カスティール・アミスの雑記帳

xの関数y = f(x)に対して、f(x) = 0の解は以下の方法で近似できる。

まず、x軸上にx_kをとり、点(x_k,f(x_k))を考える。

この点に接する接線を引くと、下記の式が得られる。

y = f'(x_k)(x - x_k))+f(x_k)…(1)

この接線とx軸の交点を(x_k+1,0)として以下の数列を得ることができる。

f'(x_k)(x_k+1 - x_k))+f(x_k)=0
x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)…(2)

例えば、グラフにすると、下記のようになる。



この数列はf(x)=0の解に収束する数列であり、

ニュートン法を使うと、解の値を精度よく近似できるのだ。

そこで実験してみよう。

問い：2^(1/3)の近似値を求めよ。

f(x) = x^3 - 2とする。この時、f'(x) = 3x^2であり、
x1 = 1として計算すると下記のとおりである。
x2 = 1 - (1-2)/3*1 = 1+1/3 = 4/3
x3 = 4/3 - (64/27 - 54/27)/(16/3) = 91/72 = 1.2638

このx3^3を計算すると実は2.018であり、かなり精度がいいです。

x4以降は電卓に頼らざるをえませんが、計算してみましょう。

x4 = 1.259933…
x5 = 1.259921…

x4^3 = 2.000059
x5^3 = 2.000000001

このように比較的簡単な操作で3乗根の値がわかってしまうのだ。

ニュートン法は偉大な功績だとおもう。