整数問題~考え方~
今回は前の記事で扱った整数問題の解答に至るまでの考え方について書きます.どうやって考えたか思い出しながら書きます.q, 2q+1, 4q-1, 6q-1, 8q+1 がすべて素数という条件から,まず分かることは何か?「q」がある以上,qが2以外の偶数のときは不適だと分かります.というかq自体が素数でないといけない.それを踏まえて,とりあえず「実験」です.q=2のときは順に,2, 5, 7, 11, 17となりすべて素数であるから解.q=3のときは順に,3, 7, 11, 17, 25となり「25」が素数でないから不適.q=4は偶数だから飛ばす.q=5のときは順に,5, 11, 19, 29, 41となりすべて素数であるから解.q=6は偶数だから飛ばす.q=7のときは順に,7, 15, 27, 41, 57となり「15, 27, 57」が素数でないから不適.q=8,9,10は素数でないから飛ばす.q=11のときは順に,11, 23, 43, 65, 89となり「65」が素数でないから不適.これ以上は数が大きくなるから調べる時間が無駄.q=2, 5 が解?でも他にあるかもしれない.第一,問題が「すべて求めよ」ということから場合分けが絶対必要.問題はどのようにして分けるか?qは奇数と決まっている以上,偶数,奇数の2つの場合分けは出来ない.ではどうするか?あまり場合分けが多くても嫌だから,次に少ない3つの場合分けで済む3の倍数で分けてみる.(I)q=3n(n≧2)のときqが3の倍数となるから,明らかに不適.(II)q=3n+1(n≧1)のときとりあえず2q+1から順にどうなるか計算.2q+1=2(3n+1)+1=6n+3=3(2n+1)初めに調べた2q+1がたまたま3の倍数となり不適.結構調子良く進む.このまま終わったら楽だなと思いながら次へ・・・(III)q=3n+2(n≧1)のときこれも2q+1から順にどうなるか計算.2q+1=2(3n+2)+1=6n+54q-1=4(3n+2)-1=12n+76q-1=6(3n+2)-1=18n+118q+1=8(3n+2)+1=24n+17なんだこれ・・・うまく行かない.他の場合分けって言っても,q=3n+2のときだけが問題だからこのまま行きたい.ってことで,nを偶数・奇数の2通りに分けてみることに・・・(i)n=2m(m≧1)のときq=3×2m+2=6m+2=2(3m+1)となり偶数となるから不適.あとはnが奇数のときのみ!(ii)n=2m+1(m≧1)のときq=3(2m+1)+2=6m+52q+1=2(6m+5)+1=12m+114q-1=4(6m+5)-1=24m+196q-1=6(6m+5)-1=36m+298q+1=8(6m+5)+1=48m+41あらま・・・うまく行かない・・・ここから更に場合分けは答案が汚くなりすぎて嫌.でもq=2,5以外に解があるとは考えにくい.ってことはどれかが必ず何かの倍数になるはず.ということでここでまた実験.とは言え,そのままの数字を書くと大変.倍数で見分けやすいのは何か?5の倍数なら一の位が0か5になるからすぐ分かる.しかもq=11(=3×3+2)のときに5の倍数が実際に存在することから,どれかが必ず5の倍数になるのではないか?と予想.とにかく実験.一の位のみ考える. q=6m+5・・・1, 7, 3, 9, 5, 1, ・・・2q+1=12m+11・・・3, 5, 7, 9, 1, 3, ・・・4q-1=24m+19・・・3, 7, 1, 5, 9, 3, ・・・6q-1=36m+29・・・5, 1, 7, 3, 9, 5, ・・・8q+1=48m+41・・・9, 7, 5, 3, 1, 9, ・・・一の位に注目すると,必ずどれかが5になっている.これで解はやはりq=2, 5以外にないことが分かるけど,解答としては汚くて仕方がない.もう一度一の位に注目.すべてが周期5になっていることが分かる.周期が5・・・ってことは初めから5の倍数で分ければいいんじゃないの?ということで5の倍数で分けました.