カスティール・アミスの雑記帳

3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 = 2013を満たす正の整数p,qの組を全て求めよ。

(コメント)→非常にシンプルで代表的な整数問題にみえるが、計算は少し複雑。
計算ミスに気をつければ得点できる問題なのかなとおもった。

3p^3+3q^3=(p+q)(3p^2-3pq+3q^2),p^2q+pq^2 = pq(p+q)より、
3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 =(p+q)(3p^2-4pq+3q^2)
3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 =(p+q)(2p^2-4pq+2q^2+p^2+q^2)
3p^3-p^2q-pq^2+3q^3 =(p+q){2(p-q)^2+p^2+q^2} = 2013 = 3*11*61…(1)

今、p+q=A,　2(p-q)^2+p^2+q^2=B=F(p,q)とおく。

p、qがいずれも正の整数であるとき、
p+q≧2となりえる。(等号成立はp=q=1)
ところが、p=1かつq=1のとき、A=p+qは偶数になるので、Aが2013の約数にならない。

つまり、問題文の条件を満たすためには、A=p+q＞2となることが不可欠である。
このとき、p+q ＜ p^2+q^2であり、2(p-q)^2＞0であることを考えると、
A＜Bが常に成り立つので、(1)式を満たし、かつ2＜A＜Bとなる組み合わせ(A,B)を考える。

すなわち、解の候補として下記が考えられる。

(A,B) = (3,671)、(11,183)、(33、61)…(2)

また、p+q=A⇔q=A-pとしてBに代入すると、
B = 3p^2-4p(A-p)+3(A-p)^2 = 3p^2-4Ap+4p^2+3(A^2-2Ap+p^2)
B = 10p^2-10Ap+3A^2…(3)

と変形でき、(2)、(3)によって解を絞りこむことにする。

(X)…p+q=3のとき、
p=1,q=2あるいはp=2,q=1が解となるが、
B=F(1,2)=F(2,1) = 3*2^2-4*2*1+3*1^2 =15 - 8 = 7となり、
Bが2013の約数にならないので不適

(Y)…p+q=11のとき、
B=183となる。これを(3)式に代入すると、
10p^2-110p+3*121 = 183
10p^2-110p+180 = 0
p^2-11p+18 = 0
(p-2)(p-9)=0
p=2,9
となり、(p,q)=(2,9),(9,2)を解にもつ。

(Z)…p+q=33のとき、
B=61となる。これを(3)式に代入すると、
10p^2-330p+3*33^2 = 61
p^2-33p+(0.25)*33^2-(0.25)*33^2+(0.3)*33^2 = 6.1
(p-33/2)^2 = -0.05*1089+6.1＜0
となるので、上記条件を満たす実数解pが存在しない。


(X)~(Z)を考えると、(p,q)=(2,9),(9,2)が解。