Mashaの中国生活日記。

図や計算式は後日アップしますが…。
ベクトル軌跡の問題、その２です。
回路はブリッジ。で、左側がＲの直列。右側がＣとＲの直列。
つまり、電源Ｅ0から見ると、Ｒの直列と、ＲＣ直列の、並列回路。

求めるのは電源と対角側端子の電圧Ｅと、Ｃを変化させた時のＥの軌跡。

まず、分流される電流Ｉ1、Ｉ2を求めます。
Ｉ1は電圧Ｅ0に対してＲの直列なので、
Ｉ1＝Ｅ0／２Ｒ
Ｉ2は電圧Ｅ0に対してＲとＣの直列なので（角周波数ω）
Ｉ2＝Ｅ0／｛Ｒ＋（１／ｊωＣ）｝＝Ｅ×（ｊωＣＲ／（１＋ｊωＣＲ）

よって、Ｅ＝Ｒ（Ｉ1－Ｉ2）であり、これを変形すると、
Ｅ＝（Ｅ0/2）×｛1/2－（（ωＣＲ）^2＋ｊωＣＲ）／（１＋（ωＣＲ）^2｝
ωＣＲ＝Ａとすると、
Ｅ＝（Ｅ0/2）×｛1/2－（Ａ^2＋ｊＡ）／（１＋Ａ^2）｝

ちょっとこの後の式変形は割愛しますが（PCでの入力は大変）…、
上の式で、実部＝（1/2－Ａ^2／（１＋Ａ^2）＝ｘ
虚部＝－Ａ／（１＋Ａ^2）＝ｙ
と置いて、ｘ^2＋ｙ^2を求めると、1/4になります。
つまり、大きさは1/2で、原点を通る円になります。
（実際にはこれにＥ0がかかってるので、直径がＥ0）

ここで、虚部ｙは負ですから、Ｅは下半分の半円となります。

この半円において、Ｃ＝０でｘ＝Ｅ0、Ｃ＝∞でｘ＝－Ｅ0　共に、ｙは０
となります。よって、Ｃ＝０の時の位相角φは０°。
Ｃ＝∞の時は１８０°となります。

残り、Ｅの位相角φを考えると、実部がｘ、虚部がｙの関数において、
位相角φは、
tan^-1（虚部／実部）より、tan^-1（ｙ／ｘ）であり、これを計算していくと、
φ＝tan^-1（－２Ａ／（１－Ａ^2））
が求められる。

実は、これ、もっと簡単に求める方法があります。
（ってか、問題の解答はその方法だった）
ただ、その二つの解法での結果がパッと見では違った為、
昨日は勉強をアップを断念。
さらに、解答の解答がなんでその解き方でＯＫか、明確にわからなかったから。

一応、そっち判明したので、補足のほうにあげます。
まだ、本当に二つの解が一致してるかは完全ではないですが、
とりあえず終わり！