中学受験算数プロ家庭教師

以下の問いに答えよ。
（１）ｎを整数とするとき、ｎ²を８で割った余りは０、１、４のいずれかであることを示せ。
（２）２^m＝ｎ²＋３をみたす０以上の整数の組（ｍ,ｎ）をすべて求めよ。
（注）
ｎ²→ｎ×ｎ
２^m→２をｍ個かけあわせた数


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灘中などでよく出されるタイプの問題です（灘中学校２０１９年算数１日目第４問、灘中学校２０２１年算数１日目第５問など）。
ご丁寧に８の平方剰余・非剰余を考えなさいというヒントまでついているので、差がつかないような気がします。
中学受験をしていない中学生でも、文字式の利用を習っていれば（１）を機械的に解くことができますし、（１）があれば、（２）は落としようがない感じですしね。

　〇は整数です。〇×〇を８で割った余りは０か１か４です。
　このとき、２×・・・×２（２を□個かけた数）＝〇×〇＋３となる□と〇を求めなさい。

こういう問題（表現を小学生向けにしただけで、九大の（２）の問題と同じですね）にして、小４の教え子に解いてもらったら、すぐに□＝２、〇＝１という答えを求められましたからね。
□がもっと大きくなることはないのとこちらが言うと、ちょっと（３０秒ぐらいかな）考えて、８で割り切れちゃうからと答えてくれました。
まぁ、そうだよねという感じでした。
なお、問題文に「すべて」と書いてあるのははったりで、むしろ答えが１つかもしれないと警戒すべきでしょうね。
数学では何も書いていなくもすべて求めるのが当たり前で、わざわざ「すべて」と書くのは、答えが複数あるから気を付けてねという親切な出題者か・・・（あえて言いません）。
詳しくは、下記ページで。
　九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（問題）
　九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（解答・解説）

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