中学受験算数プロ家庭教師

コイン①、…、⑥が下図のようにマス目の中に置かれている。
　　　（図はホームページにあります。）
　これらのコインから無作為にひとつを選び、選んだコインはそのままにし、そのコインのあるマス目と辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す操作を考える。例えば、①を選べば、②、④を裏返し、②を選べば、①、③、⑤を裏返す。最初はすべてのコインが表向きに置かれていたとする。正の整数ｎに対し、ｎ回目のの操作終了時点ですべてのコインが裏向きである確率をpnとするとき、以下の問に答えよ。
（１）p2を求めよ。
（２）コイン①、…、⑥をグループＡ、Ｂに分けることによって、ｎ回目の操作終了時点ですべてのコインが裏向きであるための必要十分条件を次の形に表すことができる。
　ｎ回目の操作終了時点までにＡに属する各コインはそれぞれ奇数回選ばれ、Ｂに属する各コインはそれぞれ偶数回選ばれる。
　どのようにグループ分けすればよいか答えよ。
（３）p4を求めよ。
（注）
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
正の→０より大きい
（２）の問題文が小学生にはわかりにくいですが、要するに、コイン①、…、⑥をそれぞれ選んだ回数は奇数回か偶数回か答えなさいということです。（３）を解くためのヒントに過ぎないので、小学生の場合無視してもよいでしょう。（３）を解こうとすれば、このことを考えることになりますからね。


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メインの（３）の問題は、確率の問題を場合の数の問題にすれば、中学入試にそのまま出せそうな問題です。
実際、同じような考え方で解ける問題が中学入試で出されていますからね（ラ・サール中学校１９９４年算数２日目第３問、慶應義塾中等部２０１６年算数第７問など）。
名大の問題はこれらの問題と本質的には何も変わりません。
（１）は簡単すぎますね。
文理共通問題なので、文系の人が大問を丸々落としたらかわいそうという出題者の配慮かもしれませんね。
（２）は、（３）を解こうとしたら当然考えることで、名大の理系に合格するようなレベルの受験生ならこのヒントがなくても解けるでしょうね。
（３）は、上で紹介した慶應中等部の解説のように、式を作って消去算に持ち込むこともできますが、慶應中等部の問題ほど設定が複雑ではないので、わざわざ式を作るまでもないということで、式を作らずに解いています。
詳しくは、下記ページで。
　名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問（問題）
　名古屋大学２０２５年理系数学第４問・文系数学第３問（解答・解説）

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