の関係。かみ合っている歯車の歯の数と回転数の関係は，教科書にもよく出てきました。面積図にも，逆比(反比例)はいっぱい出てきます。逆比を使えないと，面積図を利用できないのです。へいきん算の面積図，食塩の面積図をみてください。面積のたて，横で逆比の関係を使っていますね。つるかめ算…面積図で解かないと時間がかかりますね。食塩の天びん算も，逆比。そういえば，理科の「てんびん」も逆比の関係でしたね。逆比で考えると，計算の量が減ります。難問は，逆比で解かないと解けないものがあります。次回から，逆比の実際の問題をみていきましょう。◇図形のエッセンス２１◇　　斜めに円柱をカットした体積を求めます。　　　　円柱を（水平ではなく）斜めにカットしたときは，　　高さの一番低いところと，一番高いところをまずたして，　　つぎに２で割りましょう。　　これを高さとみなせます。　　あとは，底面積×高さ＝体積　ですね。　　　　　　　　●　×　▲　＝　■　　　(切り口はだ円形になっていますよ。)　

  2003.10.12

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• 数学の公式について

  ◎このところ，質問続きで，マックはとてもうれしいです。塾では，受験組にはっぱをかけています。みんな，やる気になってきます。毎回確認テストをやりながら，理解と定着の状況をチェックしています。ほんとは，毎日チェックしてあげられればいいのですが，マックも体がひとつしかないので，それもできず，励ましの電話を入れたり…。受験の日までこういう日々が続きます。一方，公立進学組は，のびのびとやっています。『クルミと森のなかまたち』を知っているので，教えるマックもとても楽です。６年の子は，そろそろ中学数学の準備に入ります。文章問題を方程式と並列していきます。そして，関数は旅人算の応用として理解し，場合の数は順列や組合せの公式へと発展させた算数ゲームをやります。◎数学の公式について，書いておきます。結論は，パワフルな公式をマスターしようというものです。それでは，はじまり…。数学の世界では，マックもみなさんと同じ経験をしてきています。みなさんと同じように悩んで，同じように理解できなくて，とことん考え抜いた夜もありました。それで，質問があると，みんな同じなんだなーと，親近感を覚えます。さて，公式ですが，数学に出てくる公式集，実際，参考書や問題集の裏表紙にぎっしりと印刷されている式を見ると，こんなにいっぱいやってるんだ，と驚きます。でも，ふだん使っているときはほとんど意識の上にないです。公式は，食事を例にとると，箸の使い方や作法です。おいしいごちそうは問題そのものであり，問題が解けたときの快感は，おいしいです。箸の使い方は知っておかなくてなりません。しかし，箸の握り方，動かし方などで手間取ると，せっかくのごちそうが冷めてしまいます。昔から，「たかが公式，されど公式」などといわれています。あるいは，水泳のたとえ…泳ぎ方を習っても，実際に泳がないと，畳の上の訓練で終わってしまいます。プールだけで慣れてもだめです。マックの家から５分ほど歩くと，海岸に出ます。マックはこどものころ一度，溺れかけました。潮の流れで沖へ沖へと流されていくのです。プールで覚えただけではだめということを，身をもって体験しました。ほんと，恐かったなー…。公式も，いろいろな場面で使ってみないと，溺れてしまうこともあるでしょう。紙の上のことだから，それで死ぬことはありません。それなら，思い切り体験してみましょう。マックも数学の世界でなら，どんな冒険でもできます。臨界点というのがありますね。世界的な問題の人口爆発も，あるとき，この臨界点を越えてしまったわけです。それまでは，問題にならなかったのです。何で，こんな例を出したかというと，数学を勉強していると，何回か，自分の能力が臨界点に達するときを経験するからです。壁を越えると，見晴らしが急によくなるという，限界点突破，つまり，ブレイクスルーです。これを経験するための学習方法のこつは，☆簡単な問題は一切やらない☆ということです。(※公式を確認するときは逆で，できるだけ簡単な問題の方が，頭の中でイメージしやすいし，定着します。それこそ，１や２という数をつかって確認です。)自分の実力よりややむずかしい問題のみをやるようにします。１０分考えて，解けなかったら答えを見ます。そして，納得できら，もう一度，答えを見ないで解きます。それでも途中でつまったら，つまったところが目下のウィーク・ポイントであると分かりますね。公式や基本的概念にさかのぼって整理して，出直しです。このやり方を続けると，頭が鍛えられ，あるとき，ブレイクスルーします。頭は刺激を強くしてあげると，それに対応して働きます。筋トレと同じです。しかも，筋トレの場合，過激にやると筋肉や骨を痛めますが，頭の場合は骨折したりしません。程度問題で，あまり過激なのもよくありませんが。公式は覚えている方が計算などは速いです。しかし，これもたとえで…たとえのオンパレードですね…英単語を一語一語意識したり，英文法のこれは形容詞節で，これは副詞句で，ＳＶＯＣ…，などとやってると，英文を読む流れが断絶されてしまい，読むスピードが落ちます。ペーパーバックスを読んでいるときは，後ろに戻らない，と決めて読んでいますが，こうでもしないと１ページを読むのに，何分もかかってしまい，読む気がしなくなるのです。公式もそのレベルで，流れの中で覚えておくというのでしょうか，公式だけを取り出して，覚えるやり方は，疑問符がつきます。英語でいえば，単語帳で語句を覚えるよりも，実際の英文の中でめぐりあったときに，そのつど覚えたほうが，使える英単語，パワフルな英単語を身につけられるというのと同じです。パワフルな公式を覚えましょう。そして，覚えるときは，イメージしやすいように図や表にして，覚えにくければ☆自分の言葉に直して☆覚えましょう。それでも忘れたら，また，問題を解く際に，覚えればいいのです。人間だから忘れます。忘れたら，公式を出すプロセスをさかのぼり，思い出してみたりも，してください。▽できるだけ具体的に掲示板に書いていただけると，マックもより具体的にお答えできます。質問・疑問，何でも書いてください。◎前回のパズルの答えから。３枚の玉子焼きの表をＡ，Ｂ，Ｃとして，それぞれの裏をａ，ｂ，ｃとします。最初の３０秒　Ａ，Ｂ次の３０秒　　ａ，Ｃそのまた次の３０秒　ｂ，ｃ　答えは　１分３０秒お料理にも，算数は使います。というより，お料理には，けっこう頭を使います。みなさんのお母さん，お料理しながら算数をやっているんですね。裁縫も，図形のしきつめ問題そのものですね。料理も，裁縫もできる人は，算数が分かっているのです。　　◇図形のエッセンス２０◇　　円錐２つが底面でくっついてたら，　　まとめて長い円柱１本つくり，　　最後に３分の１にしましょうね。　　　　別々に求めるのは，とても効率が悪いですね。　　

  2003.10.11

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• 数学嫌いの中・高生の方へ

  ※「算数パズルで頭の体操」の「答え」も掲載しています。　◎昨夜の見回り隊は，およそ１時間３０分とかなり歩きました。メンバーの一人が明日，健診があるので，脂肪を燃焼させるといって，がんばったので，つき合いました。ふだんから，気をつけないといけませんけれど，ね。でも，歩くと頭の中がすっきりします。やる気も出てきます。特に，受験生のみなさんは，運動不足になりがちなので，意識して歩いた方が，頭のためにもいいですよ。マックは歩きながら，いろいろと頭の中を整理します。談笑しながら，いいヒントをもらったりします。机の前でじっと座っていると，考えが枯渇してきます。そういうときは，リフレッシュです。◎マックの教育放談　「数学嫌いの中・高生の方へ」▽数学はつまらない，嫌い，と感じている中・高生がいっぱいいます。楽しい，好きという中・高生は，少数派マイノリティです。学校の数学がつまらない原因のひとつは，項目が細分化され過ぎているから，といえます。数学嫌いの人の心理を追ってみましょう。　山登りしていて，いきなり，右のルート，左のルート，さては中央突破　と，次々と難路を切り抜けて行かなければならない。　そのあげく，迷路に迷い込み，果てしのない砂漠を歩いているような　無感覚なわたしの世界。　無機質な新しい概念が，次から次へと押し寄せてきて，息が苦しい。　もうやめてくれー…。おそらく，こんな状態ではないでしょうか。オーバーに書き過ぎましたが，自己防衛上，数学に無関心にならざるを得ないという中・高生が数多くいることは，周知の事実です。このような中・高生の方にお奨めしたい方法を，今回はニ，三紹介します。▽奇策ですが，図書館にもおいてある(と思われる)簡単な数学史を一度，読んでみてはいかがですか。新書版でもいいと思います。肩の力を抜いて，気楽に読みましょう。数学者というのは，けっこう一途で，情熱的で，不器用で，こんな生身の人間たちが悪戦苦闘して，数学の世界を築いてきました。そうした数学者たちの思いに触れると，今までかわいくないと思えていた数学に，少しは愛着が出てくるかもしれませんね。人を介すると，数学(物理・化学も同じ)は，無味乾燥の世界から，いろいろなドラマに彩られた世界に変わってきます。そして，親しみがわいてきます。さらに，副産物として，みなさんの頭の中に個々にインプットされているさまざまな公理や体系が，相互にリンクされてきます。ばらばらだった概念が，有機物のようにまとまってくるのです。これを体系化といいます。▽さて，少しでも興味が出できたら，さっそく，自分の得意なフィールドをつくりしょう。開拓するのです。フロンティア・スピリットです。これには多少の努力が必要ですが，たとえば関数を征服しようと思ったら，青チャートレベルの問題をすべてマスターしてしまうという作戦です。(赤チャートまで進めたら，なおグー，ベターですね。)マックは高校生のときに，数学がみえた瞬間に出会いました。『大学への新数学Ⅰ』で，二次曲線の征服作戦をやっていたときのことです。円と直線の解を調べる解法がやっと理解でき，目から鱗が何枚も落ちました。一条の光が刺し込んで，世界がぱーっと明るくなりました。数学ってこういうことだったのか，と感激したことを，今でもよーく覚えています。自分だけの解法を編み出すと，もっといいですね。これは，とてもスリルがあって，おもしろいのです！解法ができたら，それを使って，いろいろな問題にあたり，自分のつくった解法の有効性を確かめます。やがて，少しずつ解法が洗練されてきます。数学の美的感覚に触れられる一瞬がくるかもしれません。これは冒険という感覚に近く，ワクワクしてきます。こうして，自軍の陣地を少しずつ増やし，数学の世界に入っていくのが，自然なスタイルです。▽式や記号を，友だちに説明するように，日本語に直して，声にだすことも有効な作戦です。これはけっこう大変です。マックは，これで学生時代に鍛えられました。この訓練は友だちとやるといいかもしれません。人に教えるという作業を通じて，理解の度は増します。日本語に翻訳できるということは，理解している証拠です。逆に，翻訳できないというのは，未消化ということなのです。以上です。参考になったでしょうか。◎前回のパズルの答えから。【パズル１の答え】(1)３リットルのびんで，１回，２回と５リットルびんに水を入れると　　５リットルまでしか入らないので，　　１リットルの水が３リットルびんに残りますね。(2)５リットルびんの水を全部捨てます。(3)空になった５リットルびんに，　　３リットルびんに残っている１リットルの水を入れます。(4)次に，３リットルびんに水をいっぱい入れて，５リットルびんに　　入れると，４リットルの水になった！※１リットルから８リットルまで，全部つくってみましょう。　　デシリットルに換算して，牛乳パックで１回実験しておくと，　お子さんの算数力，つまりイメージする力が伸びますよ。　算数もできることなら，実際に体験する方が，頭のためにいいです。このバリエーションとして，次のような問題があります。【パズル１－２】３つのかめがあります。牛乳が８リットル入っているかめと，５リットルまで入るかめ，そして３リットルまで入るかめです。８リットルの牛乳を４リットルずつ半分に分けたいのですが，あなたならどうする？【パズル２の答え】マックの日記を読んだ人は，どこかで見たことのある問題？と気づかれたと思います。金貨の問題は２進法でした。今回は，３つの分銅なので，３がらみ。３つで１３までの数ときたら，３進法，ってぴんとくるかも…。１＋３＋９＝１３ぴんとこなくても，心配ないです。１からスタートして，しらみつぶし作戦あるのみです。最初から見ていきましょう。「＝」の左辺が，量りたい木苺の重さです。１ｋｇはいいですね。２ｋｇ＝３ｋｇ－１ｋｇ　　右に３ｋｇの分銅，左に１ｋｇの分銅と２ｋｇの木苺です。　　それで，３ｋｇの分銅が必要なことがわかります。３ｋｇはそのまま使えます。４ｋｇは１ｋｇと３ｋｇをたせばいいですね。５ｋｇ＝９ｋｇ－(１ｋｇ＋３ｋｇ)６ｋｇ＝９ｋｇ－３ｋｇ７ｋｇ＝９ｋｇ－３ｋｇ＋１ｋｇ８ｋｇ＝９ｋｇ－１ｋｇ９ｋｇはそのまま使えます。10ｋｇ＝９ｋｇ＋１ｋｇ11ｋｇ＝９ｋｇ＋３ｋｇ－１ｋｇ12ｋｇ＝９ｋｇ＋３ｋｇ数を分解していけばいいのです。２進法，３進法は受験でもよく出てきます。答え　１ｋｇ，３ｋｇ，９ｋｇ【パズル３の答え】１回に１０ｃｍずつ進みますね。てっぺんに着いたとき，どこの高さからジャンプしたかな。結論から逆算する方法は，けっこう有効です。２００－３０＝１７０ｃｍのところからですね。１７０÷１０＝１７回１７回目のジャンプで１７０ｃｍの位置に着きます。次のジャンプでてっぺんに着いた！答え　１８回目【パズル３－２】※１回のジャンプで５０ｃｍとび，２０ｃｍずり落ちる場合は，　何回目のジャンプでてっぺんに着くでしょう？【パズル３－２の答え】　１回のジャンプで５０－２０＝３０ｃｍ上にいきます。　最後は１５０ｃｍのところから，ジャンプです。　１５０÷３０＝５回　だから，６回目にてっぺんにタッチ。確かめてみましょう。　そして，今度は，きみが問題をつくって，　お父さんやお母さんに問題を出してみよう。　きみからのチャレンジだ。◎算数パズルの追加です。【パズル４】玉子焼きを３枚つくります。片面が焼きあがるのに３０秒かかります。でも，フライパンは２つしかありません。一番時間をかけずに３枚つくるとすると，何分何秒で，できますか。(答えは明日，掲載します。)◇図形のエッセンス１９◇１０／１０　　直角三角形　　　直角以外の他のニ角　　　　 足したらいつも９０°だね！

  2003.10.10

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• 算数パズルで頭の体操　＜小学２～４年レベル＞

  ◎たまには，パズルでもしてみよう。算数の力をつけるためには，算数パズルがとてもいいです。むずかしい公式を使わずに解けます。今回は，低学年から４年生までの小さなお子さん向けです。お家の方も挑戦してください。【パズル１】５リットル入るガラスびんと，３リットル入るガラスびんが１つずつあります。４リットルの水がほしいのですが，どのように量ればよいでしょうか。【パズル２】少年のロビンがたった3つの分銅と天びんを持って，木苺を売りに町の市場に出かけました。はんぱのない重さなら，これで１ｋｇから１３ｋｇまで全部量れます。ロビンが持って出た3つの分銅の重さを，それぞれ求めなさい。【パズル３】カエルのぴょん太が水でぬれている岩山を登りはじめました。１回に３０ｃｍジャンプして，２０ｃｍずり落ちます。(かわいそー。)岩山の高さを２ｍとすると，何回目のジャンプでてっぺんに着きますか。(答えは明日の日記に掲載します。)◎マックの教育コラム　文章問題が苦手という中学生が急増している，という話を聞きました。文章問題を解くためには，まず国語の読解力が必要です。注意深く，何を求めるのか，式の組み立てに使う数や文字がどこにあるか，読み解いていきます。解法の手順が少しずつ浮かんできます。次に，文章を式に直すという組み換えの作業が入ってきます。このとき，図や表などをかいて，正しく立式します。それから，式を解き始めるプロセスに入ります。このプロセスでは，必要・十分条件をチェックしながら正しく進めなければなりません。(特に高校生は必・十が生命線！)シンプルに表現するならば，等式の左右は本当に＝になっているか，論理の飛躍がないか，など落とし穴に注意して進みます。いろいろな能力が要求されますね。しかし，基本は●×▲＝■です。●，▲，■が正しく使えれば，文章題の立式や計算が楽です。●×▲＝■　は，小→中→高と一貫して使います。とりわけ，●のあつかいが，キーポイントになります。単位量の●，魔女のモニカの●です。◇図形のエッセンス１８◇　　直径とおる三角形は　　いつも直角三角形　　　中心角が１８０°だから，その円周角は９０°　　　二等辺三角形を２つつくっても，分かるよね。

  2003.10.09

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• 特集　中学数学・証明の基礎(その２)

  ◎ここのところ，４日連続で夜の散歩に出かけています。きのうの夜はいちだんと寒かったですね。しかし，おしゃべりしながらの１時間はあっという間。海辺の街は，夜になるととても静か。耳を澄ますと，潮騒の音が聞こえてきます。(マックは旅行が好きなのですが，潮騒が聞こえてこない土地では，静か過ぎて，なかなか寝付けません。シーンという感じで耳が鋭敏になり，かえって眠れないのです。それで，いつも困っています。)散歩は，１時間コースだと，江ノ電の江ノ島駅のところでＵターン。そこから片瀬川をさかのぼり，川沿いに歩いてきます。仲間に，来年成人式というお嬢さんも初参加。ちょっと華やいだかな。と，これは，ほかの仲間には内緒…。◎きのうに続いて，証明の基礎シリーズ，第２弾です。マック「次の問題で，仮定とは何か考えてみよう。カオリン，どう？」【問題】四角形ＡＢＣＤは平行四辺形で，２つの対角線の交点をＯとする。また，Ｏを通り、ＢＣ，ＡＤと交わる点をそれぞれＥ，Ｆとする。このとき，ＢＥ＝ＤＦとなることを証明しなさい。カオリン「スラッシュ／を２行目の一番最後に入れて，まず，『四角形ＡＢＣＤは平行四辺形』というのは仮定。あとは…仮定はこれしかないわ。」マック「そうだね。仮定のところで，証拠物件として提示できるのは平行四辺形ということだけ。」カオリン「これ以外の候補でＯＥ＝ＯＦが仮定になるかどうか，検証(テスト)してみましょ。」マック「平行四辺形の対角線の交点Ｏをとおる直線は，点Ｏで２等分される，という定理はないよ。だから，この命題は証明が必要なんだ。」カオリン「ほかにＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣなど，平行四辺形の定理も候補にあがるけれど「」マック「どんな定理を証明の中で使うか，まだ分かっていないので，定理を仮定に入れる必要性，必然性がないんだ。証明していくうちに，この定理を使うといいと分かるよね。そのときに，これは定理だけれど，この定理をこれから使いますよって，断り書きすればいい。」カオリン「もうひとつ四角形ＡＢＣＤは平行四辺形の代わりにＡＢ//ＤＣ　ＡＤ//ＢＣ　と表してもいい？」マック「ＡＢ//ＤＣ　ＡＤ//ＢＣ　と書く必然性はあるのかな？四角形ＡＢＣＤは平行四辺形，としておいた方が４種類の平行四辺形の定理を，すぐに使えるね。よほどのことがない限り，問題文をそのまま素直に書いた方がいいね。」カオリン「結局，『仮定』は，問題文を白紙状態で素直に読んで，そこからすぐに読み取れることだけに限定する，ということね。」マック「そう，だれでもがすぐに，簡単に読み取れる情報だけを，問題文からそのまま拾い出すという作業だね。できるだけ，シンプルにね。」【問題の答え】仮定　四角形ＡＢＣＤは平行四辺形。結論　ＢＥ＝ＤＦ　証明　△ＢＯＥと△ＤＯＦとで　　　　仮定より，四角形ＡＢＣＤは平行四辺形。　　　　平行四辺形は対角線が互いに他を二等分するので　(←定理を使う)　　　　ＢＯ＝ＤＯ　　(1)　　　　また，仮定よりＡＤ//ＢＣ。錯覚は等しいので　　　　∠ＥＢＯ＝∠ＦＤＯ　(2)　　　　さらに，対頂角は等しいから　　(←定義だけれど，仮定に入っていない　　　　　∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ　(3)　　　　　　　　　　　　　ので，一応断り書きする。)　　　　　　　(1)(2)(3)より，一辺とその両端の角が等しいので，　　　　△ＢＯＥ≡△ＤＯＦ　　　　∴ＢＥ＝ＤＦ　　（証明終わり）◎証明の基礎シリーズ，図がないまま説明しているので，分かりにくいかも。問題集で何問か試してみてね。仮定や結論は，さらっと書くのがコツですよ。図と仮定と結論だけで証明できれば，仮定に漏れはないはずです。逆に，問題文までもどらないと証明できないなら，仮定で何かが漏れています。こういう感覚がつかめてきたら，証明問題は苦手ではなくなります。いろいろな問題で実践してみてくださいね。◇図形のエッセンス１７◇　　円周角は，中心角の半分だよ。　　円をかいて，二等辺三角形をつくって，たしかめよう。　　※円周角は，中学３年で習う箇所ですが，　　　このレベルは中学受験の常識というか，　　　分かりやすい定理ですね。

  2003.10.08

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• 特集　中学数学・証明の基礎

  ◎証明って，ギリシアのプラトンの時代からあって，議論で自分の主張を論証したり，相手の主張を打ち負かしたりという弁論に，さかんに使われていました。その伝統を受け継ぐ英語の世界は，まさに，論証，証明の世界です。日本語を英語に翻訳するときに，分かります。日本語は何てあいまいなのか，とびっくりします。それに比べて，英語は，もちろん情緒的な世界もありますが，基本的に，数式の世界です。はっきりしています。結論も明確です。英語の強い人は，数学的思考になじみやすい頭脳をもっているといえます。あとは，興味や関心の程度です。◎それでは，森の学校の始まりです。マック「きょうは中学生バージョンで，証明の話をしてみたいので，カオリン，きみの出番だよ。」カオリン「中学生の頃，私も定義や定理を覚えるのに苦労した覚えがある。基本から入っていかないと，何を自分はしているのか，だんだんわからなくなってくるのよね。」マック「基本にもどろう。縄文時代にもどろう。証明は，命題から始まるのさ。(なぜか，軽いのり)この命題を意識すると，仮定→結論のしくみが見えてくる。」カオリン「命題，英語ではproposition…提案するというproposeの名詞形ね。」マック「この命題とは，何か。ここからはっきりさせとこう。☆”命題” とは　”客観的に判断できるもの”　をいいます。カオリン「判断までがセットになっているのが，命題ね。具体例を出しておきましょうね。」命題：地球はひとつである。　→　真　　　　万人が客観的に判断できるものから，命題になっている。　　　　そして，ひとつしかないから，正しいといえる。だから「真」。？　：角のラーメン屋はうまい。　　　　うまいかどうかは主観的問題。客観的な判断は下せない。　　　　「真」とも「偽」ともいえない。　　　　したがって，これは命題ではありません。カオリン「その命題は正しい→真　　　　　　その命題は正しくない→偽　　　　　　真と偽をはっきりさせられるものが命題ね。」マック「３は奇数である，というのも命題。判断ができる文になっている。証明に出てくる命題は，推論型命題といって，ｐならばｑであるというスタイルになっている。そして，ｐを仮定，ｑを結論と呼ぶ。カオリン，推論型の命題の例を挙げてみて。」カオリン「たとえば，こんなのがあるわ。３つの連続した整数の和は，３の倍数である。教科書に載っている　ｐ→ｑ　で分けてみると３つの連続した整数の和　　　　　　　が　　　　ｐ　(仮定)３の倍数　　　　　　　　　　　　　　　　　が　　　　ｑ　(結論)ということよね。」マック「この命題を証明してみよう。」仮定　　３つの連続した整数を　ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２　とおくと，　　　　　　　和は　ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）　と表現することができる。　結論　　ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）　は３の倍数である。証明　　ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）＝３ｎ＋３＝３（ｎ＋１）　　　　　　仮定より，ｎ＋１　は整数なので，　　　　　３（ｎ＋１）　は確かに，３の倍数である。マック「定義と命題の区別もしておこう。次の文は定義？それとも命題？」『２組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という。』カオリン「これは，そういう性質をもった四角形を何て呼ぼうか。そうだ，平行四辺形と呼ぶことにしようっていうのりだから，定義ね。」マック「定義だから，証明のしようがない。あんたがそういう名前つけたんだから，責任とってよ，と居直れる。だから，堂々と使っていい。」カオリン「すごい表現ね。」マック「これくらいの方が忘れないからね。次は，定理。」カオリン「定理は一回証明してみて，本当＝「真」であることが分かっている命題で，試験のときは，いちおうお断り書きを書いてからなら，どんどん使っていいのよね。」マック「そういうこと。ちゃんと断ってから，ね。」例：四角形ＡＢＣＤは平行四辺形なので，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣカオリン「仮定ｐと結論ｑの間に入ってくるのが証明でしょ。この書き方が先生によって違ってくるわ。」マック「証明の途中で仮定ｐを考えたりすると，漏れが出てくるから，ちみつ兼実用的な書き方は，仮定ｐ　→　結論ｑ　→　証明の順がいいと思うよ。」カオリン「まず，問題文＝命題を　ｐとｑ　に分けなさい，ということね。」マック「そうだね。問題文を／で，仮定の部分と結論の部分に分けること！」カオリン「例を出しましょう！」【問題】四角形ＡＢＣＤで，２つの対角線の交点をＯとする。このとき，ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯならば，ＡＢ//ＤＣ，ＡＤ//ＢＣを証明しなさい。カオリン「まず，／を入れましょう。ならば，／　になったわ。前半の仮定と後半の結論をまとめると…」仮定　　ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ結論　　ＡＢ//ＤＣ，ＡＤ//ＢＣマック「次の問題はどう？」【問題】平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上に，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，ＨをＡＥ＝ＣＧ，ＢＦ＝ＤＨとなるようにとる。このとき，四角形ＥＦＧＨは平行四辺形であることを証明しなさい。カオリン「スラッシュ／は，三行目の『となるようにとる。／』に入るわ。　」仮定　　四角形ＡＢＣＤは平行四辺形　　　　　ＡＥ＝ＣＧ，ＢＦ＝ＤＨ結論　　四角形ＥＦＧＨは平行四辺形マック「ここまで準備してから，証明がスタートし，途中で，　　仮定より四角形ＡＢＣＤは平行四辺形なので，　∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ　　と断り書きを入れて，２組の対角がそれぞれ等しいという定理を使えばいいね。」カオリン「四角形ＡＢＣＤは平行四辺形　という仮定は具体的にＡＢ//ＤＣ，ＡＤ//ＢＣって書けるときは，そう書けばいいのよ。」マック「でも，定理を証明の途中で使うときは，断り書きが必要だね。」カオリン「説得のテクニックね。相手が納得するように，ていねいに話を進めていく。反論されないように，証拠をあげていく，みたいな…。」マック「魔法のテクニックもあるけれど，これはまた，別の機会にしよう。」カオリン「結論から，何を証明するのか見つけるという，アレでしょ。」◇図形のエッセンス１６◇　　円すいは，大きな円の半径(側長)と小さな円の半径どうし比べよう。　　おうぎ形の中心角，一発で出てくるよ。　　　　　半径の比が　２　：　１　ならば　　　中心角は３６０°：１８０°から１８０°　　　　　半径の比が　３　：　１　ならば　　　中心角は３６０°：１２０°から１２０°　　　　　半径の比が　４　：　１　ならば　　　中心角は３６０°：９０°から９０°　　図をかいて，たしかめよう。

  2003.10.07

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• 数のワンポイント・レッスン剰余系＜その５＞

  ◎ニュースレターを発行しました。日ごろ，マックが教育について考えていることや，こどもたちの算数力にまつわる話題，学習のヒント，算数パズルなど，１回分はＡ４で４ページ分。月２回程度の発行です。マックの地域だけの限定発行です。というか，いたってローカルです。これから，どんな形に発展していくのかなー。父母参加型の会報を考えています。けっこう，父母同士で学校が同じであったり，こども同士の学校が同じであったりで，地域コミュニティの情報交換の役割も果たせればいいな，と考えています。たとえば，サーヤが参加しているジュニア・ライフ・セービング協会も，こどもの参加はまだまだです。休日，砂浜をランニングしたり，泳いだりしています。ライフ・セービングの皆さんは，ボランティア活動も展開していて，この前も映画のプロデューサーのインタビューを受けていました。サーヤは本来の使命に対する自覚はまだ無く，サーフボードに乗るのが目的みたいになっていますが…。こういう情報も載せていきたいな，と考えています。マックの学習に関するヒントを皆さんに活用していただくことも目的のひとつです。そのうち，夜の散歩会のレポートも出そうかな，など，いろいろと考えては楽しんでいます。◎きょうも，森の学校が始まります。サーヤ「９の倍数かどうかを調べるには各位の数を足して，９で割り切れれば９の倍数，という公式に，剰余系が使えるかな。」マック「さっそく調べてみよう。法は９だね。先に１００００，１０００，１００，１０で調べてみよう。」１００００≡１　(割る数９)１０００≡１　(割る数９)１００≡１　(割る数９)１０≡１　(割る数９)マック「何か，気づいたことはあるかい？」サーヤ「みんな，余りが１になってる。」マック「法が９の世界では，一万も十万も百万も一千万も…余りは１になる。」サーヤ「２００００なら，　１００００＋１００００　と分けて，余りは　１＋１＝２。」マック「８０００は，　１０００を８個足すと考えて，余りも　１×８＝８。」サーヤ「こんな数はどう？８７６５４は９で割り切れるかなー？」８００００の余りは　１が８個で，８７０００の余りは　１が７個で，７６００の余りは　１が６個で，６５０の余りは　１が５個で，５４の余りは　そのままで，４サーヤ「そうか，それで各位の数字の和っていうんだ。」８＋７＋６＋５＋４＝３０３０≡４　(割る数９)サーヤ「余りが出てきたから，割り切れない！」マック「法を３にしても同じような結論が出てくるよ。」サーヤ「ある数が３の倍数かどうかを調べるには，各位の数を足して，３で割り切れれば３の倍数である，か。調べられるわ。」　中学生になると，方程式を教わります。方程式を使えば，９や３の倍数問題は簡単に証明できますが，算数でも結論が出てくるようにしておきたいものです。イメージ力では，算数の解法が勝ります。◇図形のエッセンス１５◇　　円周率は，最後にまとめて計算しましょうね。　　円周率をπとおいてみましょう。　　面積比や体積比が使えないかも，いっしょに　　調べておきましょう。

  2003.10.06

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• 数のワンポイント・レッスン＜剰余系４＞

  ◎マックはここのところ，５年生『算数・クルミと森のたかまたち』(物語編)を書いています。静まり返った森の中，クルミと森のたかまたちが集まって何か話している，という書き出しで，算数の秘密を少しずつ明かしていくというものです。まずはサーヤに見てもらい，感想をもらおうと思います。どうなることやら，どんな感想が出てくるのやら。その後，リラィテイングして，本を完成させるという夢をいだいています。◎この１カ月強，算数という項目にしぼって，毎日どこまで書けるのか，いろいろな実験をしてきました。毎日書くというのはしんどいです。でも，だんだんと毎日のペースが見えてきました。ＨＰのデザインやコンテンツにも，もっと工夫が必要であると，これは反省点。でも，ＨＰを開設するというのは刺激になります。いろいろな情報を発信し，また，いろいろなＨＰをネットサーフィンするだけで，ずい分と勉強になります。何もしないよりは，やって失敗した方がよい…アメリカにいる義兄がいつも言います。チャレンジ精神です。義兄は，気質が日本の風土に合わないといいますか，とてもはっきりと物事を言います。時に，誤解を受けますが，徹底して合理的です。また，筆まめで，娘たちに手紙をどんどん送ってきます。今度はいつ，アメリカにくるのか／日本の大学より，これからはアメリカの大学で学んだほうが良いので，高校を卒業したらぜひ来なさい／など，娘たちも手紙の返事を書いては送っています。奥さんのサリーに英文で書いてあげると，とても喜ばれるので，カオリンは学校のこと，友だちのことなど英語で書いています。アメリカの人たちは，コミュニケーションを大切にするため，自分の考えをはっきり言います。日本では，，コミュニケーションを大切にするため，あるときは曖昧な返事も認められます。しかし，自分の考えを述べるという訓練は，やっておかないと，世界に通用しなくなる，義兄はそう言います。何を考えているのか分からない，といのがアメリカ人にとって，一番困る状態なのですね。昔は，これを東洋の神秘，不思議と好意的にとられていましたが，現代では，不思議を通り越して不気味になっているのです。マックは，表面的なことと，底流を流れているものの違いがあるな，と見てはいます。たとえば，アメリカの極東戦略や経済的な覇権。彼らも食っていかなくてはいけないわけで，富をどうアメリカに集め，蓄積し，分配していくのか，中・長期のビジョンがあると思います。外交では駆け引きが当たり前の世界です。ですから，一律にアメリカ人，日本人と対比してみても，個々に考えていかないと，表面の話で終わってしまうのです。しかし，…と義兄はいいます。日本人は損な性分だと。バブルの頃に蓄積した富はごそっと海外に持って行かれてしまいました。あの富はどこへ消えたのでしょう。あれだけ国力がみなぎっていた時代に，有効な手を打っておけばよかったのに…。義兄と電話でやりとりすると，いつもいろいろと盛り上がりますが，電話代も比例して上がるのでした。◎きょうも，森の学校がはじまります。さて，宿題はできましたか？宿題の２文字を見ただけで拒絶反応も出てきそうですが…４けたの数　３５□８　が７で割り切れるように，□に数字を入れてくださいね。３０００≡(１０００＋１０００＋１０００)≡(６＋６＋６)≡１８≡４　(割る数７)５００≡(１００＋１００＋１００＋１００＋１００)　≡(２＋２＋２＋２＋２)≡１０≡３　(割る数７)８≡１　(割る数７)３５０８なら３５０８≡(４＋３＋１)≡８≡１　(割る数７)あと７で割り切れるためには，６だけ足りませんね。□に入れる数字を１しましょう。１０≡３　(割る数７)３５１８≡(３５０８＋１０)≡（１＋３）≡４　(割る数７)これもだめです。□を２にしたら，３５２８≡(３５０８＋１０＋１０)≡（１＋３＋３）≡０　(割る数７)割り切れました！余りだけで計算してみますよ。　　□　　３５０８の余り　　□×１０の余り　　余りの合計　　１　　　　　１　　　　　　　　　３　　　　　　　　　　４　　２　　　　　１　　　　　　　　　６　　　　　　　　　　７≡０　　　３　　　　　１　　　　　　　　　９　　　　　　　　　10≡３　　　４　　　　　１　　　　　　　　　12　　　　　　　　 13≡６　　　　５　　　　　１　　　　　　　　　15　　　　　　　　 16≡２　　　　６　　　　　１　　　　　　　　　18　　　　　　　　 19≡５　　　　７　　　　　１　　　　　　　　　21　　　　　　　　 22≡１　　　　８　　　　　１　　　　　　　　　24　　　　　　　　 25≡４　　　　９　　　　　１　　　　　　　　　27　　　　　　　　 28≡０　　７で割るのだから，余りの数も７回周期になっていますね。答え　２と９もっと，練習しておきましょう。【問題】２００４□７８　が７で割り切れるとき，□に入る数字を求めなさい。【解説】１０００００≡１なので，２０００００≡(１＋１)≡２１０００≡６なので，４０００≡(６×４)≡２４≡３７８≡１Ａ＝２００４０７８とします。Ａ≡（２＋３＋１）≡６１００≡２（Ａ＋１００）≡（６＋２）≡８≡１（Ａ＋２００）≡（６＋２×２）≡１０≡３（Ａ＋３００）≡（６＋２×３）≡１２≡５（Ａ＋４００）≡（６＋２×４）≡１４≡０（Ａ＋５００）≡（６＋２×５）≡１６≡２（Ａ＋６００）≡（６＋２×６）≡１８≡４（Ａ＋７００）≡（６＋２×７）≡２０≡６（Ａ＋８００）≡（６＋２×８）≡２２≡１（Ａ＋９００）≡（６＋２×９）≡２４≡３答えは　４です。たしかめ算　２００４４７８÷７＝２８６３５４一定の数で増えていくときに限り，余りは周期になりますね。実験５，１０，１５，２０，２５，３０，３５を３で割ってみます。５≡２　(割る数３)１０≡１１５≡０２０≡２２５≡１３０≡０３５≡２３回周期ですね。ということは，さっしのいいきみなら，４で割ったら４回周期？５≡１　(割る数４)１０≡２１５≡３２０≡０２５≡１３０≡２３５≡３４０≡０４５≡１１，９，１７，２５，３３，４１，４９…　を３で割りますよ。１≡１　(割る数３)９≡０１７≡２２５≡１３３≡０４１≡２４９≡１１，９，１７，２５，３３，４１，４９…　を５で割りますよ。１≡１　(割る数５)９≡４１７≡２２５≡０３３≡３４１≡１４９≡４５７≡２６５≡０７３≡３◇数と計算に強くなる・準備２号◇鏡の術＝(等号)をはさんで，右と左をあべこべにすることができます。 ●×▲＝■から，いつもスタートです。■＝●×▲と左と右をいっぺんに，あべこべにすることができますよ。◇図形のエッセンス１４◇１０／５　　台形の上底の長さを求めるときは，　　　等積三角形を利用して　　　下底につなげて解きましょね。　　　高さの等しい長方形と台形の面積の比は　　　両方とも三角形に変形し，底辺の長さの比に　　　して求めます。

  2003.10.05

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• 数のワンポイント・レッスン＜剰余系３＞

  ◎娘のサーヤの小学校最後の運動会に行ってきました。ふだんはあまり気がつかないのですが，低学年の子たちと実際に見比べると，いつの間にか６年生の風格が出ています。リレーの選手で出ていましたが，バトンタッチ直後にコースを変更してきた子にぶつけられ，転倒。カメラの画面からいきなり消えたので，あれれ？，でしたが，転んだのを見て，あちゃー！，です。それでも，サーヤはすぐに起き上がって，順位を１つ下げてしまいましたが完走。見ている方がハラハラ・ドキドキの連続でした。◎運動会もこうして無事(？)終わり，今度はカオリンの文化祭。吹奏楽部のメンバーとして張り切っていて，学級委員もやっているので，クラスの出し物のとりまとめをしたりで，大忙しです。東京まで通っているので，９時過ぎにならないと帰ってきません。しかし，体力だけはあります。ほとんど気力で通っています。◎マックは相変わらず，夜の見回り，散歩です。他のメンバーはややお疲れ気味。明日が休みなので，それでも参加するとのことなので，これから出かけてきます。◎剰余系のつづきを書いておきます。実験しましょう。６０と１００を７で割ってみます。　６０÷７＝８　余り４　１００÷７＝１４　余り２剰余系で表すと　６０≡４　(割る数７)１００≡２　(割る数７)つぎに，１６０を７で割ってみましょう。１６０÷７＝２２　余り６剰余系で表すと１６０≡６　(割る数７)３つをならべてみますよ。　６０≡４　(割る数７)１００≡２　(割る数７)１６０≡６　(割る数７)何か，気がついたことがありますか？１６０÷７　の余り６は，６０÷７＝の余り４と１００÷７の余り２の和になっているということですね。１６０≡(６０＋１００)≡（４＋２）≡６　(割る数７)余りにだけ注目すれば，たとえば３０００を７で割った余りも１０００＋１０００＋１０００と分解して，１０００の余りを３つ足せばいいですね。　１０００÷７＝１４２　余り６３０００≡(１０００＋１０００＋１０００)≡(６＋６＋６)　≡(６×３)≡１８≡４　(割る数７)６＋６＋６は６×３で計算できるんです。【宿題】４けたの数　３５□８　が７で割り切れるように，□に数字を入れてくださいね。答えは，ひとつとは限りません。◇数と計算に強くなる・準備１－３号◇ならび順をかえられる？×と÷しかない世界。ならび順をかえられるか？調べます。●÷●×▲と●×▲÷●とは，同じでしょうか？●の代わりに５，▲の代わりに７を入れてみましょう。５÷５×７＝１×７＝７×７が５÷５の間にわりこみます。５×７÷５＝３５÷５＝７ならべてみましょう。５÷５×７＝１×７＝７５×７÷５＝３５÷５＝７わりこんでもいいのですね。＋と－しかない世界でも，ならび順をかえられますね。１０－１２＋７＝１０＋７－１２＝１７－１２＝５◇図形のエッセンス１３◇　　三角形，二つの内角あわせれば，　　　もう一つの内角の外角になりますよ。　　　たくさんつくって覚えようね。

  2003.10.04

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• 数をじょうずにお料理＜その１２＞

  ◎仕事の合間をかいくぐって，昼の散歩に出かけることがあります。晴れているときは，烏帽子岩の向こうに富士の峰，伊豆半島の先端まで見えます。この景色を見ていると，発想がいろいろと湧いてきます。ジョギングする人，サイクリングの人，サーファー…いろいろな人と行き交います。こうして，マックは寸暇を散歩で楽しんでいます。リフレッシュしてエネルギーを充填し，仕事に復帰します。◎今回で，「数のお料理シリーズ」はひとまず終えます。いろいろなパターンをみてきたので，あとは挑戦あるのみ，ですね。さて，次回から何にしようか，まだ決めてません(汗)。◎きょうも，森の学校のはじまりです。【問題１】１，２，２，３，３，３，４，４，４，４　　……　と数が続いています。数と数の間に×，÷の記号を交互に記入して，計算します。たとえば，４番目まで計算すると，　１×２÷２×３＝３　となります。７２番目まで計算した結果はいくつですか。【解説】サーヤ「７２個まで計算するのね。」１の数は１個２は２個　　ここまでの合計３個３は３個　　ここまでの合計６個４は４個　　ここまでの合計１０個５は５個　　ここまでの合計１５個６は６個　　ここまでの合計２１個７は７個　　ここまでの合計２８個サーヤ「しろくまさんのところでやったあの公式ｎ×（ｎ＋１）／２を使うと，…」１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝（１０×１１）／２＝５５１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＝（１１×１２）／２＝６６マック「あとの６つは１２という数になるね。」サーヤ「１２の数が６７番から７２番まで６個続くでしょ。÷も×も３個ずつでてくるから，１２は無視できるわ。」マック「１１までを考えてあげればいい，ということだね。」サーヤ「規則がみえるように，書き出してみるわ。」　　１　　　２　×÷　→　全部消える　　３　×÷×　→　×が１個残る　　４　÷×÷×　→　全部消える　　５　÷×÷×÷　→　÷が１個残る　　　６　×÷×÷×÷　→　全部消える　　７　×÷×÷×÷×　→　×が１個残る　　８　÷×÷×÷×÷×　→　全部消える　　９　÷×÷×÷×÷×÷　→　÷が１個残る　　１０　×÷×÷×÷×÷×÷　→　全部消える　１１　×÷×÷×÷×÷×÷×　→　×が１個残るサーヤ「どうかしら。×と÷だけ書き出してみたわ。」マック「規則性は見つかった？」サーヤ「偶数は×と÷の数が同じなので，無視していいでしょ。奇数だけに注目すると，最初の３がかけ算からスタート。５はわり算でスタート。これのくり返しになっている。」マック「奇数は，÷か×かどちらか１個しか，残らないね。」サーヤ「残った数だけ集めて，式をつくってみようっと。」　　　３÷５×７÷９×１１　　　　　　　３×７×１１　　　　　　７７　　　　　　　２　　　＝　──────　＝　───　＝　５───　　　　　　　　　５×９　　　　　　　１５　　　　　　　１５　　　　　　　　　２　答え　　５───　　　　　　　　１５マック「次は，場合の数のように見えて，そうではない問題だよ。」【問題２】ある数を，硬貨を投げるごとに，表が出たら２／３倍し，裏が出たら２７／１６倍していきます。何回かくり返すと，最初の数の１／６４倍になりました。表が出た回数は何回ですか。【解説】サーヤ「表も裏も１回ずつ出たとすると，」　　２　　　３×３×３　　　３×３　　　　　──×─────＝───　　３　　　　　１６　　　　　　８サーヤ「何のこっちゃ，という感じね。」マック「これを１／６４に近づけていくためには，分子がじゃまだね。」サーヤ「分子には，３がふたつある。だから…分かった！」　　２　　　２　　　　２　　　　３×３×３　　　　１　──×──×──×──────＝──　　３　　　３　　　　３　　　　　　１６　　　　　　２サーヤ「きれいになったでしょ，わたしみたいに…」マック「ほっそりしたね…。」サーヤ「表が３回と裏が１回のセットで，半分になるわ。」マック「６４からスタートしよう。」６４　→　３２　→　１６　→　８　→　４　→　２　→　１サーヤ「６４が１になるまでには，６セット使ったってことね。１セットには表が３回ふくまれるから，」６セット×３回／セット＝１８回答え　１８回マック「ねっ。場合の数に出てくる確率のようにみえて，そうじゃない…。」サーヤ「お化粧と素顔の関係かしら？ママにはないしょだけれど…。」マック「いえ，ママはきれいです。」サーヤ「声が小さい！」マック「…」サーヤ「ところで，次からは何をやるの？」　　マック「今，考え中。」◇数と計算に強くなる・準備１－２号◇　　かけ算とわり算を少しずつ読み解いていきます。　　あたりまえのことを，もう一度基礎から。　　　わり算は左右対称ではない　■÷▲＝●＝▲÷■　　とはなりません。　▲÷■＝●　　　？？この形の式は，つくれません。　実験です。　１５÷３　＝　５　３÷１５　＝　５　　？？右と左がちがってる！　ひき算も左右対称ではなかったですね。◇図形のエッセンス１２◇　　サイコロの見取り図と展開図が出たときは　　　天井と床に斜線を入れて　　　柱にもやじるしのマークを入れましょね。　　やじるしの方向が天井，逆の方向が床　　　　のこり４面はかべですね。　　かべにも順番いれるといいよ。◎剰余系の話の要約版です。中学生の子たちも，剰余系をあつかった問題になると，全部書き出して答えを見つけているのが現状です。そこで，小学生用に書いた剰余系のお話の原稿を載せておきますので，参考にしてください。使うのは，曜日の計算のところです。　（剰余系の話・要約版）マック「きょうは，割り算の余りの話をしておこう。」サーヤ「剰余系(じょうよけい)というのよね。」マック「これは，知っておいた方がいい。数の処理ではとても便利。だけれど，学校では教えないからね。」サーヤ「簡単に，ね。」マック「みんながよく知っている曜日の話から始めよう。」サーヤ「今年の９月２５日が木曜日なら，今年の９月１０日は何曜日でしたか？という日歴算ね。」マック「周期が７の数の列だ。」サーヤ「２５を７で割ると，余りが４。表をつくると，次のとおりね。」余りが４　→　木曜日余りが５　→　金曜日余りが６　→　土曜日余りが０　→　日曜日余りが１　→　月曜日余りが２　→　火曜日余りが３　→　水曜日マック「それで？」サーヤ「１０÷７＝１余り３　だから，９月１０日は水曜日よ。」マック「そうだね。どんな数も７で割ると，余りは，０を含めて７とおりだけだ。この余りに注目して，曜日なら，月曜日から日曜日までの七曜日に分類してしまおう，というのが剰余系の考え方なんだ。」サーヤ「どんな日でも，七曜日以外になることはないってことね。」マック「２，９，１６，２３という数を７で割ってみると，みんな余りは２になるから，曜日から見て，同じ数としてあつかってもかまわない。これが，剰余系の考え方なんだ。そして，割る数の７を法，割られる数２，９，１６，２３を実と呼ぶことにしている。２３÷７＝３　余り２　　　を剰余系の記号で書くと，２３≡２　(法７)とか，余りを表す記号　ｍｏｄ　を使って２３≡２　(ｍｏｄ７)　　　２３　ｍｏｄ　７　＝　２などと表すことになっているんだ。」サーヤ「小学生は，どの表し方がいいの？」マック「小学生は，とりあえず，２５≡４　(法７)　がいいかな。(法７)というのも覚えにくいので，２５≡４　(割る数７)と書いてもいいしね。暗号の勉強をするなら，２３　ｍｏｄ　７　＝　２だよ。高校生以上の人も，ね。a mod p + b mod p = (a + b) mod pが使えると，剰余系の世界が広がるけれど，この話は，またにしよう。」

  2003.10.03

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• 数をじょうずにお料理＜その１１＞

  ◎数のお料理，いろいろなケースでやってきました。今回と次回で終わりです。さて，今回も，どこかで見たことある問題？森の学校のはじまりです。【問題】次の問いに答えなさい。(1)　１から１００までの整数のうち，３６や４９のように，３，６，９の数字を　どれか１つでもふくむものは何個ありますか。(2)　１から２００３までの整数のうち，３，６，９の数字をどれか１つでも　ふくむものは何個ありますか。【解説】これも，数字カードの枚数を数え上げる問題です。(1)　数は１００個あり，カードは　１００×２＝２００枚カードは１０種類なので２００÷１０＝２０枚　３，６，９の３種類は全部で２０枚×３＝６０枚３６　３９６３　６９９３　９６６個は２回数えていますね。１回分は引いときましょう。６０－６＝５４３３　６６　９９　も　１回ずつ減らすことを忘れずに。５４－３＝５１答え　５１個マック「魔法のテクニックで，やってみようか。」サーヤ「格子(こうし)で串刺しにして，カウントするのよね。」マック「中学生の子も注目。サイコロの問題などは串刺しにしてやってみましょう。」　たて線３本と横線３本引いて，交わった点を数えます。　　　　　３　　　　６　　　　９　　　　　│　　　　│　　　　│３───│───│───│───　十の位の３　６───│───│───│───　十の位の６　　９───│───│───│───　十の位の９　　　　一の位の３　　　　一の位の９　　　　　　　一の位の６　交わった点の数を書き出しましょう。　３３，３６，３９，６３，６６，６９，９３，９６，９９　３×３＝９で　９カ所で２回ずつ数えてる。　だから，１回分ずつ引いときましょう。　６０－９＝５１　答え　５１個(2)０から９９９の数でカードの枚数，数えます。数は１０００個あり，カードは　１０００×３＝３０００枚１０種類３０００÷１０＝３００枚１０００　から　　１９９９変わったことは先頭に１のカードがくっついたこと。変わったことは，それだけ。だから，０から９９９にしぼって考えよう。３００枚×３種類＝９００個　…　☆魔法のテクニックをイメージしましょう。立方体をかいてたて，横，高さの立方体，３，６，９　から線を引き交わるところは　３×３×３＝２７個ここを３回ずつ数えているから２回分は引いておく。２７×２＝５４　…　★２回数えている数は３，３と０，１，２，４，５，７，８　の組合せは　７個だね。３，３，０なら　０３３，３０３，３３０　の３とおり積の法則あてはめて　７×３＝２１６，６と０，１，２，４，５，７，８　の組合せ９，９と０，１，２，４，５，７，８　の組合せも同じだから，積の法則あてはめて　２１×３＝６３　…　★３，６と０，１，２，４，５，７，８　の組合せは　７とおり３，６，０なら　０３６，０６３，３０６，３６０，６０３，６３０　の６とおり積の法則あてはめて　７×６＝４２３，９と０，１，２，４，５，７，８　の組合せ６，９と０，１，２，４，５，７，８　の組合せも同じだから，積の法則あてはめて　４２×３＝１２６　…　★　　☆から★をひきましょう。　　９００－（５４＋６３＋１２６）＝６５７０００から９９９の間には，６５７個ありました。１００１から１９９９の間にも，６５７個ありますね。００００から１９９９の間には　６５７×２＝１３１４　個ありました。００００を除き，２０００，２００１，２００２，２００３を加えると　２００３　が出てきたので，１個増えますね。答え　１３１５個　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(中学入試問題・一部改題)◎サーヤ「前に話していた計算の問題，どうなったのかしら。」マック「計算のこころと技法のことだね。」サーヤ「４年生や５年生の子たち向けに，話題にしましょうよ。」マック「ゆっくりやってみようか？」サーヤ「入試問題ばかりでは，おもしろくないわ。」◎ということで，計算シリーズを，話題中心にしばらく，書いていこうか，と思います。◇数と計算に強くなる・準備１－１号◇　　かけ算とわり算を少しずつ読み解いていきます。　　今回は，交換法則といいますが，覚えにくいので，　　ひっくり返しの法則　　とりかえっこの法則　　などとネーミングします。　　　　　かけ算は■を中心に，左右対称です。　　●×▲＝■＝▲×●　　　●×▲＝■　と　▲×●＝■　は同じです。　　実験です。　　３×５　＝　１５　　５×３　＝　１５　　たし算も，たしか左右対称でしたね。　　３＋５＝８＝５＋３◇図形のエッセンス１１◇　　五角形の内角の和　　　五角形のまわりを，えんぴつで一周します。　　　えんぴつは５回曲がります。　　　(注：１回まがるごとに，内角と外角をあわせて１８０°)　　　内角の和と外角の和から外角の和を引きます。　　　(注：一周したら，外角の和は３６０°)　　　式は　５×１８０－３６０＝５４０°　　　十二角形の内角の和　　　えんぴつ１２回曲がります。　　　内角の和を出したければ，一周分を引きましょう。　　　式は　１２×１８０－３６０＝１８００°　　このイメージがすぐにできるように練習しましょう。　　　　

  2003.10.02

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• 数をじょうずにお料理＜その１０＞

  ◎このところ，入試問題にチャレンジしています。ときどき場合の数が出てきますが，できるだけシンプルに解きますね。それでは，森の学校がはじまります。【問題】次の空らんをうめなさい。　太郎君は授業中，教科書をみると，ページの数字の囲まれている部分を無意識のうちにぬりつぶしていることに気がつきました。　　　１４８　　１４９　　１５０　　→　１４８　　１４９　　１５０　　　　　　　　　（注）　８が２カ所，４と９と０が１カ所グレーにぬりつぶされています。　このことで，太郎君はいろいろ考えてしまいました。　　「数字の８は２カ所ぬりつぶすと考えよう。　　　そうすると，１から１０までは，６カ所ぬりつぶすことになるな。　　　それでは，１１から１００までは，(　ア　)カ所をぬりつぶすことになるな。　　　じゃあ，１から１０００までで考えてみよう。　　　全部で何カ所になるだろう。うわぁー(　イ　)カ所だぁ。　　　８８８は６カ所もぬりつぶす数字だ。５カ所ぬりつぶす数字は(　ウ　)個，　　　４カ所もぬりつぶす数字は，えーっと(　エ　)個だ。」　　　いろいろ考えている間に授業は終わっていました。【解説】　　大変おおらかな問題です。教科書のぬりつぶしに夢中になっていた，　ということは，授業を聞いていなかったわけですから…。また，数字をぬりつぶしていくというのは，マニアックでもありますね。いろいろと想像できるのも，入試問題ならでは？なのでしょう。　前半は，９／２５の＜その５＞の解法が，そのまま使えます。　後半は，場合の数ですね。落とし穴が待ってます。　(　ア　)からみていきましょう。００から９９までは数は１００個，使った数字のカードは１００×２＝２００枚，２００÷１０＝２０　で１０種類のカードを２０枚ずつ使います。そこから００　　０１　　０２　　０３　　０４　　０５　　０６　　０７　　０８　　０９　　１０を引いて，　１００　を足します。０は十の位の１０枚はまとめて引いておきましょう。０　→　２０－１０－２＋２＝１０　１　→　２０－２＋１＝１９　２　→　２０－１＝１９　３　→　２０－１＝１９　４　→　２０－１＝１９　５　→　２０－１＝１９　６　→　２０－１＝１９　７　→　２０－１＝１９　８　→　２０－１＝１９　９　→　２０－１＝１９　ぬりつぶした数字は１０＋１９×３＋３８×２＝１０＋１９×５＝１０５答え　１０５個(　イ　)は，０００から９９９で考えればいいですね。０００から９９９までは数は１０００個，使った数字のカードは１０００×３＝３００枚，３０００÷１０＝３００　で１０種類のカードを３００枚ずつ使います。そこから３けたにするために使った　０００から０９９までの０をはずし，(百の位が１００枚，十の位が１０枚，一の位が１枚)１０００　の０を３枚足します。　　０　→　３００－１００－１０－１＋３＝１９２枚　　４　→　３００枚　　６　→　３００枚　　８　→　３００枚　→　ぬりつぶすのは６００カ所　　９　→　３００枚　　１９２＋３００×５＝１６９２　答え　１６９２カ所(　ウ　)は５カ所なので，８が２つと０，４，６，９のどれかの組合せですね。　　８，８，０の組合せ　８０８か８８０の２とおり　　８，８，４の組合せ　４８８か８４８か８８４の３とおり　　８，８，６の組合せ　３とおり　　８，８，６の組合せ　３とおり　　　２＋３×３＝１１　答え　１１個(　エ　)は４カ所なので，あわてると，わなにすっぽりはまります。　　うまく，場合分けしましょう。　８，８型，２つ８を使う場合　残りの１つは０，４，６，９ではありません。　１，２，３，５，７　の５つから１個選ぶ　→　５とおりですね。　選んだ１個と８，８で数をつくりましょう。　　選んだ数を１として　　　　１，８，８　　→　　１８８　　８１８　　８８１　の３とおり　２，３，５，７も同じこと。　積の法則あてはめて　　　５×３＝１５とおり　しかし，２けたの数字の☆☆　８８　☆☆を忘れないように，ね。　ここまでの合計は１６とおりです。　８を１つしか使わないことにすると　残りの数字は０，４，６，９から２つ選ぶしかありません。　０が出てきたので，要注意ですね。　８＃＄　という形なら　＃にも＄にも４とおりの数が入れます。　　積の法則から　　　４×４＝１６とおり　　　＃８＄　という形なら　＃には０以外の３とおり，　＄には４とおりの数が入れます。　　積の法則から　　　３×４＝１２とおり　　　＃＄８の場合も　　３×４＝１２とおり　なので　８が１つだけの場合は，合計で４０とおりです。　　全体では　１６＋４０＝５６とおり　になりました。　　答え　５６個サーヤ「ボリュームがあるわねー。」マック「去年の立教新座中学の問題だ。これを１０分程度で解くわけさ。」サーヤ「(エ)では，みんなひっかかったんじゃない？」マック「おそらくね。こうした３点，４点の差が，合否のわかれめになるのさ。」サーヤ「厳しいのねー。」マック「でも，ベース(基礎力)があれば，落とし穴に気づくようになり，そうなると算数は楽しくなるよ。サーヤは中学になっても通用する基礎ができてるからね，大丈夫。」サーヤ「はい！私もマックの塾生としてがんばります(笑)。」◇図形のエッセンス１０◇　　相似を忘れたら，等積三角形にもどります。　　　　等積三角形→底辺分割のルール→相似の公式　　面積から長さの関係を出す考え方，中学校でもやりますよ。

  2003.10.01

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• おまけつき・数をじょうずにお料理＜その９＞

  ◎まずは，高校入試レベルの「素数の問題」でウォーミング・アップです。そのあとで，おまけのハイキングのコース決めの基礎コースを学びます。　【問題１】　３５９９の素数を求めましょう。【１の解説】　マック「何の二乗に近いか，素数はそこからスタートですね！」　　６０×６０＝３６００　に目をつけます。　３５９９　＝３６００－１　＝６０×６０－１×１　＝（６０＋１）（６０－１）　＝６１×５９　答えは，５９と６１　４０×４０＝１６００　から　１５９９の素数５０×５０＝２５００　から　２４９９の素数７０×７０＝４９００　から　４８９９の素数も実験しておきましょう。答えは文末にあります。◎次は，中学入試レベルの問題です。【問題２】連続した５つの整数の積が２４４１８８０であるとき，これら５つの整数のうち最も小さい整数は□です。【２の解説】５つということは，最小モデルの１×２×３×４×５が必ず含まれるということですね。とりあえず，積を出しておきましょう。１×２×３×４×５＝１２０割ってみたら…２４４１８８０÷１２０＝２０３４９この数は素因数分解してみると２０３４９＝３×３×７×１７×１９これに１×２×３×４×５を合わせて２４４１８８０＝１×２×３×４×５×３×３×７×１７×１９１７と１９がうまい具合に見つかりました。大事なヒントですね。２つの数の間の１８を探します。２×３×３＝１８とありました！残りは４×５×３×７です。前後の１６か２０は見つかりますか？４×５＝２０その残りから３×７＝２１２４４１８８０＝１７×１８×１９×２０×２１答えは１７ですね。(２００２年の灘中の問題でした。)◎一見ランダムな問題も，ちゃんと規則があるのですね。こういう不思議を体験しておけば，数となかよしになれますね。▽森の学校の”おまけ号”のはじまりです。ハイキングが気になるので，行くつもりになって，プランを立ててみましょう。マック「秋だね。ハイキングに行きたいなー。」サーヤ「今週の土曜日には運動会があるわ。行事で忙しいー。ハイキングはそのあとね。」マック「一筆書きをやっておこう。ハイキングのコースづくりで使えるかもしれないよ。」サーヤ「一筆書きは中学入試問題でも出ていたわね。」マック「道の本数を数えれば，可能・不可能の判定ができる！それを証明したのが，１８世紀の偉大な数学者オイラーだ。」サーヤ「みんなも，ノートに図をかいていくといいわね。」マック「まずは四角形をかいてみよう。」サーヤ「はい，かいたわ。」マック「これは当然一筆書きできるね。角の４個の点からみて，道はそれぞれ何本になっている？」サーヤ「２本ずつ。」マック「偶数だね。次は，星をかいてみよう。道と道がぶつかったところを点として，道の数はどうなってる？」サーヤ「点は１０個あったわ。内側で，五角形をつくっている点が５つあり，道は４本ずつ。まわりの点も５つあって，道は２本ずつになっている。」マック「全部，道の数は偶数だね。この場合，一筆書きできるんだ。」どれか１個をスタートに決めます。スタートになった点だけは，もし道が２本出ていれば　出て→入って　略して　出→入　となります。もし道が４本出ていれば　出→入→出→入　となります。でも，最後には「入いる」だから，スタート地点に，もどります。ほかの点では道が２本出ていれば　入→出　道が４本出ていれば　入→出→入→出　最後には，必ず「出る」になるので，通過点です。［道路が偶数本だけの場合の結論］道が偶数だけの場合，一筆書きは可能です。しかも，スタート地点がゴール地点と一致(いっち)します。▽マック「道が奇数本の場合の点を考えてみよう。３本の道で考えると，次の２とおりになるね。出→入→出入→出→入これしかない。これをスタートとゴールの１セットにすれば，一筆書きは可能なんだ。」サーヤ「出→入→出は，最後が”出る”だから，これがスタート地点。入→出→入は，最後が”入る”だから，これがゴール地点ね。」マック「ほかの点は道が偶数だから，入→出　の通過点に過ぎない。」サーヤ「奇数になる点が３個以上の場合は，一筆書きは不可能ということ？」マック「そうなるんだ。ゴールが２つ以上あると，一筆書きは不可能だね。」［結論］道の数が奇数本になっている点が３個以上ある場合は，一筆書きは不可能です。サーヤ「ハイキングで使えそうな気がしてきたわ。」マック「いろいろな図をかいて，みんなに問題を出してあげると，おもしろいかも？」サーヤ「学校でやってみよっと。」◇図形のエッセンス９◇９／３０　　レンズの公式覚えたかい。　　　１０ｃｍのレンズを落としたら，５７(こな)ごなだ。　　　１ｃｍなら，０．５７(おこんな)いでね。　　　(円周率を３．１４とする。)　　　　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学数学ノートから－－(準備５号)連立１次方程式の続きです。前号の話の中で，気がついた人，いますか？それは，Δ＝０のとき　です。Δ＝０になると，計算できませんね。分母が０になることは，絶対にありませんから。※たとえば，　５÷０　で考えてみましょう。５÷０に答えがあると仮定し，答えを●としますよ。すると●×０＝５　が成り立ちます。つまり，「●を０倍すると５」になる●が存在することになります。これは事実と矛盾しますね。すべての実数は０倍しても０ですから。だから，５÷０に答えがあると仮定したのがまちがいのもと。５÷０に答えはありません。話を元に戻します。例として２ｘ＋３ｙ＝５４ｘ＋６ｙ＝７という連立１方程式を考えてみましょう。ΔをテストするとΔ＝２×６－４×３＝０なので，これ以上計算できません。グラフを描けば明らかですが，この２本の方程式は，一次関数でもあり，グラフ上では平行な位置関係になるため，永遠に交わらず，交わらないということは，答えがありません。しいて答を書くとすれば　「解なし」　です。２ｘ＋３ｙ＝５４ｘ＋６ｙ＝１０というΔ＝０型の連立１方程式は？これは，４ｘ＋６ｙ＝１０　の両辺を２で割れば２ｘ＋３ｙ＝５　となって，同じ式になるので，２ｘ＋３ｙ＝５　という１本の式に集約できてしまいます。２ｘ＋３ｙ＝５　を満たすｘ，ｙの組は無数に存在しますね。これは，「解は不定」，「定められない」と答えます。０ｘ＝０　(左辺は０かけるｘのことです)と同じことが起こっています。中学数学はここまでで，十分でしょう。（答え）　１５９９は３９×４１，３９＝３×１３なので，　　　　　　素数は　３，１３，４１　　　　　　２４９９は４９×５１，４９＝７×７，５１＝３×１７なので，　　　　　　素数は　３，７，１７　　　　　　４８９９は６９×７１，６９＝３×２３なので，　　　　　　素数は　３，２３，７１

  2003.09.30

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• 数をじょうずにお料理＜その８＞

  ◎ＨＰをスタートして，１ヵ月が経ちました。読み返してみて，表現がおかしかったり，説明が不十分であったりで，赤面ものです。でも，マックの書きたいことはまだまだたくさんあります。これからも，算数嫌いのこどもたちが一人でも減るように，書き続けていきたいな，と思っています。こどもたちと算数や数学をいっしょに研究する，そういうスタンスが大切と，マックは常々感じています。こどもたちといっしょにいると，次々と新たな発見ができます。大人ではあたりまえのことが，こどもたちには不思議。そうすると，自分の常識を疑ってみなければいけない，そのように思います。分かっているつもりで，こどもたちに説明できないとしたら，常識をこどもの立場になって見つめ直す。これは，算数・数学に限った話ではありませんが。たとえば，小数を説明する場合，無限級数を使ってあげるとすぐに分かる子もいます。　　　　　　　　　　１　　　　　　０　　　　　　　　６０．１０６　＝　──　＋　───　＋　────　　　　　　　　　１０　　　　　１００　　　　　１０００そうすると，分数は，低学年のうちにマスターしておいた方が，合理的と思えるのです。また，２０÷０．５　の小数わり算は５年生でやりますが，教科書には２０÷０．５＝２０÷（５÷１０）　というアルゴリズム(計算のしくみ)が出てきます。これを，こどもたちの何人が本当に理解しているのでしょうか。まだ，？？は続きます。教科書の続きです。２０÷０．５＝２０÷（５÷１０）＝２０÷５×１０(　)の中の「÷」が(　)をはずすことによって「×」に変化します。これを，こどもたちにどう説明すればよいのでしょうか。「÷（割る）を２回繰り返すと，×(かける)になる」とは，その本当の意味は，どういうことなのでしょうか。マックの日記で，後日，この問題をとりあげてみたいと思います。こどもたちに分かってもらえる説明とは…。◎今後とりあげてみたいテーマは，計算のしくみ，数の規則，場合の数など。それに，途中になっている剰余系の話も書きたいし，関数やグラフ，ベクトル，一次変換，行列，線形計画法もできれば，と考えています。ゲームの理論も楽しくできないか，と現在研究中です。そのほか，さっき話題にした無限級数や，できれば微分・積分，点集合論からトポロジーも，その世界に少しでも触れておけば，きっと役に立つときがくると思います。マックの塾では，以上のうちのいくつかを，小学生向きにアレンジして教えています。(思考が柔軟な時期なので，実験して発見する作業をいっしょにしてあげると，大人より理解が速いですよ。)何をテーマにしていくか，試行錯誤しながら書いていきます。中学数学ノートも改訂版の編集にあわせて，少しずつ書いていきたいと思います。◎高校数学について一言　現在，マック特製「高校数学ノート(改訂版)」を，娘のカオリンに試用してもらっています。文字のアルゴリズムが多用される方程式や不等式，関数などで考えこむ時期もありましたが，今は手を離れ，自分で問題を解いています。カオリンが分かりにくかったところのサンプルです。│（ｘ－４）（ｘ＋２）│＜０　　や　　ｙ＝│（ｘ－４）（ｘ＋２）│は，数字の世界なので理解できます。しかし，│（ｘ－ａ＾２）（ｘ＋ａ）│＜０　　や　　　ｙ＝│（ｘ－ａ＾２）（ｘ＋ａ）│は文字の世界です。はじめは戸惑っていました。これら方程式・不等式・関数は，文字のアルゴリズムに慣れれば，今度は重要な得点源になります。この手の問題は，(1)内生変数と外生変数の区別をし，(2)外生変数で場合分けし，(3)微分・積分に出てくる表を作れば，ほとんどオートマティックに解けてしまいます。そこに気づいてもらうよう，誘導します。数Ⅰの最後に出てくる三角関数は，マックの秘密の技(わざ)で実験し，時間制限３０分でカオリンにマスターしてもらいました。これを長くやるから，こどもたちは，いつまでもひとり立ちできないし，退屈になってしまう…そんな感じではないでしょうか。高校数学の理想的なマスターの仕方は，こうです。まずは，１年分の概論を，３ヵ月程度の短期間に集中してすべて教えてしまいます。これで全体的な視野ができます。あとは本人に参考書と問題集で演習してもらい，どうしても分からないところだけ説明してあげる…これで，必要にして十分です。ということで，方程式や関数をやるときには，微分・積分も並行して学んでいくのが，本当は楽なのです。◎さて，きょうも森の学校のはじまりです。今回は，２００２年に出題された入試問題をとりあげてみたいと思います。最後の『積の法則』の説明は，中学数学もふくみます。マック「きょうは，修学旅行のふりかえでお休みだね。」サーヤ「ええ，もう疲れはすっかりとれたし。」　マック「よかった。それでは，さっそく一題やってみよう。テーマは，左右対称になっている数。」サーヤ「左右対称っていうと，　１１　からスタートして　２２　３３　…」　マック「そう。３けたの場合は，１０１　１１１　１２１　…，４けたの場合は，１００１　１１１１　１２２１　…と続くよ。」【問題】左右対称の数字の中で，２００２は何番目に出てきますか。また，２００２番目の数字は何ですか。(問題文が長文なので，文章は簡略化してあります。)【解説】サーヤ「１１　が１番目。２２　が２番目だから，２けたのときは，場合の数で１から９までの９とおり！」　マック「さて，次は３けただ。」１０１　１１１　１２１　全部書くと時間がなくなるので１＃１で表すと，＃に入るのは　０から９までの１０とおりです。１＃１２＃２と変化する場合の数は，＄＃＄の＄が１から９までの９とおりですね。積の法則あてはめて，１０×９＝９０とおり。サーヤ「次は，４けたね。でも，１＃＃１で，＃のところは，３けたのときと同じ１０とおりよ。」　マック「いいところに気がついたね。ここまでくると，２００２は近い！」９とおり＋９０とおり＋１０とおり＝１０９とおりサーヤ「１０９番目は　１９９１　でしょ。１９９１　の次は，いきなり　２００２　にとぶから，２００２　は１１０番目！答えにたどりついた，フーッ。」　☆答え　２００２は１１０番目です。マック「それで，４けたの場合も９０とおりって分かったしね。」サーヤ「５けたに行くわよ。」　１０００１　１０１０１　…　→　１０＃０１　→　＃は１０とおり１０＃０１　→　１＄＃＄１　→　＄も１０とおり○＄＃＄１○　→　○は９とおりサーヤ「積の法則あてはめて，１０×１０×９＝９００とおり。」　マック「６けたも９００とおりだね。」１００００１　１００００１　…　→　１０＃＃０１　→　＃は１０とおり１０＃＃０１　→　１＄＃＃＄１　→　＄も１０とおり○＄＃＃＄○　→　○は９とおりサーヤ「これまでのを合計すると，９＋９０＋９０＋９００＋９００＝１９８９とおりかなり近づいてきたわ。７けたに行きましょ。」１０００００１　１００１００１　…　→　１００＃００１　→　＃は１０とおり　サーヤ「ここまでで，１９９９とおり。１０＄０＄０１に直して考えると次の最初の数は　＄＝１　に進んでいるから１０１０１０１ ね。２０００番目　→　１０１０１０１　このまま続けて，２００１番目　→　１０１１１０１　２００２番目　→　１０１２１０１　答えが出たわ。」　☆答え　　２００２番目は　１０１２１０１　です。マック「やったね。おめでとう。」サーヤ「ところで，これ，どこの問題？」マック「ラサールだよ。２００２年にちなんだ出題だね。センスのある，おしゃれな問題だ。」サーヤ「わたし，何とも言えないわ…。」　(注)これから先は，「積の法則」って何？と思った人だけ，読んでおきましょう。　　　中学生の子も，ですよ。高校入試にも必須の知識です！◎積の法則(小学６年から中学生レベル)　　　　「お見合い」を例にしてみます。　　３人の男性と２人の女性がお見合いすることになりました。　　何とおりの組み合わせが考えられますか？　　　　男性はＡくん，Ｂくん，Ｃくん　　女性はＳさん，Ｔさん　　としておきましょう。　　　　Ａくんのお見合い相手は　ＳさんとＴさんの２とおり。　　Ｂくんのお見合い相手も　ＳさんとＴさんの２とおり。　　Ｃくんのお見合い相手も　ＳさんとＴさんの２とおり。　　合計で６とおりの組み合わせができますね。　　これをいちいち数えるのが手間なので，　　３×２＝６　と一発で計算してしまうのが，「積の法則」です。　　もう一度整理しておきます。　　Ａくんも，Ｂくんも，Ｃくんも２とおりずつだから　　　　３×２＝６とおり。　　　▲×●＝■　　　　「２とおりずつ」が単位量の●，魔女のモニカの●ですね。　　それを３人分で，これが魔法のつえの▲です。　　サイコロも大きいサイコロと小さいサイコロを一度に投げて出る目の　　組み合わせは　　大きいサイコロの目を基準にし，　　(大きいサイコロの目，小さいサイコロの目)で表すことにすると　　大きいサイコロの目が１のときは　　　　(１，１)　(１，２)　(１，３)　(１，４)　(１，５)　(１，６)　　　　と，６とおりありますね。(これが魔女のモニカ●ですよ！)　　　　大きいサイコロの目が２でも３でも４，５，６でもみんな同じことが起こる，　　と分かったら　(魔法のつえ▲が見えましたか？)　　　「積の法則あてはめて」　　　　と呪文を唱えると　　　　６×６＝３６とおり　　　　　▲×●＝■　　　　の組み合わせ　のできあがり。　　ツリー図でもイメージできるように，しておきましょね。◇図形のエッセンス８◇　　エジプトひもの直角三角形，１２人でひっぱろう。　　　３　：　４　：　５　　(三四の五)　　とかけ声出して。　　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。

  2003.09.29

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• 数をじょうずにお料理＜その７＞

  ◎サーヤが昨日，日光から帰ってきました。爆睡し，また，きょうからにぎやかです。◇◇森のなかまのナレーション：きょうは『数の周期』の世界です。◇◇◇サーヤ「電卓で，９をどんどんかけていったら，おもしろいことに気がついたわ。」９９×９＝８１９×９×９＝７２９９×９×９×９＝６５６１９×９×９×９×９＝５９０４９９×９×９×９×９×９＝５３１４４１９×９×９×９×９×９×９＝４７８２９６９サーヤ「ほら，一の位に１と９が規則正しく表れているわ。」マック「ほかの数で実験してみようね。７の場合はどうなるかな？」サーヤ「規則正しくなるかしら？」７７×７＝４９７×７×７＝３４３７×７×７×７＝２４０１７×７×７×７×７＝１６８０７７×７×７×７×７×７＝１１７６４９７×７×７×７×７×７×７＝８２３５４３７×７×７×７×７×７×７×７＝５７６４８０１７，９，３，１の４つで繰り返しね。」マック「試験のときは，電卓は使えないから，一の位だけ見ていけばいいよ。」サーヤ「そうなんだ！７の場合は，こうやるの？７７×７で４９４９の９に７かけて　９×７＝６３６３の３に７かけて　３×７＝２１２１の１に７かけて　１×７＝７　もとの７にもどったわ。」マック「もっと練習しておこうね。」［きょうの問題］□に数字を入れてくださいね。(1)　３を１００回かけたら，一の位の数は□になります。(2)　８を５０回かけたら，一の位の数は□になります。[解説]サーヤ「電卓が使えないから，一の位だけで考えよーっと。」(1)の解説です。３３×３＝９９×３＝（・・・）７７×３＝（・・・）１１×３＝（・・・）３３×３＝（・・・）９　　　　　（注）（・・・）は十の位以上の数を省略しているマークです。３，９，７，１　３，９，７，１　と４回周期で表れます。１００は４で割り切れるので，周期の一番最後の数の１になります。答え　１(2)の解説です。８８×８＝（・・・）４８×８×８＝（・・・）２８×８×８×８＝（・・・）６８×８×８×８×８＝（・・・）８８×８×８×８×８×８＝（・・・）４８，４，２，６　８，４，２，６　とこれも４回周期で表れます。５０を４で割ると２余るので，２番目の数の４が答えですね。答え　４マック「電卓でおもしろいことに気がついたら，また，教えてね。」サーヤ「√を使っても，いろいろできそうだわ。」（つづく）◇図形のエッセンス７◇　　さいころを積み重ねた立体図形の表面積は，六方向から数えよう。　　　真正面，右手，左手，後ろ，真上，真下　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学数学ノートから－－(準備４号)三角形の面積に　Δ＝ａｄ－ｂｃ　を使う話から，今回は，連立１次方程式の検算に使えるΔの話をしておきます。クラーメルの公式です。あまりにも有名なので，知っている方も多いと思います。ですから，知らない人だけ読んでくださいね。ａｘ＋ｂｙ＝ｓ　(1)ｃｘ＋ｄｙ＝ｔ　(2)(1)×ｄよりａｄｘ＋ｂｄｙ＝ｄｓ　(1)’(2)×ｂよりｂｃｘ＋ｂｄｙ＝ｂｔ　(2)’(1)’－(2)’より（ａｄ－ｂｃ）ｘ＝ｄｓ－ｂｔ　　　　ｄｓ－ｂｔ　ｘ＝─────　　　　ａｄ－ｂｃ同様にして　　　　ａｔ－ｃｓ　ｙ＝─────　　　　ａｄ－ｂｃこの結果を覚えておくと，連立１次方程式の検算に使えます。分母は　Δ＝ａｄ－ｂｃ　なので，すぐ覚えられます。Δは行列式のスタイルでは│ａ　　ｂ││ｃ　　ｄ│でしたね。　ａ　ｃを　ｓ　ｔに置き換えると，│ｓ　　ｂ││ｔ　　ｄ│となって，ｘの分子になりました。ｙも同様の操作をして，│ａ　　ｓ││ｃ　　ｔ│が，ｘの分子になりますね。これでは忘れてしまいそう。　ａ　　　　ｂ　ｃ　　　　ｄの間にｓとｔを入れてみます。　ａ　　ｓ　　ｂ　ｃ　　ｔ　　ｄ１列目と３列目から，Δ１列目と２列目から，ｙの分子２列目と３列目から，ｘの分子ができますね。「はさみこみ」と覚えておきましょう。さっそく，実験してみます。７ｘ＋５ｙ＝３１　３ｘ－２ｙ＝５　「はさみこみ」を忘れないようにして，係数を並べます。　７　　　３１　　　　５　　　３　　　　５　　－２　　　両端の列からΔ，１列と２列からｙの分子，２列と３列からｘの分子です。右下がりはプラス，右上がりはマイナスの符号でしたね。Δ＝７×（－２）－３×５＝－１４－１５＝－２９　ｙの分子＝７×５－３×３１＝３５－９３＝－５８ｘの分子＝３１×（－２）－５×５＝－６２－２５＝－８７ｘ＝－８７／－２９＝３ｙ＝－５８／－２９＝２マックは，中学２年のときにこのやり方を習いました。ですから，この公式をみると，遠い遠い中２の昔を，ついつい思い出してしまいます。なお，式が３本以上，３元１次以上の連立１次方程式を，クラーメルの公式で解く作業は，大学に入ってから…ですね。

  2003.09.28

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• アルゴリズムをみつけよう(特別号)

  ◎前半は小学校低学年向き，後半は小学校受験レベル～中学生向きです。◎サーヤがいないと，調子が出ません。きょうの夜にはもどりますが…。ということで，きょうは，マックのひとりごとのような日記・特別号になります。それでは，森の学校の始まりです。◎小学算数の計算をアルゴリズムでみてみよう！アルゴリズムとは計算のしくみ，計算のシステムのことです。歴史的には，「筆算」を表す言葉から由来しています。(さらに元をたどっていくと，数学者の名前から由来していました。)アルゴリズムを分かりやすく言うと，同じ種類の計算や問題を解くときに，いつも使える計算方法や手順のことです。小学校で学ぶたし算や引き算，かけ算，わり算は，計算のアルゴリズムです。３＋４＝７　という例で考えてみます。３を５にしたら５＋４＝９　こどもたちは，これで”＋”がたすというアルゴリズムであることを知ります。そして，こどもたちは，このしくみを発展させていきます。４を６にしたら結果はどうなるかな？５＋６＝１１ここで，こどもたちは十進法の壁に行き当たります。この壁を越えられるでしょうか。９の次は１０，９９の次は１００…こうなるのは，十進法の世界だけですね。おとなにとって当たり前でも，こどもたちにはこの表記法がとても不思議なのです。でも，お子さんの疑問を解決するツールが，日本にはあったのです。そ・ろ・ば・ん　です。そろばんが，９から１０へ移るときの理解を助けてくれます。９の次は，位がひとつ上がります。そろばんで実験しましょう。９９の次も，位がひとつ上がります。また，そろばんで実験ですよ。そして，そろばんの玉を数字にもどせば，十進法の数が表れます。　　◆　◆──────　　　◆◆　　　◆これは，５２６ですね。そろばんのアルゴリズムを６＋５で再現してみましょう。６＋５＝（５＋１）＋５＝（５＋５）＋１＝１０＋１＝１１６を５＋１で表す→これに５をたす→５＋５を瞬時に計算→ひとつ上の位に１と入れる。繰り上がりの計算の教科書的な説明は６＋５＝６＋(４＋１)＝(６＋４)＋１＝１０＋１＝１１これをタイルを使って説明します。共通しているのは，どちらも，１０を合成するために，数を一度分解することですね。繰り上がり計算の不得意なお子さんは，数の分解がにがてです。高い確率で，７＋８の結果を棒暗記しようと苦心しています。暗記したてで覚えているうちは，計算は速いです。でも，忘れてしまったら，指を使って計算します。こうならないように，低学年のうちに，数の分解をマスターしてください。７＋８の計算のしかたは，何通り見つかるか，お子さんと競争してみてください。７＋８＝２＋５＋８＝２＋８＋５＝１０＋５＝１５７＋８＝７＋３＋５＝１０＋５＝１５７＋８＝２＋５＋３＋５＝２＋３＋５＋５＝５＋５＋５＝１０＋５＝１５７＋８＝１０－３＋８＝１０＋８－３＝１８－３＝１５７＋８＝７＋３－３＋８＋２－２＝７＋３＋８＋２－３－２　　＝１０＋１０－５＝２０－５＝１５いろいろなアイデアが出てきます。新しいアイデアをお子さんが発見したら，心からほめてあげてください。お子さんが自分流のアルゴリズム(計算システム)を発見したら，記録しておきましょう。算数の公式発見の記録ノートを作っていくと，貴重な成長記録になります。世界でひとつだけの宝物になります。ほんとうのスピードは，このように何通りもの答えの出し方を練習し，アルゴリズムを発見することで，自然に身に備わってきます。機械的に計算することに，マックは否定的です。計算のしくみがマスターできている子には計算プリントの練習はある程度，有効でしょう。しかし，計算のしくみがわかっていないこどもたちにとっては，苦痛な単純作業でしかありません。計算のしくみの理解こそが，アルゴリズムを見抜き，応用問題の解答力に直結していく力の源になっています。文章問題などの応用問題が苦手なお子さんは，計算のしくみがマスターできていないと思って，まずまちがいありません。このようなこどもたちは，繰り上がりや繰り下がりの計算を，ほぼ２問に１問の割でまちがえます。ですから，数の分解のマスターこそが先決問題，優先事項です。その克服法で一番安上がりなのは，そろばんを買ってくることですね。そろばん用の安価な解説兼問題集も，大手書店で売っていると思います。(お子さんが中学生になっている知人がいたら，貸していただいてもいいですね。)◎中学数学・文章問題にアルゴリズムを発見！ゲームやビジネスなどのソフトのプログラムは，現代のアルゴリズムの代表選手です。科学の世界でも，自分で仮説を立て，モデルをつくり，実験していくためには，式をたてたり，論証とたりします。自分たちの未来を知るためにも，アルゴリズムをみつけることは必須です。(算数・数学を学ぶのは，アルゴリズムを自分で見つけ，それをもとに自分たちの未来を予測したり，計画したりするため，といっても過言ではありません。その練習ができるように，算数・数学の授業も組み立てられているべきですが…。)それでは，アルゴリズムをみつける旅に出かけましょう。方程式や関数は，アルゴリズムの世界，かつ，宝庫です。【問題】ボールを2ｍの高さから落とします。落とした高さの３／５だけバウンドする数学モデルを考えましょう。３回目にバウンドするときの高さは何ｃｍになりますか。【解説】小学生の受験クラスでやっている問題です。これを中学で習うやり方で解いてみましょう。一般的に話を進めるために，高さをｈｃｍとおきます。1回目のバウンドは　　　　　３ｈ　→　──　×　ｈ　　　　　　　５２回目のバウンドは　　　　　３　　　　　　　３　　　　──　×　(　──　×　ｈ　)　　　　　　　５　　　　　　　５３回目のバウンドは　　　　　３　　　　　　　３　　　　　　　３　　　　──　×　(　──　×　(　──　×　ｈ　)　)　　　　　　　　５　　　　　　　５　　　　　　　５もう一度，１回目をみてみると　　　　　３ｈ　→　──　×　ｈ　　　　　　　５ｈを□におきかえてみます。　　　　　３□　→　──　×　□　　　　　　　５最初は，□に　　ｈ　をいれます。　次は，□に　　３／５　×　ｈ　をいれます。　次の次は□に　　３／５　×　(　３／５　×　ｈ　)　をいれます。　次の次の次は□に　　３／５　×　(　３／５　×　(３／５　×　ｈ　)　)　をいれます。　関数で表します。落とす高さをｘ，バウンドする高さをｙとします。すると，ｙ＝０．６ｘという関数ができますね。ｙをｆ（ｘ）にして，高校数学流に表記します。ｆ（ｘ）の方が，説明しやすいのです。ｙ＝ｆ（ｘ）よってｆ（ｘ）＝０．６ｘ２回目のバウンドに入ります。そのために，すべてのｘ，　ａｌｌ　ｘ　を　ｆ（ｘ）　におきかえｒｅｐｌａｃｅます。ｆ（ｆ（ｘ））＝０．６ｆ（ｘ）＝０．６＾２ｘ(０．６＾２＝０．６×０．６　のことです。)再び，ｘをｆ（ｘ）におきかえます。ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝０．６ｆ（ｆ（ｘ））＝０．６（０．６＾２ｘ）＝０．６＾３ｘこれがアルゴリズムの精髄です。答えは，２００×０．６＾３＝４３．２　で　４３．２ｃｍ　です。　▼マックのひとりごとこの手のアルゴリズムは，遺伝子みたいに増殖していくイメージだね。▽貯金やローンで有名？な金利計算も，アルゴリズムそのものですね。元金を　Ｓ金利を　ｒ　として，１年複利で考えてみましょう。１年後に，元金は次のように増えます。Ｓ→Ｓ(１＋ｒ)この式にアルゴリズムが隠れていますね。「Ｓを(１＋ｒ)倍して，Ｓ(１＋ｒ)にしなさい。」Ｓを□におきかえてみると「□を(１＋ｒ)倍して，□×(１＋ｒ)にしなさい。」つまり□→□×(１＋ｒ)これが，「金利のアルゴリズム」です。２年後を調べますよ。□はＳ(１＋ｒ)になっていますね。Ｓ(１＋ｒ)→Ｓ(１＋ｒ)×(１＋ｒ)＝Ｓ(１＋ｒ)＾２さらに，３年後を調べます。□はＳ(１＋ｒ)＾２になっていますね。Ｓ(１＋ｒ)＾２→Ｓ(１＋ｒ)＾２×(１＋ｒ)＝Ｓ(１＋ｒ)＾３▼マックのつぶやきやっぱり，□→□×(１＋ｒ)　という遺伝子を伝えているなー。▽食塩の濃度も，繰り返しが出てきたら，アルゴリズムで解けます。【問題】濃度が２０％の食塩水が８００ｇあります。その１／５を捨てて，代わりに水を入れ，８００ｇにします。この操作を３回続けたら，濃度は何％になりますか。【解説】１回目の濃さをみてみましょう。食塩の重さは１６０ｇから１２０ｇに減少し，食塩水は８００ｇのまま。１２０÷８００×１００＝１５％アルゴリズムをみつけましょう。食塩水の重さはいつも８００ｇで不変なので，アルゴリズムが使えます。そこで，変化する食塩の重さに注目します。１６０ｇ→１６０ｇ×３／４＝１２０ｇ食塩の重さのアルゴリズムは，こうなりますね。□→□×３／４□に最初に入るのが，１６０ですね。１６０×３／４(１６０×３／４)×３／４＝１６０×（３／４）＾２(１６０×３／４)＾２×３／４＝１６０×（３／４）＾３操作を３回続けると，食塩の重さは１６０×（３／４）＾３(ｇ)濃度を求めます。答えは，１６０×（３／４）＾３÷８００×１００＝１３５÷１６＝８．４３７５　％結論をいっちゃうと(＝種明かしをしちゃうと)，比の積の世界そのものです。小学算数が分かっていれば，数学の問題も解けてしまうんですね。◇図形のエッセンス６◇　　さいころを積み重ねた立体図形の体積は，１段ずつ数えよう。　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学数学ノートから－－(準備３号)ここで，疑問が出てきます。(出てこないかな？)原点が入っていない場合の三角形の面積は，どうもとめるの？【問題】三角形ＡＢＣがあります。座標は点Ａが（６，－３），点Ｂが（８，２），点Ｃが（２，－１）です。三角形ＡＢＣの面積をもとめなさい。きのうかいた図の横に，この三角形ＡＢＣをかいてみましょう。三角形ＡＢＣと三角形ＰＱＯは合同になっていますね。三角形ＡＢＣで正直に解いたら，とても時間がかかりそうです。それに，計算まちがえしそうです。そこで，移動の術を使います。点Ｃ（２，－１）を原点に移動しますよ。そのためには，ｘ座標から２を引いて，ｙ座標に１を足してあげればいいのです。点Ｃ（２，－１）　→　（２－２，－１＋１）　＝　（０，０）　　　点Ａ（６，－３），点Ｂ（８，２）も同じ移動をしてあげないと，図が変形しちゃいますね。点Ａ（６，－３）　→　（６－２，－３＋１）　＝　（４，－２）　　点Ｂ（８，２）　→　（８－２，２＋１）　＝　（６，３）　　これで，原点入りの三角形ＯＰＱにもどりました。ここまで準備してから，計算スタートですよ。(それでは，みなさん，おつかれさまでした。)

  2003.09.27

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• 数をじょうずにお料理＜その６＞

  ◎サーヤは，修学旅行に出かけました。今ごろ，にぎやかにやってることでしょう。◎さて，サーヤと２日分のお話はしたので，森の学校はきょうもはじまります。(前回からのつづき)サーヤ「それって，ギリシアの数学者のエラトステネスの話でしょ。」マック「当たり！エラトステネスの篩(ふるい)で，素数を見つけていくんだったね。」◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　ここで余談です。　マックは記憶術が大好きです。けっこう調べたりしました。(そのうち，記憶術のコーナーも作りたいという野望？をいだいています。)　たとえば，数字を記憶するには”ペグワード”を使います。数字を仮名に変換し，物語をつくって覚えます。　　記憶術をやると，頭が柔らかくなります。発想の訓練になるからです。　たとえば，エラトステネスの覚え方で試してみると…　「エラの張った数学者，篩をもってトスしテネ，スっぱいだー。」　イラストは，へたでも，かいておきましょう。(マックはへたくそです。)　記憶の定着のため，１日１０回くらい繰り返し，朝・昼・夜に　映像といっしょに記憶します。　次に，週末にもう１０回繰り返して記憶します。　最後に１ヶ月目に１０回繰り返して記憶します。　駄目押しに，試験前の思い出し訓練をします。　これで，まず忘れられなくなります。　夏は終わってしまいましたが，夏の大三角形の白鳥座のデネブ，　マックは「白鳥はデブね。」で覚えています。夜空に太った白鳥が飛んでいる，そんなイメージが浮かんできます。(来年の私立中学受験の理科，火星が見える方向に夏の大三角形，この天体図が試験に出るかも…ですね。)◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇　◇サーヤ「１００までの自然数を篩(ふるい)にかけて，素数を調べてみましょ。」　　　　２，　３，　４，　５，　６，　７，　８，　９，１０１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，２０２１，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８，２９，３０３１，３２，３３，３４，３５，３６，３７，３８，３９，４０４１，４２，４３，４４，４５，４６，４７，４８，４９，５０５１，５２，５３，５４，５５，５６，５７，５８，５９，６０６１，６２，６３，６４，６５，６６，６７，６８，６９，７０７１，７２，７３，７４，７５，７６，７７，７８，７９，８０８１，８２，８３，８４，８５，８６，８７，８８，８９，９０９１，９２，９３，９４，９５，９６，９７，９８，９９，１００サーヤ「素数２を残して，２つ目ごとに２の合成数を消していく…。」　　　　２，　３，　　　　５，　　　　７，　　　　９１１，　　　１３，　　　１５，　　　１７，　　　１９　２１，　　　２３，　　　２５，　　　２７，　　　２９３１，　　　３３，　　　３５，　　　３７，　　　３９４１，　　　４３，　　　４５，　　　４７，　　　４９５１，　　　５３，　　　５５，　　　５７，　　　５９６１，　　　６３，　　　６５，　　　６７，　　　６９７１，　　　７３，　　　７５，　　　７７，　　　７９８１，　　　８３，　　　８５，　　　８７，　　　８９９１，　　　９３，　　　９５，　　　９７，　　　９９サーヤ「素数３を残して，３つ目ごとに３の合成数を消していく。消えた分も入れて３つ目ごとね。」　　　　２，　３，　　　　５，　　　　７，　　　　１１，　　　１３，　　　　　　　　　１７，　　　１９　　　　　　　２３，　　　２５，　　　　　　　　　２９３１，　　　　　　　　　３５，　　　３７，　　　４１，　　　４３，　　　　　　　　　４７，　　　４９　　　　　　５３，　　　５５，　　　　　　　　　５９６１，　　　　　　　　　６５，　　　６７，　　　７１，　　　７３，　　　　　　　　　７７，　　　７９　　　　　　８３，　　　８５，　　　　　　　　　８９９１，　　　　　　　　　９５，　　　９７　　　サーヤ「素数５を残して，５つ目ごとに５の合成数を消していく。消えた分も入れて５つ目ごと。フーッ。」　　　　２，　３，　　　　５，　　　　７，　　　　１１，　　　１３，　　　　　　　　　１７，　　　１９　　　　　　　２３，　　　　　　　　　　　　　　　２９３１，　　　　　　　　　　　　　　　３７，　　　４１，　　　４３，　　　　　　　　　４７，　　　４９　　　　　　５３，　　　　　　　　　　　　　　　５９６１，　　　　　　　　　　　　　　　６７，　　　７１，　　　７３，　　　　　　　　　７７，　　　７９　　　　　　８３，　　　　　　　　　　　　　　　８９９１，　　　　　　　　　　　　　　　９７　　　サーヤ「素数７を残して，７つ目ごとに７の合成数を消していく。消えた分も入れて７つ目ごと。」　　　　２，　３，　　　　５，　　　　７，　　　　１１，　　　１３，　　　　　　　　　１７，　　　１９　　　　　　　２３，　　　　　　　　　　　　　　　２９３１，　　　　　　　　　　　　　　　３７，　　　４１，　　　４３，　　　　　　　　　４７，　　　　　　　　　５３，　　　　　　　　　　　　　　　５９６１，　　　　　　　　　　　　　　　６７，　　　７１，　　　７３，　　　　　　　　　　　　　　　７９　　　　　　８３，　　　　　　　　　　　　　　　８９　　　　　　　　　　　　　　　　　　９７　　　サーヤ「２５個の素数が残ったわ。」マック「お疲れさま。これで完成だ。大切なことは，素数は７まで調べれば，完成するということなんだ。そのことを理解するために，もう一度，篩(ふるい)にかけて試してみようね。」サーヤ「さっそく実験！まず，９までの自然数のうち，素数はいくつか調べてみようっと。」素数３は，まだ，封印しておきましょね。そして，９の手前の８までならべて，２，３，４，５，６，７，８２は素数なので残します。２つ目ごとに２の合成数を消しましょう。残っているのは，２，３，５，７９は次の素数３の封印を解けば，３の合成数として一番最初に消えますね。マック「これで完成。４個みつかったね。」サーヤ「９＝３×３だから，素数３を封印したのね。８までの世界で起こっていることは…素数２で合成数を調べつくし，残っているのは素数だけ。８までの自然数については，素数２だけで調べればいいのね。▽次は，２５までの自然数の中に，素数はいくつあるかな？」２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５　　　　　　　　　　　　　，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２３，２４，２５２５はフロンティア。最前線。まずは，２４までの自然数をならべます。素数５は封印しておきますよ。２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５　　　　　　　　　　　　　，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２３，２４素数２は残し，その合成数を２つ目ごとに消します。２，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９，２１，２３素数３は残し，その合成数を３つ目ごとに消します。すでに消えている数もふくめて３つ目ごとに，ですよ。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３４は合成数なので，無視ですね。ここで，２５にもどってきてもらいます。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２５いよいよ，素数５の封印を解きますよ。素数５は残し，その合成数を５つ目ごとに消します。でも，最初に消えるのは２５ですね！２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３マック「２５＝５×５　はフロンティア。これから封印を解くと真っ先に消える位置にあるのが，２５。」サーヤ「これで，９個の素数がみつかったわね。まとめておくわ。」　　素数２と３まで合成数を消した結果，　５の合成数で，残っている一番小さな数が２５。　だから，５の合成数を消しなさいといわれて，　最初に消すべき数が２５。▽サーヤ「４９でも同じかしら。やってみようっと。」４９＝７×７　はフロンティア。素数７を封印します。４８から下の自然数で考えて，まず，素数２の合成数を消すと，２，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９，２１，２３，２５，２７，２９　　　　　　　　　　　　　　　　　，３１，３３，３５，３７，３９，４１，４３，４５，４７素数３の合成数を消すと，最初に消えるのは　３×３＝９　ですね。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２５，２９，３１，３５，３７，４１，４３，４７素数５の合成数を消すと，最初に消えるのは　５×５＝２５　ですね。　　　　　　　　　　　　　　　　　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７ここで，素数７の封印を解きます。４９ももどってきてもらいます。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，４９素数７の合成数を消すと，最初に消えるのは　７×７＝４９　で，４９までの自然数なので，これで完結です。　　　　　　　　　　　　　　　▽サーヤ「１２１までの自然数の場合は，１２１＝１１×１１　だから，１２１をはずして，数をならべ…。」マック「１０も合成数，９も合成数，８も合成数だから，１２１までの数の素数を調べる場合，素数７までの篩(ふるい）のテストをしてあげればいいのさ。」サーヤ「１２１まで素数さがしを１個ずつやっていったら大変だものね。だから，この方法は，手間をはぶいてくれる大切な法則ね。」◎お家の方へきょうのテーマに使った法則は，実際には次のように表現します。「ある素数ｐに達したならば，ｐ×ｐよりも小さい自然数で消えずに残っているものはすべて素数である。」たとえば，素数１１の場合は，素数７までの合成数は篩(ふるい）のテストで消えており，(実際に　２２，３３，４４，５５，６６，７７，８８，９９，１１０　はテストで消えてますね。)素数１１の合成数として残っているフロンティアの数が，１２１なのです。そして，１２１より小さな数で残っている自然数は，テストで生き残った素数たちだけです。◇図形のエッセンス５◇　　相似な図形の線分比→面積比→体積比　　　　ａ　：　ｂ　→　ａ×ａ　：　ｂ×ｂ　→　ａ×ａ×ａ　：　ｂ×ｂ×ｂ　　　　一辺１ｃｍのさいころと　一辺２ｃｍのさいころ　でイメージしましょう。　　　　　１　：　２　→　１×１　：　２×２　→　１×１×１　：　２×２×２　　　　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学生数学ノートから－－(準備２号)きのうの中学数学ノートで，行列式の罫線がぼろぼろでした。見にくかったでしょう。ごめんなさいね。きょうは，ノートで次の例題をやって，確認してもらおうと思います。罫線のくずれは，かんべんね。【例題】原点をＯとします。点Ｐと点Ｑの座標がそれぞれ　(４，－２)と(６，３)のとき，　　　　三角形ＯＰＱの面積をもとめなさい。［解答］　　ノートにｘ軸とｙ軸をかいて，原点Ｏと点Ｐ，点Ｑをプロットし，三角形ＯＰＱをつくります。　　次に，三角形を取り囲む四角形をつくり，面積をＳとして，　　　　　　　　　　　　１　　Ｓ　＝　３０　－　──　（３×６＋２×４＋２×５）　＝　１２　　　　　　　　　　　　２　　答えは　１２　ですね。　　　これを，行列式でやってみると，Δ　＝　│４　－２│　＝　４×３－６×（－２）　＝　２４　　　　　　│６　　 ３│したがって，　　　　　１Ｓ　＝　──　×　Δ　＝　１２　　　　　２…

  2003.09.26

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• 数をじょうずにお料理＜その５＞

  ◎中学数学ノートを久しぶりに眺めていました。今年から高校生になった娘のカオリン用に作った，マック特製の高校受験数学の参考書です。まだ，半年前までは使っていたノートなのですが，こどもの成長が速いのか，なぜかとてもなつかしいのです。中には中学校の範囲を超えている考え方や解き方も入っています。でも，知っておくととても便利なものも，たくさんあります。マックはふと，閃きました。この中から，現役の中学生の子たちに使える項目を，週１回くらいのペースで日記に書いていこうと。サーヤもあと半年で中学生。塾の６年生の子たちももあと半年で中学生。そろそろ，最新版の中学数学ノートをつくるタイミングでもあるのです。そこで，現役の中学生のみなさんにも，いろいろな意見や質問・感想を寄せていただけたら，マックはとてもとてもうれしい限りです。よろしく，お願いします。◎サーヤは宿題やってきたでしょうか。実は，サーヤはあしたから，１泊の修学旅行に行きます。日光ですが，お土産やお買い物のことが気になっているみたいです。雨が止みますように…。◎きょうも森の学校のはじまりです。マック「０～９９９までの数の中で，５という数字を使わない数が何個あるか，分かったかい？」サーヤ「百の位で使える数字は５を除いた９個の数字でしょ。十の位も一の位も同じね。これって，場合の数だから『積の法則』を使って９×９×９＝７２９答えは７２９個ね。」マック「大正解！『積の法則』もちゃんと使えたね。場合の数については，後の回であつかおうね。それでは，きょうの問題。数え上げの問題だよ。１から１０までの整数をかけると，左はしに０は何個つくか，調べてみよう。」１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０サーヤ「そうね。０に関係するグループと関係しないグループに分けてみようっと。０に関係するグループ　→　２と５と１００に関係するグループ　→　１，３，４，６，７，８，９０に関係する数をかけてみると，こうなるわ。２×５×１０＝１００だから，０が２個つく。」マック「そうだね。正解。１０は２と５で，できていると考えればいいね。２の方はたくさんあるけれど，５の方は２個だけ。」サーヤ「５の数が０の数と同じということね。」マック「そうなんだ。だから，５の数を数え上げれば，それがこ・た・え。」☆［問題］☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆１×２×３×４×５×６×…×５０の積は右はしに０が何個つきますか。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サーヤ「５を数え上げるのね。」　５　　１×５１０　　２×５１５　　３×５２０　　４×５２５　　５×５３０　　６×５３５　　７×５４０　　８×５４５　　９×５５０　　２×５×５サーヤ「５はぜんぶで１２個あったから，０も１２個つくのね。」マック「絶好調だね。２５と５０は，５が二つずつかくれているから，みんな，ここでよくひっかかるんだ。それと，今サーヤが数え上げるのに使った積の形を何ていうんだっけ？」◇◇森のなかまのナレーション：話は素数の世界に入っていきます。◇◇サーヤ「『素因数分解』でしょ。」マック「質問していくよ。素数とは？」サーヤ「約数が１と自分の数しかない整数。つまり，１列ならびしかできない整数を素数っていうのよ。たとえば，　２，３，５，７で実験してみると２＝１×２３＝１×３５＝１×５７＝１×７１列ならびでしょ。だけど，４や６や８は約数がほかにもあり，１列以外にも並べるしね。４＝２×２６＝２×３８＝２×４こういう数は素数じゃないわ。」マック「素数でない整数を何ていうのかな？」サーヤ「合成数ね。素数が組み合わさって，いろんな整数ができる。それで，合成数をもとの素数であらわすことが，素因数分解。」マック「そうだね。素数の世界では，整数は１を除いて，素数か合成数かのどちらか。」サーヤ「１は素数に入れないって，どう説明するんだっけ。」マック「どんな合成数も，一意的に素因数分解できるという，重要なルールがあるんだったね。合成数を素因数に分解して，答えが２つも３つも出てきたら困るんだ。一意的というのは，１対１，ワン・アンド・オンリーワンということなんだ。サーヤ「一意的って，かびくさい言い方ね。」マック「数学の世界にしか残っていないかもね。英語で言った方がかっこいいかも。　いかなる実数に対しても　→　ｆｏｒ　ａｎｙ　ｒｅａｌ　ｎｕｍｂｅｒｓ　～に従って　　　　　　　　　→　ｓｕｂｊｅｃｔ　ｔｏ　～　条件　：　　　　　　　　　　　→　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　：　でも，日本語の言いまわしは，古いけれど，簡潔明瞭，しかも機能的なんだ。先に進もうね。たとえば，１８で考えてみるよ。１８＝２×３×３　となって，１対１で対応，一意的。」サーヤ「ここに，１をもってくると，１８＝１×２×３×３　という表し方も登場し，１対１でなくなってしまうわね。」マック「分かったかい。もうひとつ，ここで覚えておきたいルールがあるんだ。」サーヤ「どんなルールだっけ？」マック「１回やっておけば分かるよ。次回に実験しよう。」サーヤ「思い出した！」(つづく)◇図形のエッセンス４◇　　３０°６０°９０°の三角じょうぎの辺の長さの比は　　中に正三角形をつくれば出てくるよ！　　　一番短い辺の長さ　：　一番長い辺の長さ　＝　１　：　２　　　　　　　ある角が１５°の直角三角形をイメージしますよ。　　次に直角三角形を折り返し，頂角３０°の二等辺三角形をイメージ。　　面積の求め方が，うかんできましたか。　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。◎マックの中学生数学ノートから－－(準備号)　座標平面の３点Ｏ，Ｐ，Ｑを結んでできる三角形の面積Ｓを求めましょう。点Ｏは原点（０，０），点Ｐ(ａ，ｂ)，Ｑ(ｃ，ｄ)　としますね。　実際に計算してみましょう。　　　　　　１　　Ｓ＝ ── ×　(ａｄ－ｂｃ　)　　　　　２になりましたか。ここで　Δ＝ａｄ－ｂｃ　とおきます。　　(Δは”デルタ”と読みます。)　面積Ｓは　　　　　１　　Ｓ ＝ ──　×　Δ　　　　　２　で求められる，というのが，この式のエッセンスなのです。　　　　　│　ａ　　ｂ　│　Δ＝　 │　　　　　　│　　　　│　ｃ　　ｄ　│と，表します。そして，この右辺を行列式といいます。行列式から　Δ＝ａｄ－ｂｃ　をみてみましょう。ａとｄをかけるとき，ａからｄへ，右下に線をおろす動作をしますね。かいてみてください。この動作をプラスと決めます。これで　ａｄ　が出てきます。ｃとｂをかけるとき，ｃからｂへ，右下に線をおろす動作をしますね。かいてみてください。この動作をマイナスと決めます。これで　－ｂｃ　が出てきました。両方あわせて，ａｄ－ｂｃ　になりますね。点Ｐと点Ｑの位置関係は，原点を中心にして，点Ｐから点Ｑへ向かうとき時計と反対回りになればプラス，時計回りならマイナスと定義します。(大学で学ぶ交代積やベクトル積の話なもんで，ややこしいかも。)だから，いつも時計と逆回りになるように点Ｐと点Ｑを決めます。これを逆に決めると，Δが負の値になってしまいます。だから，負になったら，さらに負をかけてプラスにしてしまうという，荒業(あらわざ)を使ってもいいです。その場合，Δは│Δ│としてしまいます。│Δ│は”絶対値デルタ”と読みます。使い方は，こうです。　　│２│＝２　　│－２│＝２絶対値は，正でも負でも，みんなまとめて正にする，という記号です。　　│５－８│＝│－３│＝３高校生になると，いっぱい出てきますよ。○今日のまとめ　　座標平面の原点Ｏと点Ｐ(ａ，ｂ)，点Ｑ(ｃ，ｄ)を結んでできる三角形の面積Ｓは　 　　　　　１ 　　　　│　ａ　　ｂ　│　　Ｓ ＝ ── ×　 　│　　　　　　│　 　　　　　　　　　　 ２　　　　　│　ｃ　　ｄ　│　　この公式は，検算で使えますね。

  2003.09.25

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• 数をじょうずにお料理＜その４＞

  ◎あいにくの雨模様ですが，『クルミと森のなかまたち』の学校は，いつもと変わらず始まりますよ。マック「きょうは，数字のカードで問題だよ。０から９までの一桁(ひとけた)の数をかんじょうしてみて。」０，１，２，３，４，５，６，７，８，９サーヤ「全部で１０個。」マック「０から９までの数字のカードが，全部１回ずつ使われてるね。」サーヤ「１０÷１０＝１　で１回ずつね。」マック「それじゃ，二桁(ふたけた)の数にいくよ。」☆【今日の問題】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サラという名の少女が，友だちの誕生パーティに呼ばれました。友だちは，パーティで数占いをするため，サラに頼みました。「ねえ，サラ。０から９までの数字のカードを使って，０から９９までの数をならべたいの。数字の５のカードを用意してきて，お願いね。」サラは，いったい５のカードを何枚用意していけばいいでしょう。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆【解説】サーヤ「全部書けなんて，言わないでしょうね？」マック「かわいい子には旅をさせろ，かな。まず，全部二桁にしておこう。０は００，１は０１…。０から９９までの数は１００個だね。計算してみて。」サーヤ「９９－０＋１＝１００。」マック「そうだね。出てくる数字は全部でいくつになる？」サーヤ「２が単位量の●で，１００が▲だから●×▲＝■２×１００＝２００全部で２００個の数字が使われているのね。」マック「数字のカードは，０から９までの１０種類しかない。すべての数字が平均して使われているのは，０から９までの数の場合と同じだね。」サーヤ「２００÷１０＝２０答えは２０枚ね。ほんとかしら。数えてみよーっと。」５，１５，２５，３５，４５，６５，７５，８５，９５で９回５０，５１，５２，５３，５４，５５，５６，５７，５８，５９で１１回マック「三桁(みけた)でも同じことだね。」☆【今日の問題２】☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆０から９９９の数に，５の数字が何回使われているか，調べましょう。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆サーヤ「三桁で，５が出てくるのは…。」マック「０～９９９までに，数は１０００個。」サーヤ「０を０００，１を００１などと表すことにすれば，使われる数字は３×１０００＝３０００個。」マック「３０００÷１０＝３００だから…。」サーヤ「５は３００回出てくるのね。」マック「このように考えて時間を節約するのも，算数・数学なんだ。必要は発明の母だね。」サーヤ「不精は算数の母？」マック「？？　おまけだよ。０～９９９までの数の中で，５という数字を使っていない数は何個あるかな？」サーヤ「５の数字カードを使わない数ね。簡単に答えを出すには，００１から始めて除くのは，００５と０１５と０２５と…。宿題ね。」◇図形のエッセンス３◇　　金太郎飴(あめ)，どこで水平に輪切りにしても同じ形の空間図形は　　　底面積×高さ＝体積　　　　●　×　▲　＝　■　　で解きましょね。　　　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。

  2003.09.24

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• 数をじょうずにお料理＜その３＞

  ◎きのう，６年のＴくんから，マックがなぜ算数を教えるようになったのか，質問がありました。マックは２年ほど前までは，高校生を中心に教えていました。そして，中学校の数学が分かっていない子が多くて，これは何とかしないといけないって，ずっと，ずっと考えていました。数学をつまらなくしたのは，だれだ！マックはどんどん時間をさかのぼり，たどりついたのが，小学校の算数でした。小学生の娘，サーヤのテキストやノート，答案用紙，参考書，問題集，どれをとっても魅力を感じません。時どき，面白いページもあるのですが，基本的につまらない。サーヤがこんなつまらない勉強をしていたかと思うと，がっくりきました。高校数学にばかり目が行って，娘の算数の実態を知らなかったとは，痛恨のいたりでした。本当の算数・数学はちがう！マックは，後にサーヤがクルミと名づけたツールをつくり，サーヤと算数の研究をはじめました。あるときは，高校レベルの考え方もとりいれ，ゲームや物語を二人でつくったりして…こうして，『クルミと森のなかまたち』が誕生しました。サーヤの友だちや友人の子どもたちに，このツールで試しに教えてみました。すると，こどもたちが「楽しい」って，感想を寄せてくれました。「おじさんのところで勉強したい」とかけつけてくれたの子がＴくんでした。『クルミと森のなかまたち』に新しいなかまができると，サーヤに最初に試してもらいます。たとえば，剰余系の話は３０分で理解してくれました。ダイヤグラムも１回教えただけで，あとは問題を自分でこなしています。(『いちごの妖精』というなかまも最近できました。)メビウスの輪をつくったり，ピタゴラスの定理を庭で実験したり…。比例の話から一次方程式や双曲線，負の数に発展するなど，小学生だからこそ，いろんなことに興味が出てきます。小学生も，たくさんのことが知りたいのです。同じことを繰り返しやる，これも大切です。しかし，新しい好奇心のわいてくる話や実験に広がっていかないと，息がつまってしまいます。特に，数学の世界は，先へ進むほど解答が容易になってきます。学校よりも数歩先，力がついたら１年生でも，２年生・３年生の数学に進んだ方が，本当は解答は簡単なのです。算数，数学はそのような性質があるので，分からないところでぐずぐずしていると，つまりません。本当の算数嫌い，数学嫌いになってしまいます。逆に，今は分からなくても，先に進んでもう一度，分からなかったところに戻ると，霧が晴れたように分かるときが来ます。マックの塾の小学生のこどもたちは，中学数学・高校数学の考え方も学んでいます。先の先，高校生になっても，たとえば体積の積分を習う際に，この子たちは，マックの塾の体積の求め方でやったと思い出してくれるでしょう。教えるマックも，小学生が一番頭が柔軟で，教えやすいと感じています。小学生の子の能力はおそるべしです。教えた分だけ入っていきます。反対に，少なくインプットすれば，アウトプットも少ないようです。こどもたちの成長を実感できることが，マックの何よりの励みとなっています。電車で片道１時間かかるところから来ている子もいます。こんなわけで，小学生のこどもたちを教えるのが楽しいマックです。(もちろん，がんばり屋の中学生・高校生の子も好きですよ。)◎きのうの話のつづきです。マック「数を次のように表していく有名問題を考えてみよう。６はどう表せばいいかな？」●●○＝１●○●＝２●○○＝３○●●＝４○●○＝５サーヤ「金貨のふくろで考えると，右はしが金貨１枚のふくろ，真ん中が金貨２枚のふくろ，そして，左はしが金貨４枚のふくろだわ！（金貨４枚，金貨２枚，金貨１枚）そして，○はそのふくろが「ある」，●はそのふくろが「ない」を表している。６枚は　４＋２　だから（ある，ある，ない）○●の記号で表せば○○●どう，正解でしょ。」マック「さすがだね。７も分かるね。」サーヤ「４＋２＋１　だから，（ある，ある，ある）○●の記号で表せば○○○になるわ。金貨の入ったふくろで考えると楽しいわ。」◇図形のエッセンス２◇　　ひし形の面積は，四角にすれば分かります。　　　対角線×対角線÷２　　　直角二等辺三角形は，正方形＝ひし形の一部だよ。　　図をかいて確かめてね。　　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。

  2003.09.23

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• 数をじょうずにお料理＜その２＞

  ◎先日の日記に「にわとりの足を，４本とまちがえている子がいる。」と書きました。Ｓ学園のＨ子さんの友だちにも，いたそうです。きのうの日曜特訓の休み時間に，彼女から教えてくれました。４本の子，まだまだたくさん，発見できそうですね。◎分量が多過ぎるので，剰余系のシリーズは，急きょ後回しにします。小６受験クラスの子は，正直に言って，ここをゆっくりやっている時間的余裕はありません。しかし，この剰余系や素数などの知識がないと，解答もどこか頼りありません。ですから，受験クラスのお子さんは，時間のある小学５年生までに，この分野をマスターしてしまうことをお奨めします。整数問題はとっつきやすいので，小学生のお子さんに人気があるんですよ。それと，公立中学に進むお子さんは，剰余系など，学校では教えてくれない分野を，じっくりと学んでおきましょうね。算数の力をつけておけば，数学が得意になること請け合いです。学校の算数だけしかやらなかった，では時間がとてもとても，もったいないって，マックは思います。(マックは，そのうち『学校では教えてくれない算数・数学』を特集しようかと考えています。)◎それでは，きょうの物語の始まりです。マック「昔むかし，ミミタン王国という美しい国があった。」サーヤ「どこにあったの？」マック「砂ばくの中のオアシスにあったのさ。」ミミタン王国にはおかしな法律があった。ミミタン王国のお金は金貨しかなく，それも金貨１枚で１ミタールだった。お金を使うときは，王様のしるしのついた袋を使うことになっていて，１度その袋に金貨を入れたら，王様以外は絶対に袋を開けてはならない。こんな法律だ。」サーヤ「なんか，むちゃくちゃな法律ね。」マック「ある日，外国商人と商いをしているヤフーホフが，市場に品物を仕入れに行った。予算は最大で６３ミタールだ。」サーヤ「そろそろ，問題ね。」［問題］６３枚の金貨を１ミタールから６３ミタールまでの支払いができるように６つの袋に分けなさい。マック「このタイプの問題，中学入試にときどき出てくるんだ。小さな数から順を追って推理していけば，解けるよ。」サーヤ「まず，１は必要ね。　→(　１　)　　　　　　２も３を出すために必要。　　→(　１，２　)　　　　　　３は１＋２で出てくるから，いらないでしょ。でも，４は１と２でから出てこないから，必要よね。」　→(　１，２，４　)　　　　　　マック「どんどん続けて。」サーヤ「フーッ。５は１＋４で出てくるから，いらないでしょ。６も２＋４で出てくるし，７も１＋２＋４で出てくるから，いらない。８は…新しく作らないとないわ。」　→(　１，２，４，８　)　　　　　　マック「今までで作った数をならべてみよう。」１，２，４，８，…サーヤ「２倍ずつ増えている！ということは，次は１６の袋をつくり，それから３２の袋をつくるのね。」マック「袋の中の金貨の枚数を全部足してみると？」１＋２＋４＋８＋１６＋３２＝６３サーヤ「たとえば，５２ミタールなら３２＋１６＋４＝５２ちゃんと出てくる！答えは，１，２，４，８，１６，３２　ね。」マック「正解！実は，これは２進法を使った問題なんだ。計算や図形など，いろいろな形になって，中学入試に出題されてるよ。」サーヤ「２進法が分からなくても解けそうな気がするけれど。」マック「そのとおり。知らなくてもできる。今，サーヤが解いたようにね。」サーヤ「でも，２進法っておもしろそう。もっと，聞かせて。」マック「そうだね。金貨のふくろで２進法の練習をしようか。」(と，サーヤとの話は続くのでした。)◇図形のエッセンス１◇　　平面図形を軸のまわりに回転するときは，いつも　　　半径　→　底面積　→　円柱・三角すいの体積　　の順に解きましょね。　　　※１日１項目だけ。図形のイメージ訓練です。　　　

  2003.09.22

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• 数をじょうずにお料理＜その１＞

  ◎昨日の地震は不気味でした。横揺れが長く続きました。きょうも台風の影響で雨模様。読書をするには最高の天気…です。日曜特訓にきている元気なこどもたちに囲まれ，きょうもマックは大忙しです。◎前回の宿題の答えからはじめます。　２００－１５０＝５０　●は５０円／さつ　■は３００円　■÷●＝３００円÷５０円／さつ＝６さつ　(２２－６)÷２＋６＝１４　　　　答え　１４さつ◎毎日，こどもたちを教えながら書く内容をセレクトしています。それで，話があっちこっちに行ってしまいますが，後日，まとめようと考えてます。☆また，小学生のみなさんからリクエストがあれば，その話題にも触れて行きたいと思っています。◎数の問題，とりわけ整数の問題は，公式らしい公式があまりないのが，特徴です。変な特徴ですね。それで，問題を解くには柔軟な思考と総合力がものをいいます。しかし，試験時間中に一度も見たこともない問題を解くのは，負担が大き過ぎですね。日記に１０回シリーズで＜整数の問題＞に焦点をあててみます。代表的な問題や考え方を整理していきます。名づけて，数のお料理教室！◎グキキの法則？マック「グキキの法則って知ってるかい？」サーヤ「どうせ，パパが勝手につけたんでしょ。」マック「ばれたか。でも，数の世界では少しの工夫で楽に解ける考え方があるんだ。」サーヤ「知っているかどうか，が運命の分かれ道ね。」マック「敵の術中にはまらない。スマートな解決法があるかもしれない。これは問題をいろいろ解いていくうちに身についてくる力だね。」サーヤ「それで，どんな問題？」☆［今日の問題］☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆次のような数の列の５０番目は２の倍数になるかどうか，答えなさい。１，２，３，５，８，１３，２１，３４…☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆マック「数の列にどんな規則があるか，分かるかい？」サーヤ「３番目は１番目と２番目の和でしょ。４番目は２番目と３番目の和。」マック「その通り。さー，それからどうする？」サーヤ「９番目の数は２１＋３４＝５５１０番目の数は３４＋５５＝８９１１番目の数は５５＋８９＝１４４もういやになったわ！」マック「サーヤがどこまでやるのか，見ていたけれど，そうなんだ。こんなことやっていたら，明日になっちゃう。それで，偶数と奇数に登場してもらう。数を偶数か奇数かでシンプルにしちゃおう。」サーヤ「そうかー。それでグキキの法則なんて言ってたのね。」マック「偶数をグ，奇数をキと言うことにするよ。学校で教わった法則を思い出して！　グ＋グ＝グ　　　たとえば　２＋６＝８　グ＋キ＝キ　　　たとえば　２＋５＝７　キ＋グ＝キ　　　たとえば　５＋２＝７　キ＋キ＝グ　　　たとえば　３＋５＝８だったね。」サーヤ「それを使うと，１番目　キ２番目　グ３番目　キ＋グ＝キ４番目　グ＋キ＝キ　５番目　キ＋キ＝グ　６番目　キ＋グ＝キ７番目　グ＋キ＝キ　８番目　キ＋キ＝グ　９番目　キ＋グ＝キ１０番目　グ＋キ＝キ　１１番目　キ＋キ＝グ　２番目からグキキ，グキキと続いているわ。」マック「３回ごとにグキキ…３回周期だね。」サーヤ「グになっているのは，２番目，５番目，８番目，…３で割ると２あまる番号ね。５０番目は…５０÷３＝１６　あまり２そうかー。５０番目はグのところ。だから，２の倍数になってる！答えは『２の倍数になってる』ね。」マック「学校の教科書にものっている『偶数と奇数の和の性質』を使ったいい問題だね。」サーヤ「教科書，大切にしなくちゃ。」◇数のワンポイント・レッスン＜剰余系２＞きょうは７を割る数にして，１から順に割っていきますよ。１÷７＝０　余り１２÷７＝０　余り２３÷７＝０　余り３４÷７＝０　余り４５÷７＝０　余り５６÷７＝０　余り６７÷７＝１　余り０８÷７＝１　余り１９÷７＝１　余り２今回から余りの数に注目して式をたてていくので，　「余り０」　が登場しました。剰余系の世界では，割る数を「法」とよびます。７が割る数なら，「法７」。(ほー，そーなんだ…。)さて，余りに注目して，剰余系での式の表し方をマスターしましょう。１÷７＝０　余り１　　　は　　　１≡１　(法７)小学生のみなさんは，(法７)の代わりに(割る数７)でおぼえておきましょね。中学生のみなさんは，三角形の合同を表す「≡」とごっちゃにしないでくださいね。標準の表記法は「　１　ｍｏｄ　７　＝　１　」ですが，≡を使った表記法もシンプルで人気があります。１÷７＝０　余り１　　　は　　　１≡１　(割る数７)２÷７＝０　余り２　　　は　　　２≡２　(割る数７)３÷７＝０　余り３　　　は　　　３≡３　(割る数７)４÷７＝０　余り４　　　は　　　４≡４　(割る数７)５÷７＝０　余り５　　　は　　　５≡５　(割る数７)６÷７＝０　余り６　　　は　　　６≡６　(割る数７)７÷７＝１　余り０　　　は　　　７≡０　(割る数７)８÷７＝１　余り１　　　は　　　８≡１　(割る数７)９÷７＝１　余り２　　　は　　　９≡２　(割る数７)次に，余りが同じになる数をあつめてみましょう。１÷７＝０　余り１　　　は　　　１≡１　(割る数７)８÷７＝０　余り１　　　は　　　８≡１　(割る数７)１５÷７＝０　余り１　　は　　１５≡１　(割る数７)２２÷７＝０　余り１　　は　　２２≡１　(割る数７)「割る数７」の世界では，　１，８，１５，２２　は　余りが１で，みな兄弟です。余りが同じ兄弟を集めれば，「割る数が７の世界で，余りが１になる剰余類」というグループのできあがりです。もうお分かりのように，日歴算はこの考え方を使っているのですね。◎お家の方へ小学４年生・５年生のお子さんに剰余系を説明するために，マックの塾では物語をつくって教えています。　シーンは森の中の沼です。　この沼には数を食べるピラモンというモンスターが棲(す)んでいます。　きょうは，ピラモンが３という数を食べる日です。　「数の１７」がやってきました。　何も知らないで，「数の１７」は沼をわたり始めました。　ピラモンがそーっと後ろから近づいてきますが，「数の１７」は気がつきません。　パクッ，パクッ，…１７を食べ始めました。　　１７≡１４≡１１≡８≡５≡２　　(割る数３)　「数の１７」は，沼をわたり終えるころには「数の２」になってしまいました。こどもたちは，この物語からいろいろな発見をします。１０からスタートして，「法３」つまり「割る数が３」の世界でどのようなことが起こるか？１００ならどうなるか？１０００ならどうなるか？ぜひ，お子さんとお話してみてくださいね。

  2003.09.21

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• モニカとクララと魔法のつえ＜その１１＞

  ◎マックは週に２～３回，午後９時ごろから約１時間ほど散歩をしています。夏のにぎわいも去り，海辺の街は落ち着きを取り戻したので，歩きやすくなりました。嫁さんや近所の友人たちと，おしゃべりしながら歩くので，あっという間に１時間がたちます。散歩は体にいいです。デスクワークがほとんどなので，以前はけっこう腰痛で悩んでいました。それではじめた夜の散歩ですが，２年が過ぎ，今では腰痛知らずです。でも，一人では続けられなかったと思います。それで仲間を募り，歩きます。歩いていると，四季折々の発見もできますね。『歩き隊』と名づけて，夜の街を数人で歩いています。◎きょうは，『まちがえて買ってしまった算』をやります。Ｉ子「マック先生，『まちがえて買った算』てほんとの名前じゃないんでしょ？」マック「『とりちがえ算』でもいいし，『かんちがいしてあべこべに買った算』でもいいし，ネーミングはみんなに分かりやすい方がいいんだ。こういうへんてこな名前の方が，Ｉ子さんも忘れないし。」Ｉ子「ええ，変な名前なので，忘れられないわ。」マック「…さっそく，問題に入るよ。」［例題Ｑ］サラはお母さんに買い物を頼まれました。お母さんからおつりのないようにお金をもらい，森のケーキショップで１個３００円のケーキと１個２２０円のクルミパンを合わせて１０個買いました。でも，サラは数をあべこべにして買ってきたので，１６０円お金があまってしまいました。サラはケーキとクルミパンをいくつずつ買うように頼まれたのでしょうか。［解説］Ｉ子「お母さんに頼まれたとおりに買えば，おつりはなかったのよね。」マック「だから，値段の安いクルミパンの数が増え，値段の高いケーキの数が減ったと考えられるね。いつものとおり，まず単位量は？」Ｉ子「ケーキを１個減らして，クルミパンを１個増やすと，払う金額は８０円減るから…●は８０円／個でしょ。■も１６０円と分かっているから，■÷●＝▲分かった！１６０円÷８０円／個＝２個」２個まちがえたのね。」マック「１０個のうち，２個まちがえたということは，残り８個はまちがえていない。」Ｉ子「２個だけが出たり入ったりしてるから，数の組み合わせは４と６しかないわ。ケーキの方が多かったから，ケーキが６個で，パン４個。」マック「そのとおり！２個の差を線分図に書いて，和が１０個の和差算で解いてもいいよね。」【宿題0920号】みおちゃんは，１さつ２００円と１５０円のノートをあわせて２２さつ買いに行きました。でも，はじめに予定していた数とはあべこべに買ってしまったので，しはらった代金は３００円少なくなりました。２００円のノートを何さつ買う予定でしたか。※宿題の答えは次回に！◇数のワンポイント・レッスン＜剰余系１＞割り算をして割り切れないすると，余りが出てきますね。まず，３で整数を割って実験しましょう。３÷３＝１　４÷３＝１　余り１５÷３＝１　余り２６÷３＝２７÷３＝２　余り１８÷３＝２　余り２ところで，１÷３や２÷３は，式と余りをどう表せばいいのでしょうか。４÷３＝１　余り１は「４は　３が１個分　と　１」と読めますね。式で表すと４＝３×１＋１　　これと同じように考えてあげればいいのですよ。１＝３×０＋１２＝３×０＋２（マックから一言：こういう表し方に慣れておくことが，算数力アップのひけつですよ！）上の式の形を変えて１÷３＝０　余り１２÷３＝０　余り２(つづく)

  2003.09.20

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• ６年用　『森の記録係』で解ける分数問題！

  ◎塾の６年生の子から，次の問題の解法のリクエストがきました。次のような有名問題です。分数の応用ですね。［例題］ロレインが，きいちごを３つのお皿Ａ，Ｂ，Ｃに盛(も)っています。そこに兄のホームズがやってきて，「ねえ，ロレイン。きいちごの数は同じにした方がいいよ。」といいました。「あっ，いけない。考え事をしていたので，数をまちがえちゃったわ。」「ロレイン，見ておいで。こうやれば，数が同じになるよ。」算数好きなホームズは，次のようにきいちごを移動しました。まず，Ａに盛られているきいちごの１／３をＢに移し，それからＢに盛られているきいちごの１／３をＣに移し，最後にＣに盛られているきいちごの１／３をＡに移しました。これで，どのお皿のきいちごの数も１６個と同じです。ロレインが最初にＡ，Ｂ，Ｃに盛ったきいちごの数は，それぞれ何個ですか。☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆［解説の前の雑談］数の移り変わりが複雑です。マックの塾では『森の記録係』を使って解きます簿記を知っている人は，『森の記録係』の動きが一瞬で分かります。知らなくても，記録係が分かると複式簿記が分かるという，不思議な▽です。マックはこういう不思議が三度の飯より好きです。自分で発見して試す…それで，なぜか，税理士の簿記論にチャレンジ。独学オンリーで１日２時間，期間は半年と設定して合格しました。模擬試験は一切受けませんでした。もともと人と競争するのが好きではないので，雰囲気がなじめないのですね。それに，自分の実力を一番よく知っているのは自分自身であるわけですから。それで，マックほどお金をかけずに簿記論に合格した人間はいないと自負しています。さすがにヘビーな試験でした。それでも目標を決め，倍率よりも上位３倍の戦いである原則(どんな試験でも，要は上位陣の競争に過ぎないという原則です。)を意識して，戦略をつくり実行していけば，道は何とか切り拓かれます。その際，全体を流れる本質をつかむことが，とても大切です。勉強時間がいっぱいあり過ぎると，細部の罠にはまります。試験に出そうもないことに首をつっこんで，枝葉末節の頭になってしまうのです。ですから，勉強時間を短くするにはどうしたらいいかを考え，リラックスして学習し，自然に疑問が生じるのにまかせます。素直な疑問がわいてきたら，チャンスです。おそらく，その疑問を解くことで，本質に一歩せまることができますから。私の何倍も勉強して，何十倍もお金をかけて，落ちている人の方が多いというのは，何なのでしょうか。本質…ここが分かれば，受かります。マックのくせは，自分で自分に質問する，つまり，自問自答です。さっと，答えられないのは，自分の頭の中に，本質・体系がまだ入っていないからです。試験は，本質が見えなければ，戦う前から負けています。本質が分かれば，あとは繰り返し学習あるのみです。高速で，１冊を何度も何度も繰り返し，問題も試験時間の約半分で解き終えることを目標に，繰り返します。いいですか，試験時間の約半分ですよ。これ以上かかるのは，未消化の部分があるからです。そこを見つけるためにも，高速で繰り返し学習します。こうして，さらに，本質に近づきます。本質が分かれば，勉強はとっても楽になります。◎マック自身の体験や，娘の進学にまつわる経験や塾で教えた経験からつくりあげた学習方法は，上の考え方を応用しています。娘のカオリンは公立中学でしたが，１年のときは部活に専念し，かつ油断したため，５段評価でオール４に近い成績でした。しかし，マックは何も言いませんでした。時を待ちました。中２の１学期の成績は，やや改善していました。カオリンも数学，英語，理科計算問題をマックに聞いてくるようになっていました。マックは，本質に近づけるようなことしか教えませんでした。娘の力を信じてました。きっかけを与えてあげれば伸びるよう，幼い頃から学びの方法を教えてきましたから。中２の夏休みから，カオリンの力は爆発しました。本質がつかめたのです。マックもカオリン用の高速繰り返し学習資料を作りました。中２の２学期からは，ほとんどオール５に近い成績になりました。あいかわらず，部活も毎日遅くまでやっていましたが…。受けたい私立高校も決まり，倍率は毎年３０倍程度でしたが，上位３倍の原則を知っているカオリンはゆうゆうと勉強していました。お互いに時間がないので，高速Ｑ＆Ａを二人でよくやっていました。そして，カオリンは希望の高校に受かりました。◎なお，簿記は算数的考え方のオンパレードですね。株式会社制と複式簿記が，資本主義社会をつくったという説もあるくらいですから，複式簿記が分かると経済学，あの国民所得の三面等価がすっと頭に入ります。国際収支も産業連関表も複式簿記です。今のこどもたちが経済のしくみを知るようになって，日本経済の本当の回復がくるんだろうな，などとマックは思うのです。だから，小学生用に，『算数で分かる複式簿記入門』のゲームを開発してもいいんじゃないかと…これはいいアイディアを思いついた…。脱線も脱線，大脱線してしまいました。［本当の解説］ビデオの巻き戻しで考えます。手がかりはＣの皿です。Ｃの皿に残ったのが１６個なら，その直前に時間をもどすと１６個は２／３にあたりますね。１６÷２／３＝２４だから，Ｃの皿には２４個あって，そこからＡの皿に何個移したのか？８個ですね。Ａの皿に注目します。Ｃの皿から８個もらって１６個になったので，その直前に時間を巻きもどすと，１６－８＝８Ａの皿には８個あったのですね。そして，これが２／３にあたります。８÷２／３＝１２Ａの皿には最初１２個あったのです。そのうち，４個はＢの皿へ。Ｂの皿に注目します。Ｂの皿にはＡの皿から４個やってきました。そして，Ｃの皿に何個か移して，残りが１６個ですね。１６個は２／３にあたるので，１６÷２／３＝２４つまり，Ａの皿から４個もらって２４個になったのです。Ｂの皿には，もともと２４－４＝２０で２０個あったことが分かりました。そして，Ｃの皿に２４×１／３＝８８個移したのです。もう一度Ｃの皿にもどると，Ｂの皿から８個移ってきて２４個になったので，もともと２４－８＝１６１６個あったと分かりました。答え　Ａの皿…１２個，Ｂの皿…２０個，Ｃの皿…１６個以上の考え方を『森の記録係』を使ってやる解法は，いずれ紹介したいと思います。

  2003.09.19

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• モニカとクララと魔法のつえ＜その１０＞

  ◎つるかめ算が直接入試に出てくることはあまりありません。他の文章問題と同様に，有名になり過ぎて，人気が落ちてしまいました。中堅私立では文章題でそこそこ出されていますが，難関校ではまったくといっていいほど登場しなくなりました。それでも，ときどき，さりげなく途中の式の展開で出てきたり，あるいは公式破りのつるかめ算がたまに出たりしますから，一度はやっておくべきです。やはり，みんなが知っていることは，はずしてはいけないのです。といって，公式で解ける場合ばかりではないので，公式にいたるまでの基本の考え方を大切に。と，前置きが長くなりましたが，つるかめ算をささっとやっておきましょう。［例題Ｐ］にわとりとかぶと虫の頭の数は全部で１５こです。また，足の数の合計は５８本です。にわとりとかぶと虫の数をそれぞれ求めなさい。Ｉ子「変な組み合わせね。」マック「マックの娘，カオリンが中学３年のときのこと…。美術の時間に，先生から鶏(にわとり)の絵を描くという課題が出されたんだそうだ。ところが，クラスのある女子が描いた絵をカオリンが見て，びっくり。なんと，その子の描いた鶏の絵には，足が４本あったんだ！」Ｉ子「まさか…。」マック「その子は本物の鶏を見たことがなかったんだろうね。見たことがあるのは，ケンタッキーのフライドチキンくらいだったのかな？」Ｉ子「それでも，鳥なんだから。」マック「飛べないから，足は４本と思いこんでいたらしい。カオリンが何か言わねば，と思うよりも前に，その子はカオリンの方を見てにこっと笑ったかと思うと，いきなり席を立ち，先生にさっさと絵を提出してしまったそうだ。」Ｉ子「先生，困ったでしょうね。」マック「その子も今しっかりと県立高校に通っている。」Ｉ子「マック先生，その人，ひょっとして今でも…。」マック「ありうるね…。」マック「ということで，にわとりの足が２本であることを，ケンタッキーしか知らない子たちに知っておいてほしいので，にわとりにしてるんだ。」Ｉ子「かぶと虫は？」マック「やはり，見たことのない子が多い。こん虫だから…。」Ｉ子「こん虫の足は６本。くもは８本。むかでは百足。」マック「さすが，というか安心したよ。最後のはよけいだけどね。」［解説］Ｉ子「きょうも，単位量の●を見つけるんでしょ？」マック「そのとおり！旅人算でも出てくるよ。つるかめ式旅人算？合計しか分からない。頭も足も合計のオンパレード。これがつるかめ算のパターンなんだ。だから，仮定法を使う。」Ｉ子「仮定法って？」マック「もし，ぜーんぶかぶと虫だったら，と仮(かり)に考えてみる，ここから出発する，ということなんだ。」Ｉ子「想像すると気持ち悪いけれど，ぜーんぶかぶと虫だったら，足の数は１５ひき×６本／ひき＝９０本」マック「でも，実際は５８本だから，差は９０本－５８本＝３２本。次にやることは，１つずつ実際に近づけていくこと。かぶと虫を１ぴきへらして，にわとりを１羽ふやすと，足の数はどうなる？」Ｉ子「４本へるわ。」マック「これを●と考えるんだ。」Ｉ子「■は３２本ね。」マック「それで，式ができるね。」Ｉ子「■÷●＝▲だから，…それに，この式からにわとりの数が出てくるから，３２本÷４本／羽＝８羽」マック「それで，かぶと虫は１５－８＝７ひき」Ｉ子「●や■が出てくるということは，面積図でもできるっていうこと。？」マック「ＹＥＳ。横に頭の数，たてに足の数をもってくればできるよ。」と，こんな感じて授業は続くのでした。◎次回は，６年生からの質問に答える緊急特集になります。

  2003.09.18

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• モニカとクララと魔法のつえ＜その９＞

  ◎単位量をみつけれてあげれば，視野はぐーんと広がります。一挙に山登りだったら，６合目くらいまで行ってしまいます。その実例を小出しに出していきます。(一気にでは，スペースが足りませぬ。)◎旅人算マック「旅人算のうちの追いつき算，学校でやったかな？」Ｉ子「来年の２月ごろから入るわ。」マック「単位量の考え方が分かっていれば，かんたんだよ。」(暗示，暗示…。)［例題Ｏ］ロビンはいつも妹のサラと，分速６０ｍで学校にいきます。でも，きょうはねぼうして，サラがいつものように出かけてから５分後に，分速８０ｍで追いかけました。ロビンは家を出発してから何分後にサラに追いつくでしょうか。［解説］(1)　妹のサラはどれだけ先に進んだでしょう　→　６０ｍ／分×５分＝３００ｍ　→→　■(2)　３００ｍの差がありますね。この差をちぢめていくことを考えましょう。(3)　二人の差は１分でどれだけちぢまるでしょうか　→　ロビンは１分で８０ｍ進み，サラは１分で６０ｍ進むから，１分ごとに　８０ｍ－６０ｍ＝２０ｍ　ずつちぢまります。　→　２０ｍ／分　→→　これを単位量として●(4)　３００ｍの中に２０ｍは１５こありますね。式で表すと３００ｍ÷２０ｍ／分＝１５分　　　答えは１５分です。　(5)　公式(追いかけはじめるときの２人の間のきょり)÷(２人の速さの差)＝(追いつくのにかかる時間)　　　　■　　　　　　　÷　　　　●　　　　＝　　　　　　　　▲マック「単位の計算を確認しておくよ。分数のかけ算・わり算の分かる子向けにね。」　　　　　ｍ　　　　　　　　分　　ｍ÷──　＝　ｍ×──＝分　　　　　分　　　　　　　　ｍＩ子「単位が分かると，便利なのねー。」マック「ダイヤグラムや面積図も，覚える苦労をしなくてもよくなるよ。」Ｉ子「マック先生。今度，５年生でも分かる分数のかけ算・わり算を特集してね。」マック「計算のこころを知ること。これが，数の世界に入る切符になるからね。」

  2003.09.17

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• モニカとクララと魔法のつえ＜その８＞

  ◎小学２年生以上のお子さんのいるご家庭向けです。マックの塾では，小学２年で出てくるかけ算のところから，単位量での理解をうながします。●×▲＝■を２通りに理解させています。ひとつは，２＋２＋２＝２×３＝６　と，▲を何倍と読むやり方で，教科書どおりです。しかし，この理解だけだと，連続量の世界に入っていくのが難しいのです。数の世界が広がるにつれ，離散量の世界(自然数の世界)から連続量の世界(小数や分数の世界)にだんだん入っていきます。ピポット，線型計画法をご存知の方はこのピポットでピンとくると思うのですが，ピポット＝軸足ですね，このピポットにあたるのが単位量なんです。ジャングルのような数の世界も，ピポット＝単位量で考えれば，整然としてきます。とっかかりが見えてきます。小数や分数の世界では，●を▲倍すると，●より小さくなることも当たり前になってきますね。こどもたちは，ここでつまづきます。離散量の考え方の▲倍では考えづらいのです。そこで，連続量の考え方，つまり，●は１という単位量の考え方を教えておいてあげないと，おこさんはあとで苦労することになります。小数や分数のわり算のしくみが本当に理解できるかどうかは，ここにかかっています。◎単位量の話を先に進めます。マック「魔女のモニカ●が分かれば，文章題はこわくない。単位量のついた●をさがしてみよう。そうだね…あめ３０こを５人で分けました。●を単位をつけて言うと…。」Ｉ子「■÷▲から　３０÷５＝６。単位をつけて計算すると，　３０こ÷５人＝６こ／人。」マック「６時間で３０ｋｍ進みました。●は？」Ｉ子「３０ｋｍ÷６時間＝５ｋｍ／時間。」マック「５ｋｍ／時　でいいよ。これからは時間の間を省略するからね。それでは，今出した２つの●を日本語になおしてみて。」　Ｉ子「はじめのは，『１人当たり６こ』で，次のは『１時間当たり５ｋｍ』です。」マック「それでは，人口密度の単位は？」Ｉ子「１ｋｍ＾２(平方キロメートル)当たりにいる人間の数だから，『人／ｋｍ＾２』が答えです。」マック「そうだね。」Ｉ子「マック先生，●は平均のことともとれるんでしょう？」マック「そうだよ。あるクラスの算数のテストの平均点６８点ということは，『１人当たり６８点取った』ということだね。」Ｉ子「クラスの人数が３５人なら，総得点は　６８点／人×３５人＝２３８０点　ね。」マック「分数の分かる子なら，単位も　　　点　　──×人＝点　　　人で，ちゃんと式がなりたっていることが，確かめられるよ。」Ｉ子「単位どうしをいろいろくっつけて，モニカ●の単位ができるのね。」マック「●の単位をいろいろ，つくってみよう。」☆☆　練習　☆☆ノート１冊の値段は１２０円　　　→　　１２０円／冊一袋に栗(くり)の実が１０こ　　　→　　１０こ／袋遊園地の入場料金はこども一人２０００円　　　　　→　　　　２０００円／人　　　　　１日は２４時間　　　　→　　　２４時間／日　　　　　　　１時間は６０分　　　　→　　　６０分／時　　　　　　　１直角は９０°　　　　→　　　９０°／直角　　　　　　　　　　ポンプて水を入れたら，１分で３ｃｍずつ水面が上がった　　　→　　　３ｃｍ／分Ａ管から１分ごとに２リットルの水が出た　　　→　　　２リットル／分時計の分をきざむ長い針は，１時間で３６０°進む　　　→　　　３６０°／時時計の分をきざむ長い針は，１分で６°進む　　　→　　　６°／分時計の時間をきざむ短い針は，１時間で３０°進む　　　→　　　３０°／時☆☆　☆☆　☆☆　☆☆　☆☆マック「こういう練習は，めんどうかもしれないけれど，大切なんだ。マックがみていて，１当たり単位量をうまくあつかえる子は，算数・数学がぐんぐん伸びる。表が●，裏が１の札は，算数・数学のエッセンスといってもいい。中学生になっても，高校生になっても大学生になっても，ね。」Ｉ子「そうね，●×▲を『●の▲倍』としか読めないと，小数や分数のところで理解できなくなるって，マック先生が計算のところで言ってたわね。」マック「この日記ではまだ出てこないけれど，計算編で数のしくみ，計算のしくみを考えてもらうところがある。そこで，説明するからね。」Ｉ子「６年生向きだけれど，仕事算やニュートン算のときの仕事の単位は…。」マック「秘密の単位があるんだ。表が●，裏が１の札と秘密の単位を使うと，分数の問題も比の問題も，こどもたちがよく分かるしかけになっているんだ。」Ｉ子「私はマック先生の塾の子なので，比は分かっちゃっているけれどね…。」

  2003.09.16

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