カスティール・アミスの雑記帳

タイトルの通りです。大学受験で超有名な問題です。
前回千葉大学でlog[2]3が無理数かと論じたり、京都大学で、
(2)^(1/3)は無理数かと論じたのでこれも論じてみよう。

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tan1°が有理数だと仮定する。すなわち、互いに素な整数p,qを用いて、
tan1°= p/qと表せるとする。

このとき、tan2°= 2(tan1°)/{1 - (tan1°)^2}=2(p/q)/{1-(p/q)^2}と表せるので、
分子、分母がともに有理数であり、tan2°も有理数となる。

同様に、tan2°,tan4°,tan8°,tan16°,tan32°は有理数である。

ここで、tan30°= tan(32°-2°)= (tan32°-tan2°)/{1＋tan32°tan2°}
であり、右辺辺は有理数となる。

一方、tan30°=1/√3より左辺は無理数であるので、矛盾。

すなわち、tan1°は有理数ではない。

この辺の問題というのは、有理数という概念を理解していますか?

というだけの問題であり、一連の問題は有理数の定義さえしっていれば

焦る問題ではないだろう。