カスティール・アミスの雑記帳

(1)自然数x,yは、1＜x＜yおよび、(1+1/x)(1+1/y)=5/3を満たす。
x,yの値を全て求めよ。

(2)自然数x,y,zは、1＜x＜y＜zおよび、(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=12/5を満たす。
x,y,zの値を全て求めよ。

コメント：(2)をどのように解くかがまさに知恵の使いどころ。
答えだけなら、結構簡単に見つかるが、全て調べるとなると
難しい。そういうときに問題文の条件をよく読んでみると、
答えにたどり着くだろう。

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(1)普通に平方完成しても解けるが条件を絞ってといてみよう。

1＜x＜y⇔1/y ＜1/x ＜ 1となるので、
(1+1/x)(1+1/y)=5/3＜(1+1/x)^2…(1)を満たす。

x=2のとき、(1+1/x)^2 = 9/4 ＞ 5/3となり条件(1)を満たす。
x=3のとき、(1+1/x)^2 = 16/9 ＞ 15/9 = 5/3となり条件(1)を満たす。
x=4のとき、(1+1/x)^2 = 25/16 =　1+9/16 ＜ 1+2/3 = 1+ 10/15となり条件(1)を満たさない。

また、x＞4に対しても(1+1/x)^2は減少関数なので5/3＜(1+1/x)^2が成り立つ。

以上より、条件を満たすxは下記の通りである。

x＝2、あるいはx＝3…(2)

x=2のとき、 3/2 * (1+1/y) = 5/3　⇔ (1+1/y) = 10/9 ⇔ y = 9
x=3のとき、 4/3 * (1+1/y) = 5/3　⇔ (1+1/y) = 5/4 ⇔ x = 4

求める解は、(x,y)=(2,9),(3,4)となる。


(2)(1)と同じように絞れば簡単に求められる。

1＜x＜y＜z⇔1/z ＜1/y ＜1/x ＜ 1となるので、
(1+1/x)(1+1/y)(1＋1/z)= 12/5 ＜ (1+1/x)^3…(1)となる。

x=2のとき、27/8 = 3+3/8 ＞ 2+2/5 = 12/5より(1)が成り立つ。
x=3のとき、64/27 = 2 + 10/27 ＜ 2+10/25　= 12/5 より(1)が成り立たない。
x＞3に対しても、(1+1/x)^3は減少関数であり(1)は成立しない。

よって、x=2…(2)

(2)を代入すると下記(3)式が成り立つ。
(1+1/y)(1＋1/z)= 8/5…(4)

同様にして、8/5=(1+1/y)(1＋1/z)＜(1+1/y)^2かつy＞2…(5)を考える。

y=3のとき、(1+1/y)^2 = 16/9 ＞ 8/5 = 16/10より(5)が成り立つ。
y=4のとき、(1+1/y)^2 = 25/16 = 1+9/16 ＜ 8/5 = 1+9/15より(5)が成り立たない。

y＞4に対しても、(1+1/y)^2は減少関数なので(5)は成立しない。

よって、y=3…(6)

以上より、

(1＋1/z)= 6/5となり、z=5と定まる。…(7)

求める解は、(x,y,z) = (2,3,5)である。