カスティール・アミスの雑記帳

[数学自由研究] カテゴリの記事

全18件 (18件中 1-18件目)

1

• 

  ニュートン法による立法根の近似

  xの関数y = f(x)に対して、f(x) = 0の解は以下の方法で近似できる。まず、x軸上にx_kをとり、点(x_k,f(x_k))を考える。この点に接する接線を引くと、下記の式が得られる。y = f'(x_k)(x - x_k))+f(x_k)…(1)この接線とx軸の交点を(x_k+1,0)として以下の数列を得ることができる。f'(x_k)(x_k+1 - x_k))+f(x_k)=0x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)…(2)例えば、グラフにすると、下記のようになる。この数列はf(x)=0の解に収束する数列であり、ニュートン法を使うと、解の値を精度よく近似できるのだ。そこで実験してみよう。問い：2^(1/3)の近似値を求めよ。f(x) = x^3 - 2とする。この時、f'(x) = 3x^2であり、x1 = 1として計算すると下記のとおりである。x2 = 1 - (1-2)/3*1 = 1+1/3 = 4/3x3 = 4/3 - (64/27 - 54/27)/(16/3) = 91/72 = 1.2638このx3^3を計算すると実は2.018であり、かなり精度がいいです。x4以降は電卓に頼らざるをえませんが、計算してみましょう。x4 = 1.259933…x5 = 1.259921…x4^3 = 2.000059x5^3 = 2.000000001このように比較的簡単な操作で3乗根の値がわかってしまうのだ。ニュートン法は偉大な功績だとおもう。

  2015年02月09日

  コメント(0)

• 

  円の接線の公式を導出する。

  公式の導出自体が入試で出ます。円の接線の場合、上記の動画が参考になるのでリンクしておきましょう。

  2015年02月03日

  コメント(0)

• 

  d/dx(log x) = 1/xの証明

  logxの微分が1/xとなることの証明です。非常に解りやすい説明だと思うので、理屈で理解していない方は、この動画をみるといいでしょう。

  2015年02月02日

  コメント(0)

• オリジナル問題⇒e^xを微分するとe^xなのか?

  e = lim(x→0)(1+x)^(1/x)と定義する。この時下記の問いに答えよ。(1)lim(x→0){log[e](1+x)}/x を計算せよ。※[]の数は底を表す。(2)f(x) = e^xとして、f'(x) = e^xとなることを証明せよ。コメント：こんな入試問題でてもいいんじゃないかと思い、出題してみた。公式を暗記している人から見たらぎょっとする問題かもしれないが、ちゃんと一つ一つの公式を理解している人からみれば、さほど難しい問題ではありませんね。(1) log[e]e = 1 = lim(x→0)log[e](1+x)^(1/x) = lim(x→0){log[e](1+x)}/xとなるので、lim(x→0){log[e](1+x)}/x = 1(2)微分の定義よりf'(x) = lim(h→0) {e^(x+h)-e^x}/h = e^x * lim(h→0) {e^(h)-1}/hと表せる。ここで、t+1=e^(h)とおくと、h→0のとき、t→0だとわかる。すなわち、f'(x) = e^x * lim(t→0) t/{log[e](t+1)} f'(x) = e^x * 1/[lim(t→0){log[e](1+t)}/t](1)の結果を使うと、f'(x) = e^x*1 = e^x

  2015年02月02日

  コメント(0)

• 

  二項定理の基礎問題の解き方

  受験生が苦手とする二項定理の解き方について。基礎問題ぐらいなら、この講義を理解すれば大分対応できるでしょう。

  2015年02月02日

  コメント(0)

• 数学自由研究：13　じゃんけんの勝率について

  (1)5人で1回じゃんけんをしたときに、2人が勝つ確率を求めよ。(2)5人で1回じゃんけんをしたときに、勝負がつく確率を求めよ。(3)n人で1回じゃんけんをしたときに、勝負がつく確率を求めよ。コメント：基本問題なのだが、n人で一般化するとわかるだろうか?基本的なことは、じゃんけんを考えるを参考にしてください。n人がじゃんけんしてk人が勝つ確率は、全事象が3^n通り。勝つ人の組み合わせがnCk,そして勝つための手が3とおりあるので、3*nCk/3^n = nCk/3^(n-1)となるのです。(1)じゃんけんの5人が出しうるすべての手は3^5通り。勝者の組み合わせは、5C2=5*4/2*1=10通り。勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*10/3^5=10/81が求める確率。(2)じゃんけんの5人が出しうるすべての手は3^5通り。勝者の選び方は、(5C4+5C3+5C2+5C1)= Σ(k=0→5)5Ck - 5C5 - 5C0 = 2^5 - 2 =30とおりである。※2項定理　Σ(k=0→n)nCk = 2^nを使っている。5C5と5C0がないだけだからそれを引いた。勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*30/3^5=10/27が求める確率。(3)じゃんけんのn人が出しうるすべての手は3^通り。勝者の選び方は、(nCn-1+…+nC2+nC1)= Σ(k=0→n)nCk - nCn - nC0 = 2^n - 2 勝者の勝ち方は、グーチョキパ－の3とおりである。従って、3*(2^n - 2)/3^n = (2^n - 2)/3^(n-1)このようにして、じゃんけんの確率は一般化できる。まずここをしっていてほしい。

  2015年01月29日

  コメント(0)

• 数学自由研究12：核崩壊方程式

  我が国では、原発事故を経験しているからこそ、放射性物質がどのような挙動を経て減少していくのか、物理学的に正確に把握する必要があると言える。こういった課題に対し、微分方程式という数学手法は大変有意義なものだ。ここでは、微分方程式によって放射性物質がどのように減少するのか数式化したい。さて、放射性物質Aの個数をNとする。Nが満たすべき方程式は一般的に下記の通りである。dN/dt = -λN…(1)ここでλは比例定数、tは時間を表している。これを解く場合、dN/N = -λdtのように式変形し、同じ変数のものは同じ変数同士まとめてしまうのだ。そして、それぞれの右辺と左辺をそのまま積分すればよい。すなわち、下記の式を得る。∫dN/N = -∫λdtLogN = -λt + C…(2)※Cは積分定数とする。(2)式で注意してほしいが、積分定数を両辺で個別に書く意味はない。すなわち、LogN＋C = -λt + Dのように積分定数C,Dといった具合で二つの積分定数を定義する必要はないのだ。理由は、LogN = -λt + D-Cのように式変形すると結局D-Cが一つの変数になるからである。それはさておき、(2)のような形では具体的な数値を予測できない。もう少し、条件を追加してみよう。(これを初期条件という。)=====================================(A)t = 0のとき、N=N0とする。※N0は定数。(B)t = Tのとき、N=(1/2)N0とする。※このようなTを一般的に半減期という。=====================================上記の条件を追加することで、核崩壊現象を考えてみよう。条件(A)を(2)に代入すると、LogN0 = C…(3)条件(B)、(3)式を(2)に代入すると、Log(N0/2) = -λT + Log(N0)∴-λ ＝　-Log(1/2)/T　…(4)従って、(3)、(4)式を(2)に代入すると下記の式が得られる。LogN = Log(1/2)*(t/T) + LogN0Log(N/N0) = Log(1/2)^(t/T)N = N0*(1/2)^(t/T) …(5)以上より、放射性物質はこのような式で予測できるといえる。そうだ。この式を物理の教科書で見たことあるぞ…と思ったあなた。この公式は微分方程式によって導くことができるのである。まずは、核崩壊現象の基本的な数理としてこの式を導けるようになってほしい。

  2015年01月24日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究11：√2の連分数展開

  中学数学の知識があればわかるだろうが、1/(√2+1)=√2-1が成り立っている。従って、下記の式が成り立つ。√2=1+1/(√2+1)よく、この式をみると、分数の中に√2がまたでてきている。そこで右辺の√2に√2=…という式を再び代入しよう。すると下記のようになる。√2=1+1/(2+1/(√2+1))また√2がでてきた。これを繰り返してみよう。すると下記の式が得られる。√2というのは,連分数であらわすととてもきれいな式になるのです。もう少し、一般的に考えてみましょう。A[i]の整数部分をB[i], 小数部分をC[i]としたときに、A[i+1]=1/C[i]とすれば連分数分解を行えます。例えば下記の通りです。A[1]=B[1]+1/A[2]=B[1]+1/(B[2]+1/A[3])=B[1]+1/(B[2]+1/(B[3]+1/…))もちろん、C[i]=0になれば、そこで連分数展開は終了。更に、A[m]=A[n]の場合は、連分数展開が循環することになります。√2の連分数展開を考えると、A[1]=√2, B[1]=1, C[1]=√2-1A[2]=√2+1, B[2]=2, C[2]=√2-1A[3]=√2+1, B[3]=2, C[3]=√2-1…A[3]=A[2]は明らか。これらからB[i]は1,2,2,2,2,2,2,...という数列をなす。何ともう美しい数式ではございませんか。

  2014年11月16日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究10：テイラー展開とマクローリン展開、オイラーの公式

  大学の数学の入門になってしまうのですが、テイラー展開とマクローリン展開を直感的に理解できるのが素晴らしい。これらが理解できると、オイラーの公式という非常に素晴らしい公式を導けるようになる。電気工学の基本となる式であり、ぜひ興味がある方は勉強してほしい。

  2014年11月15日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究9；ハノイの塔と数列

  ・一回の移動で動かせる円盤は1枚(一回にニ枚とか三枚とかはだめ。必ず1枚ずつ)・小さな円盤の上に大きな円盤を積み重ねることはできない。(円盤を移動させる途中逆さにしちゃダメ。)・円盤は柱以外の場所へ置くことはできない。(柱ならどこでも移動できる。)ハノイの塔とはこういうルールに従い、塔を作るゲームです。例えば5段を移動させる場合下記のような感じです。これについての算数の解説動画が下記です。このハノイの塔のルールですが、開成番長いわくN段なら2^N-1手必要といっているが、これを数学的に論じるとどうなるだろうか？数列で考えて、n枚のときをＡnとする。Ａnは、 Ａn＝Ａn‐1＋１＋Ａn‐1とあらわせる。これを式変形してＡn＋１＝２（Ａｎ-1＋１）この式は、等比数列の形なので Ａ1＝1よりＡn＋１＝（１＋１）２^(ｎ-1)よってＡn＝２^ｎ―１（答）この問題に中学受験で出会った人は一杯いたかもしれないけれども、これの規則が数学的に解明できるようになるのは、高校です。数列を習ったときに教えてくれる先生がいるといいのですが…

  2014年11月12日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究8；カルダノの公式と複素数

  都立小金井高校の授業ということだが、こういう素晴らしい講義を高校生にもっと広めたいと思い、紹介する。自分も高校3年の頃、頭が悪かったので大学への数学の特集記事でカルダノの公式が紹介されていたときにちんぷんかんぷんだった記憶がある。だからこそ、都立の高校でこれほど解りやすくカルダノの公式を紹介している講義に出会い、社会人ながら感動を覚えた。皆さまもカルダノの公式を勉強し、理解しよう。

  2014年11月09日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究7：何故微分の逆が面積か？という議題について

  定積分計算を高校では次のように習うかもしれない。∫(a→b)f(x)dx = F(a) - F(b)ただし、F'(x) = f(x)すなわち微分の逆演算が積分であり、定積分計算を行うとグラフの面積が求められると皆思うかもしれない。より、厳密にいうと上記の定義で定積分をしたからといって面積が求められるとは限らないが、多くの場合、面積を求めることに成功するわけだ。しかし、微分の逆操作が何故、面積と一致するのか？という疑問を多くの学生はクリアーに答えられないかもしれない。発見の歴史を遡ると、運動における考察がヒントになる。詳細は下記の動画をみてほしい。こういった情報を踏まえたうえで、数学的にもう少し厳密に学習できる教材を紹介したい。そこで、高校生に紹介したいのが、MathSelfReading というページである。このサイトでは、数学の話題を数多く提供していてとても素晴らしいが、特にこの辺の議題を理解するには、下記の資料を読んでいただきたくおもう。面積／関数が囲む面積／面積の計算／関数が囲む面積の実例正確な面積の計算／面積の関数／負の面積不定積分／不定積分の性質定積分／定積分の性質／定積分と面積2曲線間の図形の面積／具体的な面積計算／面積計算の工夫※数学自由研究6を読んだ上でこのページを読んだ方がわかりやすいかもしれない。こういった情報を見ていくと、何故定積分をすると面積になるのか？？という腑に落ちない疑問が払拭するだろう。数学の自由研究をしたい人におすすめである。

  2014年11月09日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究6－区分求積法と面積の公式について

  積分の公式を深く理解するためにも、高校生はこの動画を見た方がいいさ。積分という崇高な概念が生み出された歴史を考えず、突然積分の面積の公式を習っても数学が嫌いになるだけだ。今回は、積分法の基礎を理解するためにこれらの動画を紹介させていただく。

  2014年11月09日

  コメント(0)

• 

  数学自由研究5：=食塩水の一部をすてて真水を足す操作を繰り返す==

  高校入試でもこういう議題を習うけど、高校数学で数列という概念を勉強すると、こういう操作を繰り返した時の濃度が一般化できるようになる。そこで下記の問題をみてみよう。==================================================食塩の濃度が15%の食塩水100ｇがある。この食塩水を15gすてて真水を15g追加する操作を繰り返す。この操作を繰り返していくと食塩水の濃度はどうなるか？===================================================今日は、この例を題材として食塩水をすてて真水を足し続ける場合の濃度の規則を考えよう。まず、操作をn回繰り返した時の食塩水の濃度をa(n)とおく。a(n+1)とa(n)の間に関係性が見いだせれば食塩水の濃度が予測できるはずだ。n回目の操作による食塩の重量は、下記のとおりである。100×a(n)/100 = a(n) g…(1)さらに、15gの食塩水を捨てて真水を補ったときに失われる食塩の量は、下記のとおりである。15×a(n)/100 = 0.15*a(n)…(2)よてn+1回目の塩の量は、下記(3)式のとおりである。a(n) - 0.15*a(n) = 0.85a(n)…(3)つまり、n+1回目の濃度はa(n+1)は、a(n+1)=0.85a(n)/100*100=0.85a(n)であり、a(n)は当比数列になるので下記の条件式を満たす。a(n)=a(0)*0.85^(n-1)=15*0.85^(n-1)…(4)これをエクセルでグラフにしてみると下図の通り。中学のころにならった食塩水の濃度の応用問題が数列という概念を習うことで規則化でき、どんなふうに変化していくかも予測できるではないか。こうやって、今まで習ってきたものをより一般性のある議論に書き換えていくと面白いと思うぞ。

  2014年11月07日

  コメント(0)

• 数学自由研究4：外積と空間図形(2)　獨協医科大学入試を素早く解く。

  座標空間内に3点A(3,2,3)、B(1,3,3)、C(1,2,1)がある。(1)cos∠ABCを求めよ。(2)△ABCの面積を求めよ。(3)△ABCが定める平面αに原点Oから下ろした垂線をOHとすると、Hの座標を求めよ。=================================================コメント：この問題は良く見かける問題でしょうが、ここでも外積はパワフルです。外積を使って問題をといてみましょう。(解法)(1)→AB = →OB - →OA = (-2, 1, 0)→AC = →OC - →OA = (-2, 0, -2)→AB・→AC =｜→AB｜*｜→AC｜*cos∠ABC4+0+0 = √5*2√2*cos∠ABCcos∠ABC　=　√(10)/5(2)面積をSとする。→n = →AB×→ACとすると、→n = (-2, -4, 2)S = 0.5*｜→AB×→AC｜=0.5√(4+16+4)=√6(3)→OH = (x, y, z)とおく→OH∥→nは自明であり、→OH = k*→n(kは定数)とあらわすことができる。(k≠0)よって、(x,y,z) = (-2k,-4k,2k)とおける。→OHは→HAと垂直であり、→OH(→OA - →OH) = 0 →OH・→OA - ｜→OH｜^2 = 0(3,2,3)・(-2k,-4k,2k)-(4k＾2+16k＾2+4k＾2)=0-6k-8k+6k-24k＾2 = 03k^2 + k = 0k(3k + 1) = 0k = -1/3よって、(x,y,z) = (2/3, 4/3, -2/3)※やはり外積を知っていると早い。普通なら、→OHと→AB,→BC,→CAが垂直だという条件で三つの条件式が必要だが、条件式が二つで解けている。計算も簡易であり、外積自体は大学で習うが、検算用としてしっていると、ベクトルの問題を素早く解けるのでおすすめである。外積を使うと早い問題があれば、この例以外でも紹介していくつもりだ。座標が決まっているものの、四面体の体積とかであれば外積の公式を使うようにしよう。

  2014年10月28日

  コメント(0)

• 数学自由研究3：外積と空間図形(1) 慈恵会医大入試を素早く解く。

  外積という概念をこれまで紹介してきました。外積の定義外積の図形的な意義ここでは外積の練習のため、下記の問題(出典：慈恵会医大)を解いてみよう。========================================================原点をOとする空間に二点P(s,s,s+2)、Q(t,t+2,-t-1)がある。ベクトルOPとOQが垂直であるのは、s = (ア)、 t = (イ)の時である。 sの値が(ア)であるときのPをP0とし、tの値が(イ)、1の時の点QをそれぞれQ0,Q1とする。このとき、三角形OQ0OQ1の面積は(ウ)であり、四面体OP0Q0Q1の体積は（エ)である。========================================================ベクトルOPとOQが垂直より、→OP・→OQ = 0st+st+2s-st-s-2t-2 = st+s-2t-2 = t(s-2)+(s-2) =(s-2)(t+1) = 0∴s = 2, t = -1となる。従って、各値を代入すると、P0(2,2,4),Q0(-1,1,0),Q1(1,3,-2)となる。今、角形OQ0Q1の面積をSとする。このとき、ベクトルOQ0とOQ1のなす角をθとして、S = 1/2*｜→OQ0｜*｜→OQ1｜*sinθS =1/2｜OQ0×OQ1｜ここで、OQ0×OQ1 = (-2,-2,-4)より｜OQ0×OQ1｜=√(4+4+16)=2√6S = 2√6×0.5 = √6また、四面体OP0Q0Q1の体積をVとすると、V =｜(→OQ0×→OQ1)・→OP0｜/6 = ｜(-2,-2,-4)・(2,2,4) ｜/6 = ｜-4-4-16｜/6 = ｜-24｜/6V = 4このように、外積を知っていると四面体の体積とかすぐに出せてしまうのだ。センターのようなマーク式には重宝するだろう。最も記述で使うことは推奨しませんけど。

  2014年10月28日

  コメント(0)

• 数学自由研究2：外積の図形的な意義(大学の数学)

  前回の記事では、二つのベクトル→a = (a1, a2, a3),　→b = (b1, b2, b3)があるとき、このベクトル→cって図形的に凄い意味があるといいました。どんな意味があるのか考えてみましょう。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例題：二つのベクトル→a = (a1, a2, a3),　→b = (b1, b2, b3)がある。これらを2辺とする平行四辺形の面積を求めよ。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平行四辺形の面積をSとする。S =｜→a｜*｜→b｜*sinθS^2 =｜→a｜^2*｜→b｜^2*sin^2θS^2 =｜→a｜^2*｜→b｜^2*(1-cos＾2θ)S^2 = ｜→a｜^2*｜→b｜^2-｜→a｜^2*｜→b｜^2*cos＾2S^2 = ｜→a｜^2*｜→b｜^2-(→a・→b)^2S^2 = (a1^2+a2^2+a3^2)・(b1^2+b2^2+b3^2) - (a1b1+a2b2+a3b3)^2S^2 = (a1b1)^2+(a1b2)^2+(a1b3)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2+(a2b3)^2+(a3b1)^2+(a3b2)^2+(a3b3)^2-(a1b1)^2-(a2b2)^2-(a3b3)^2-2*(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)S^2 = (a1b2)^2+(a1b3)^2+(a2b1)^2+(a2b3)^2+(a3b1)^2+(a3b2)^2-2*(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)S^2 = (a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2-a2b1)^2 S = √{(a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2-a2b1)^2}さて、ここで外積との関係を見てみよう。外積→a×→bは、→a×→b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)でした。面白いことに！！、外積の大きさ｜→a×→b｜は、ベクトル→a、→bを二辺とする平行四辺形の面積と一致するのです。また、内積と外積の大きさを比較してみましょう。内積…｜→a｜｜→b｜cosθ外積…｜→a｜｜→b｜sinθ何と美しい偶然でしょうか。二つのベクトルに垂直なベクトルを式変形していくとこのような関係式が得られるのです。この性質はとても強力なものであり、空間図形への応用範囲が広いです。例えば、座標さえわかれば外積を使って平行六面体や四面体の体積がすぐに計算できます。参考：数学・算数雑記を参考。大学受験では、検算用に重宝するかもしれませんね。

  2014年10月28日

  コメント(0)

• 数学自由研究1：(外積の公式)二つのベクトルに垂直なベクトルを求める。

  ※いい書き方はわかりませんが、このブログではベクトルaを→aと書くことにします。　それを踏まえたうえで例題を出します。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例題1：二つのベクトル→a = (1, 1, 1),　→b = (-3, 1, 3)がある。これらに垂直なベクトル→cのうち、　 ｜→c｜ = 7を満たすものを求めよ。(藤田保険衛生大学医学部より抜粋)＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝問い⇒公式もあるのですが、王道的に解いてみよう。→c = (x, y, z)とする。各ベクトルに垂直なので→cと各ベクトルの内積はゼロになる。従って、→a・→c = x + y + z = 0　…(1)→b・→c = -3x + y + 3z = 0…(2)ここで、｜→c｜ = 7 より、√(x^2 + y^2 + z^2) = 7 となり、x^2 + y^2 + z^2 =　49…(3)となるので、これをとく。y = 3x - 3z = -x - z よりz = 2x　…(4)となり、これを(1)、あるいは(2)に代入するとy = -3x…(5)となる。これを(3)式に代入すると、x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (-3x)^2 + (2x)^2 = 14x^2 = 49 x^2 = 7/2∴　x =　±√(14)/2、よって→c =(√(14)/2, －3√(14)/2, √14)、あるいは→c =(‐√(14)/2, 3√(14)/2, ‐√14)外積の公式とかもあって、覚えていれば公式に代入すればすぐ出せますが、内積が0になる→x,y,zの関係式が二つ得られるのでy,zをxであらわす。→点と直線の距離の公式に代入する。というステップを踏むことで、実は垂直なベクトルは非常に簡単に求めらます。これを解らずに公式を覚えると、この単元が嫌いになるでしょう。それでは、公式を導出してみましょう。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例題：二つのベクトル→a = (a1, a2, a3),　→b = (b1, b2, b3)がある。これらに垂直なベクトル→cを求めよ。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝→c = (x, y, z)とする。各ベクトルに垂直なので→cと各ベクトルの内積はゼロになる。従って、→a・→c = a1x + a2y + a3z = 0　…(1)→b・→c = b1x + b2y + b3z = 0…(2)となるので、これをとく。-y = (a1/a2)x ＋(a3/a2)z = (b1/b2)x + (b3/b2)z{(a1/a2) - (b1/b2)}x = -{(a3/a2) - (b3/b2)}z(a1b2 - a2b1)x = -(a3b2 - a2b3)zz = (a1b2 - a2b1)x/(a2b3 - a3b2)…(3)‐z = (a1/a3)x + (a2/a3)y = (b1/b3)x + (b2/b3)y{(a1/a3) - (b1/b3)}x = {(b2/b3) - (a2/a3)}yy = (a3b1 - a1b3)x/(a2b3 - a3b2) …(4)よって、(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)が垂直なベクトルになる。このベクトル→cのことを外積と呼びます。表記法としては、→c = →a×→b等と書きます。覚え方：怜悧玲瓏　～高校数学を天空から俯瞰する～参考。実は、この外積の図形的な意味を考えると感動的な性質があります。それについては、次回の記事で論じます。

  2014年10月27日

  コメント(0)

全18件 (18件中 1-18件目)

1