カスティール・アミスの雑記帳

問い1：3次方程式 x^3-(p-3)x^2-3x+p-1 = 0の三つの解が
　　　全て整数となるような実数pの値を求めよ。
問い2：a,b,cは整数とする｡三次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が
　　　有理数αに解をもてばαは整数であることを示せ。
問い3：三次方程式x^3+x-8=0は有理数解をもたないことを示せ。
問い4：x^3-x^2+9x-5=0は整数解をもたないことを示せ。
問い5：pを素数とする。xの三次方程式 x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=0 が
　　　　整数解を持つときpの値は？

解法)問い1
f(x) = x^3-(p-3)x^2-3x+p-1とおく。
f(1) = 0より、整数解の一つはx=1である。
また、（x-1)で因数分解すると
f(x) = (x-1)(x^2-(p-4)x+1-p) = 0と表せるので、

x^2-(p-4)x+1-p=0が整数解となるような実数pの条件を考えればよい。

※実質的には三次方程式のふりをした二次方程式の問題だった。

残り二つの解をa,bとおくと、解と係数の関係から
a+b=p-4 …(1)
ab=-p+1 …(2)
(1)+(2)より、
ab+a+b=-3
(a+1)(b+1)=-2…(3)
これを満たす整数a,bの組(a,b)は、
(1,-2)(-2,1)(0,-3)(-3,0)に限られる。
よってp=1,3となる。

解法)問い2　有理数解をx=p/qと表す。ここで(p,q)は互いに素な整数とする。
三次方程式に代入すると、

(p/q)^3+a(p/q)^2+b(p/q)+c=0
p^3/q = apq + bpq^2+cq^3…(1)

ここで右辺は整数であるので、p^3/qも整数となるが、
p,qは互いに素であるので、q=1となる。

従って、有理数解αは整数解であることが示された。


解法)問い3　三次方程式x^3+x-8=0が有理数解aを持つとすると、aは整数である。
aを代入すると、a^3+a-8 = 0⇔a(a^2+1) = 8
a＜a^2+1であり、また、0＜a^2+1を考えると、
これを満たす整数、(a,a^2+1)の組は、(1,8),(2,4)のみである。

ところが、いずれの条件も満たすaは存在せず矛盾。よって、
三次方程式は有理数解をもたない。

解法)問い4：f(x)=x^3-x^2+9x-5として、そのグラフを考える。
f'(x) = 3x^2-2x+9 = 3{x^2-(2/3)x+1/9}-1/3+9=3(x-1/3)^2+26/3＞0より、
f(x)は単調増加する関数である。更に、f(0)=-5,f(1)=4より、
f(x)の解は0＜x＜1の間にあることがわかる。従って、f(x)=0は
整数解をもたない。

解法)問い5：問題にはいるまえにコメントをさせてほしい。誤答例。

解と係数の関係より、αβγ=pだから、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)
という組み合わせが考えられるということで、x=±1を代入する解法が書かれているけれども、
それで本当にいいだろうか?

ここで書かれているのは、あくまで整数解をもつと書いてあるが、
全部が整数解だなどとは一言も書いていない。
例えば、(√2-1,√2+1,p)の場合も、αβγ=(2-1)p=pで、整数解pが一応存在する。
これも問題文の条件を満たしているのだ。直感的にx=1のとき、p^2-8p+7=0だから
p=7と思うかもしれないけれども、ちゃんと論証するとなると、解と係数の関係より、
(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)と論じるのは言葉足らずではないだろうか。

それを踏まえたうえで解説しよう。

f(x)=x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-pとおく。整数解をaとすると、
f(x)は(x-a)で割ることができるので、
x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=(x-a)(x^2+bx+c)=x^3+(b-a)x^2+(c-a)x+acと表せる。
各係数を比較すると
b-a=p^2+2⇔b=a+p^2+2
c-a=-7p+4⇔c=a-7p+4
と表せるので、bとcは整数である。更に、p=acと表せるので、
a,b,cは整数であることから、
(a,c)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)のいずれかの場合に限られる。
以上により場合別けを行う。

a=1のとき、f(1)=0⇔p^2-8p+7=0⇔p=7,1より、p=7が解となる。
a=-1のとき、f(-1)=0⇔p^2+6p-3=0より、pは整数にならない。
a=pのとき、
f(p)=0⇔p^4+p^3-5p^2+3p = 0
⇔p^3+p^2-5p+3=0,(p-1)^2(p+3)=0より、pは素数にならない。
a=-pのとき、
f(-p)=0⇔p^4-p^3+9p^2-5p = 0⇔p^3-p^2+9p-5=0より問い4の結果からpは整数解をもたない。
よって、a=1が解であり、その時のpの値は7である。