カスティール・アミスの雑記帳

コメント：確率と漸化式の基本を理解するには、非常にいい問題だと思う。
京大の確率の問題と併せて、難関大学の確率の問題になれていってほしい。

問い1：
1回目の操作で赤玉が3個になる確率は、
最初の操作でAから白玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率に等しい。

最初の操作でAから白玉を選ぶ確率は、1/3
最初の操作でBから赤玉を選ぶ確率は、1/3

積の法則より、a1=(1/3)*(1/3)=1/9…(あ)

1回目の操作で赤玉が2個になる確率は、

最初の操作でAから白玉を選び、Bから白玉を選ぶ確率、及び
最初の操作でAから赤玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率の和となる。

前者の確率は、1/3*2/3=2/9.後者の確率は2/3*1/3=2/9

よって、b1=2/9+2/9=4/9…(い)


1回目の操作で赤玉が0個になる確率は0より、赤玉が1個だけ残る確率は
余事象を考えると、1-1/9-4/9 = 4/9。よって

c1 = 4/9…（う）

問い2：

袋Aにおける赤玉の個数をX、白玉の個数をYとして、ある回数のボールの個数を(X,Y)であらわす。

(a)…　n+1回目が(3,0)である場合は、n回目の状態が(2,1)の場合かつ
次の操作でAの白玉を取り出し、Bから赤玉をもらう場合に限られる。

これは、an+1 = bn*(1/3)*(1/3) = (1/9)*bn…(1)となる。

(b)…　n+1回目が(2,1)である場合は、下記3とおりである。

(b-1)…n回目は、(3,0)である場合。
(b-2)…n回目は、(2,1)であり、次の操作でも(2,1)になる場合。
(b-3)…n回目は、(1,2)であり、次の操作で(2,1)になる場合。

(b-1)の確率はanである。(b-2)の確率は、問い1よりbn*4/9である。
更に(b-3)の確率は、次の操作でAから白玉を選び、Bから赤玉を選ぶ確率であり、
cn*(2/3)*(2/3)となる。よってbn+1 = an + (4/9)bn + (4/9)cn…(2)となる。

(c)… n+1回目が(1,2)である場合は、下記3とおりである。

(c-1)…n回目は、(2,1)であり、次の操作で(1,2)になる場合。
(c-2)…n回目は、(1,2)であり、次の操作でも(1,2)になる場合。
(c-3)…n回目は、(0,3)であり、次の操作で(1,2)になる場合。

(c-1)の確率は問い1より(4/9)*bnである。
(c-2)の確率は、次の操作でAで赤玉を選び、更にBでも赤玉を選ぶ確率、
および次の操作でAで白玉を選び、更にBでも白玉を選ぶ確率となり、
前者は、cn*(1/3)*(2/3)=(2/9)*cn。後者はcn*(2/3)*(1/3)=(2/9)*cn
よって(4/9)*cnとなる。(c-3)の確率は、余事象を考えると1-an-bn-cnである。
以上より、cn+1=1-(5/9)bn-(5/9)cn-an…(3)となる。

従って、(2)、(3)より、
bn+1+cn+1=1-(1/9)(bn+cn)
pn+1 = 1 - (1/9)pn
ここで特性方程式x=1-x/9⇔x=9/10を利用すると
pn+1 - 9/10 = 1 - (1/9)pn - 9/10
pn+1 - 9/10 = (1/90)＊(9-10pn)
10pn+1 - 9 = (-1/9)*(10pn-9)
10pn - 9 = (-1/9)^(n-1)*(10p1-9)=(-1/9)^n
pn = (-1/9)^n*(1/10)+(9/10)

問い3：
赤玉の個数の期待値Enを考える。
E1 = 3*a1+2*b1+1*c1=3/9+8/9+4/9 = 5/3
En+1 = 3*an+1 + 2*bn+1 + cn+1
En+1 = (1/3)*bn + 2*[an + (4/9)bn + (4/9)cn] + 1-(5/9)bn-(5/9)cn-an
En+1 = an + (2/3)bn + (1/3)cn + 1
En+1 = (1/3)*(3an+2bn+cn)+ 1
En+1 = (1/3)*En + 1
ここで特性方程式x = (1/3)x+1⇔x = 3/2を利用すると

En+1 - 3/2 = (1/3)En + 1 - 3/2 = (1/3)*(En - 3/2)
En - 3/2 = (1/3)^(n-1)*(E1 - 3/2)
En = (1/3)^(n)*(1/2)+3/2