カスティール・アミスの雑記帳

問い　円周率は3.05より大きいことを証明せよ。

コメント)　
これも有名入試問題。個人的には、円周率が3.1より大きいことを証明せよ。
という問題でもいいと思います。3.05じゃ中学生でも解析できてしまうからです。

色々な解法があるけれども、個人的に好きな解法は下記の解法がおすすめ。
数学3の知識を駆使して、精度良く求められるので個人的には大好きだ。

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A=∫dx/(1+x^2)を考える。x=tanθとおくと、
dx/dθ=1/cos^2θ,
1+x^2 = 1+tan^2θ=1/cos^2θ
より、A=∫dθ=θ+C…(1)となる。

ここで、0≦x≦1/√3(0≦θ≦π/6)でAを積分すると考えると、

A=π/6…(2)である。今y=f(x)=1/(1+x^2)のグラフを考える。

y'=f'(x)=-2x/(1+x^2)^2…(3)
y''=f''(x)=(2(3x^2 -1))/(x^2+1)^3…(4)

より、y=f(x)の増減表、およびf(x)のグラフは下記のとおりである。



次に、曲線上に下記の点を取ることにする。

A(0,f(0)),B(√3/6,f(√3/3)),C(√3/3,f(√3/3))
∴A(0,1),B(√3/6,12/13),D(√3/3,3/4)

またA～Cからx軸に垂線を下ろし、その交点をそれぞれO,P,Qとする。
更に、四角形ABPO、四角形BCQPの面積をそれぞれS1,S2とすると、
f(x)は積分範囲において上に凸な関数であり、下記の不等式が成り立つ。

S1+S2＜π/6⇔6(S1+S2)＜π…(5)

※誤解しないでほしいのが、上に凸じゃなくて
　下に凸だったら台形の面積はグラフの積分結果より大きくなる。
　上に凸だから上の不等式が成り立つのだ。

よって
S1=(√3/6)*(1+12/13)*1/2
S2=(√3/6)*(12/13+3/4)*1/2
S1+S2 = (√3/12)*(187/52)
6(S1+S2) = (√3/2)*(187/52) = √3*187/104＞1.798＊1.732＞3.11

3.11＜πとなり、円周率πは3.05より大きい。