definition---unique factorization domain (UFD)一意分解環(ふうがわりな？・・因子分解[因数分解?]-領域[整域(環?・・かんになるからそやなもの？！・・・)])20161015
generalizations to Riemannian manifolds---Hessian matrix[Hessian ]ヘッセ行列20161116
comparison with Riemannian geometry---symplectic<屈折曲面的？> geometryシンプレクティック幾何学20170111
etc ... 関連・・・
In mathematics, Ricci-flat manifolds are 'Riemannian manifolds"リーマン多様体[2016年05月12日Soul conjectureソウル予想(Sharafutdinov's retractionシャアラフトニドフ収縮？？？ P : M → S is a submersion[＝submergence<mergence;併合、没入>]沈め込み<数学>--「はめ込み」の概念の双対・・可微分多様体間の可微分写像であって微分がいたるところ全射であるもののことである(つごうによって、どこでもはめこめる？！？)・・・これは微分トポロジーにおいて基本的な概念・・・.（にんげんがきめても・・かみさまがへんこうする？？？？？・・ ）), 2016年08月18日vector representations---Einstein notationアインシュタインの縮約記法(・upper indices represent components of contravariant vectors (vectors), ・lower indices represent components of covariant vectors (covectors). (sin, cos のかんけいににている・・が？・・・）)etc.. ] whose Ricci curvature vanishes曲率消去？？. Ricci-flat manifolds are special cases of Einstein manifoldsアインシュタイン多様体(リッチ[曲率?]テンソル(歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量・・・相対性理論では、リッチテンソルは時空の曲率(Rμvと表す)の一部であり、レイチャウデューリ方程式を通じて物質が時間とともにどれだけ収縮もしくは拡散するかの程度に関連する)・・・が計量テンソルに比例するリーマン多様体もしくは、擬リーマン多様体・ ・・アインシュタイン方程式(バンノウ方程式？！？)を通じて、宇宙に含まれる物質の量にも関連する。微分幾何学では、あるリーマン多様体上のリッチテンソルの下界により、一様な曲率をもつ空間形式と比較した場合の（比較定理、大域的幾何学および位相幾何学的な情報を得ることができる。リッチテンソルが真空のアインシュタイン方程式を満たすとき、その多様体はアインシュタイン多様体であるといい、特に研究されている (cf. Besse 1987)。これと関係して、リッチフロー方程式はある計量がアインシュタイン計量へ発展するさまを記述する。この方法により、ポアンカレ予想（2012年03月29日topology[17] ----- mathematical definition (ポアンカレ予想とは、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。」), 2016年05月12日Soul conjectureソウル予想, 2017年01月11日comparison with Riemannian geometry---symplectic<屈折曲面的？> geometryシンプレクティック 幾何学(curvature<Curvature of Riemannian manifolds>矩計(かなばかり)[組み合わせ？]曲率？ to that of the compact case. ... ), 2016年09月04日(covering map)被覆写像 ramification<枝分かれ？！・・・>事態の波及、成り行き、結末・・副産物、派生的に起こる＾こと［現象・問題] ],)）が最終的に解決することとなった), where the "cosmological constant'宇宙定数"(アインシュタインの重力場方程式の中に現れる宇宙項]の係数。宇宙定数[2015年09月14日Radiative cooling放射冷却 --- Black_body(黒体・・じしんとは、逆の現象（ちきゅうじょうの）人類？が？・・衰退したようなじょうたいなのかな～）？！？ ), 2016年10月27日examples---Lagrangian mechanics(ラグランジュ力学)←・←time evolution(時間発展)(万物すべてを？・・くりこめてつじつまをあわせる？・・)]はスカラー量で、通常Λ（ラムダ）と書き表される) need not vanish(うちゅうくうかんのなかにも無重力状態とはいいながらも？重力は？存在する？？？・・).Since Ricci curvature measures the amount by which the volume of a small geodesic ball deviates from the volume of a ball(球？の体積からそれた？測地線球？！) in Euclidean space, small geodesic balls will have no volume deviation, but their "shape" may vary from the shape of the standard ball in Euclidean space.(ポアンカレ予想は、かいけつしたようにはみえるが？・・なお？の変化が？！・・・（2016年05月12日Soul conjectureソウル予想(Sharafutdinov's retractionシャアラフトニドフ収縮？？？ P : M → S is a submersion[＝submergence]沈め込み<数学>--「はめ込み」の概念の双対・・可微分多様体間の可微分写像であって微分がいたるところ全射であるもののことである(つごうによって、どこでもはめこめる？！？)・・・これは微分トポロジーにおいて基本的な概念・・・.（にんげんがきめても・・かみさまがへんこうする？？？？？・・ ））) For example, in a Ricci-flat manifold, a circle in Euclidean space may be deformed into an ellipse with equal area. This is due to Weyl curvature[Weyl curvature tensor テンソルだからあらたなきじゅんてきなもの？・・ ].Ricci-flat manifolds often have restricted ’holonomy groups’’（＝四元数線型ユニタリ自己準同型の群）. Important cases include Calabi–Yau manifoldsカラビ・ヤウ多様体(代数幾何などの数学の諸分野や数理物理で注目を浴びている特別なタイプの多様体。特に超弦理論では、時空の余剰次元が6次元（実次元）のカラビ・ヤウ多様体の形をしていると予想されている。この余剰次元の考え方が、「ミラー対称性（ミラー対称性を数々の方程式の解の数を数える数学の分野である数え上げ幾何学で使うことができることが示されていた。実際、キャンデラスたちは、ミラー対称性を使いカラビ・ヤウ多様体の上の有理曲線を数えることができ、長きにわたり未解決であった問題を解明できることを示した(参照項目:ミラー対称性の応用 ---＜）^「数え上げ幾何学」ミラー対称性の重要な数学への応用の多くは、数え上げ幾何学と呼ばれる数学の分野に属している。数え上げ幾何学では、典型的には代数幾何学を使い、幾何学的な問題の解の数を数え上げることに興味がある。数え上げ幾何学のもっとも早い時期の問題の一つに、ギリシャの数学者アポロニウスによる紀元前200年頃に提案された問題である。彼は、どのようにすれば与えられた3つの円に接する平面上の円はいくつあるかが分かるかと問うた。 一般に、アポロニウスの問題の解は、8つの円が存在する。下？の図は黒で示した3つの与えられた円の例を示している。数学の数え上げ問題はしばしば、多項式の値がゼロとなる点として定義されるいわゆる代数多様体という幾何学的対象のクラスに関係している。例えば、クレブシュ3次曲面は左に図示してある4変数の3次多項式により定義される。19世紀の数学者アーサー・ケイリー(Arthur Cayley)とジョージ・サルモン(George Salmon)の結果は、この曲面上にはちょうど 27 本の直線があるとのことであった。この問題を一般化すると、上に述べたカラビ・ヤウ多様体であるクインティックスリーフォールド（5次多項式で記述される複素3次元多様体）の上に何本の直線を描くことができるかという問題となる。この問題は19世紀のドイツの数学者ヘルマン・シューベルト(Hermann Schubert)により解かれ、彼はそのような直線はちょうど 2,875 本存在することを発見した。さらに、1986年に幾何学者、セルダン・カッツ(Sheldon Katz)が、クインティックスリーフォールドに完全に入っている（円のような）2次曲線の数は 609,250 個あることを証明した。1991年頃には、数え上げ幾何学の古典的な問題の大半が解かれ、数え上げ幾何学への興味は下火になり始めていた。数学者マーク・グロス(Mark Gross)によれば、｢古い問題が解かれるとともに、人々はシューベルトの数を現代のテクニックを使いチェックするほうへ戻りはしたものの、非常に古めかしいものでした。」 しかしながら、この分野は1991年5月にふたたび活発化し始めた。そのとき物理学者であったフィリップ・キャンデラス(Philip Candelas)、ゼニア・デ・ラ・オッサ(Xenia de la Ossa)、ポール・グリーン(Paul Green)とリンダ・パークス(Linda Parks)は、ミラー対称性をクインティックスリーフォールドに含まれる3次曲線の数を数えることに使うことができるかもしれないことを示した。大まかにいうと、カラビ・ヤウ多様体の内部に完全に含まれる球として、3次曲線を考えることができる。 キャンデラスと彼の協力者は、そのような6次元カラビ・ヤウ多様体は3次曲線をちょうど 317,206,375 個含むことができることを発見した。クインティックスリーフォールド上の3次曲線を数えることに加えて、キャンデラスと彼の協力者は、数学者たちの得た結果をはるかに超える有理曲線の数え上げに関するより一般的な数多くの結果を得た。 この仕事で使われた方法は理論物理学からの数学的には厳密(en:mathematical rigor)ではないアイデアを基礎としていたが、数学者たちはミラー対称性予想のいくつかを数学的厳密に証明した。特に、ミラー対称性の数え上げ幾何学の予想は、現在では厳密に証明されている。「理論物理学」数え上げ幾何学への応用に加えて、ミラー対称性は弦理論での計算の実行の基本的なツールである。位相的弦理論のA-モデルでは、グロモフ・ウィッテン不変量と呼ばれる無限個の数値により、計算することは極めて難しいが、物理的に興味のある量を表現できる。一方、B-モデルでは計算が古典的な積分へ還元することができ、非常に容易になる。 理論家たちは、ミラー対称性を適用することで、A-モデルでの難しい計算を、等価であるが技術的にはやさしいB-モデル上の計算へ移し替えができるようになった。従って、現在ではこれらの計算は、弦理論の様々な物理的過程の確率を決定することに使われている。ミラー対称性は他の双対性と結合されて、一方の理論を別の異なる理論の等価な計算へ移し替える。この方法で別な理論の計算へ外出しすることにより、理論家たちは双対性を使わずには計算が不可能であった多くの量の計算が可能となった。弦理論以外では、ミラー対称性は基本粒子を記述するために、物理学者が使う形式である場の量子論の一側面を理解することに使われる。例えば、ミラー対称性はゲージ理論の性質を理解することに使われる。ゲージ理論は、基本粒子の標準模型の中に現れ、高度に対称性をもった物理理論である。そのような理論は、近接した背景を伝播する弦から発生し、ミラー対称性はこれらの理論の計算をすることに有用な道具である。実際、このアプローチは、ネーサン・サイバーグ(Nathan Seiberg)やエドワート・ウィッテンにより研究された 4次元の時空の中の重要なゲージ理論の計算の実行に使われ、ドナルドソン不変量の脈絡での数学に良く似ている。 ミラー対称性の一般化として、3次元ミラー対称性(3D mirror symmetry)と呼ばれるミラー対称性もあって、3次元時空の中の場の量子論のペアを関係付ける（＞（このあたりが?・・「人工知能」の発展につながっている？！・・・）)。元来のミラー対称性へのアプローチは、理論物理学者からの必ずしも数学的には厳密(mathematical rigor)ではないアイデアに基づいているにもかかわらず、数学者はミラー対称性予想のいくつかを数学的に厳密な証明に成功しつつある。今日では、ミラー対称性は純粋数学の主要な研究テーマであり、数学者は物理学者の直感に基づくミラー対称性を数学的に深く理解しつつある。ミラー対称性は弦理論の計算を実行する際の基本的なツールでもある。ミラー対称性への主要なアプローチは、マキシム・コンツェビッチ(Maxim Kontsevich)のホモロジカルミラー対称性予想のプログラムやアンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)、シン＝トゥン・ヤウ(Shing-Tung Yau)、エリック・ザスロフ(Eric Zaslow)のSYZ予想を含んでいる）」の考えを導くことになった) and 'hyperkähler manifold"s超ケーラー多様体(次元 4k次元のリーマン多様体で、ホロノミー群(holonomy group)がSp(k)を含んでいる場合を言う（ここに、Sp(k) はシンプレクティック群のコンパクトな形を表していて、 k -次元の四元数エルミート空間の「四元数線型ユニタリ自己準同型の群(=’holonomy groups’’)」と同一視される）。超ケーラー多様体は、ケーラー多様体の特別なクラスで、ケーラー多様体の四元数と考えることができる。超ケーラー多様体はみな、リッチ平坦であり、従って、Sp(k) はSU(2k)の部分群であることから容易に分かるように、カラビ・ヤウ多様体である(いまのところ？・・このあたりはおかしいぶぶんがあるかも？？・ ・・)).by Wikipedia
(うちゅうの全めんせき、全たいせきが？・・はんめいした？？・・・しかし？なお？？、ふめいなてんがおおいが・・いちおうの〔アルゴリズム?〕はそんざいする？！？！？・・ ・)
<figure--アポロニウスの円> ミラー対称性_(弦理論）-wiki
H.Nakao@
