カスティール・アミスの雑記帳

xy平面において、点(x0,y0)と直線ax+by+c=0の距離は、
|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)
である。これを証明せよ。

(コメント)公式は覚えるだけでなく、理解せよというメッセージの感じられる問題です。
そういうことを普段から意識している人にとってはこういう問題こそ点とり問題です。
個人的には、こういう考え方は大好きで素晴らしい考え方を皆気軽に使いすぎている。
そうじゃなくて、なんでこんな考え方になるのですか？と理解して使わなかったら
大学いってからも学問を学ぶことができないと思うのだ。そういう意味で、
公式を覚えていない受験生は、公式の導出方法もちゃんと理解しておこう。
このブログでもそういう議題を扱っていきたい。

色々やり方はあるだろうけど、中学生でも理解できる方法は下記。



このやり方に限らず色々やりかたがある。

個人的にはもう一つの方法として、
ベクトルの勉強になるからベクトルで解くのがおすすめ。

Pからax+by+c=0に下ろした垂線の足をH(x1,y1)と置く。
ax+by+c=0法線ベクトル→n(a,b)とPHの内積を考える。


→PHと→nは平行なので
→PH・→n=±|→PH|√(a^2+b^2)
|→PH・→n|=d√(a^2+b^2)

d=|→PH・→n|/√(a^2+b^2)・・・(1)

また→PH=(x0-x1,y0-y1)と→n(a,b)の内積は
a(x0-x1)+b(y0-y1)・・・(2)

(2)を(1)に代入。
d=|ax0+by0-ax1-by1|/√(a^2+b^2)・・・(3)

(x1,y1)はax+by+c=0上の点なので
ax1+by1+c=0
c=-ax1-by1
(3)に代入。
d=|ax0+by0+c|/√(a^2+b^2)

その他の証明は、方法論のリンク参考。