カスティール・アミスの雑記帳

問：aが正の実数のとき、Lim (n→∞) (1+a^n)^(1/n)を求めよ。

コメント：問題はとてもシンプル。どこかで見たことある形であり、
Lim (a→∞) (1+1/a)^a = Lim (a→0) (1+a)^(1/a)= eを想像するかもしれないが、
この問題は別の問題である。eに縛られないでほしい。


解法：
0＜a≦1のとき、

1＜(1+a^n)≦1+1^n = 2が成り立つ。
従って、1<(1+a^n)^1/n≦2^(1/n)…(1)となる。
ここで、Lim(n→∞) 2^(1/n) = 1より、
挟みうちの原理から、Lim (n→∞) (1+a^n)^(1/n)＝1となる。

1＜aのとき、

a^n ＜ 1+a^n ＜ a^n + a^n
a^n ＜ 1+a^n ＜ 2a^n
a ＜ (1+a^n)^1/n ＜ a*2^(1/n)…(2)
が成り立つ。ここで、Lim(n→∞) a*2^(1/n) = aより、
挟みうちの原理から、Lim (n→∞) (1+a^n)^(1/n)＝aとなる。

京大の問題といえども、こんな簡単に解けてしまう。
ただし、解き方が思い浮かばないと結構泥沼にはまるかも。


上の不等式が思い浮かばないかもしれない。
だが、別にそれが問題というわけではない。下記のように
普通に式変形して普通に極限を求めても解が出せるからだ。

P=(1+a^n)^(1/n) = {a^n*(1/a^n+1)}^(1/n) = a*{(1/a)^n + 1}^(1/n)
LogP = Log(a) + (1/n)*Log[(1/a)^n+1]となるので、
Lim (n→∞) LogP＝Log(a) + 0*Log(1) = Log（a)
Lim (n→∞) P = a

ということで、京大の問題にしては簡単かと思います。
極限の復習に最適でしょう。