入試における基本問題のまとめその4…三次方程式を題材とした整数問題
問い1：3次方程式 x^3-(p-3)x^2-3x+p-1 = 0の三つの解が 全て整数となるような実数pの値を求めよ。問い2：a,b,cは整数とする｡三次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が 有理数αに解をもてばαは整数であることを示せ。問い3：三次方程式x^3+x-8=0は有理数解をもたないことを示せ。問い4：x^3-x^2+9x-5=0は整数解をもたないことを示せ。問い5：pを素数とする。xの三次方程式 x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=0 が 整数解を持つときpの値は？解法)問い1f(x) = x^3-(p-3)x^2-3x+p-1とおく。f(1) = 0より、整数解の一つはx=1である。また、（x-1)で因数分解するとf(x) = (x-1)(x^2-(p-4)x+1-p) = 0と表せるので、x^2-(p-4)x+1-p=0が整数解となるような実数pの条件を考えればよい。※実質的には三次方程式のふりをした二次方程式の問題だった。残り二つの解をa,bとおくと、解と係数の関係からa+b=p-4 …(1)ab=-p+1 …(2)(1)+(2)より、ab+a+b=-3(a+1)(b+1)=-2…(3)これを満たす整数a,bの組(a,b)は、(1,-2)(-2,1)(0,-3)(-3,0)に限られる。よってp=1,3となる。解法)問い2 有理数解をx=p/qと表す。ここで(p,q)は互いに素な整数とする。三次方程式に代入すると、(p/q)^3+a(p/q)^2+b(p/q)+c=0p^3/q = apq + bpq^2+cq^3…(1)ここで右辺は整数であるので、p^3/qも整数となるが、p,qは互いに素であるので、q=1となる。従って、有理数解αは整数解であることが示された。解法)問い3 三次方程式x^3+x-8=0が有理数解aを持つとすると、aは整数である。aを代入すると、a^3+a-8 = 0⇔a(a^2+1) = 8a＜a^2+1であり、また、0＜a^2+1を考えると、これを満たす整数、(a,a^2+1)の組は、(1,8),(2,4)のみである。ところが、いずれの条件も満たすaは存在せず矛盾。よって、三次方程式は有理数解をもたない。解法)問い4：f(x)=x^3-x^2+9x-5として、そのグラフを考える。f'(x) = 3x^2-2x+9 = 3{x^2-(2/3)x+1/9}-1/3+9=3(x-1/3)^2+26/3＞0より、f(x)は単調増加する関数である。更に、f(0)=-5,f(1)=4より、f(x)の解は0＜x＜1の間にあることがわかる。従って、f(x)=0は整数解をもたない。解法)問い5：問題にはいるまえにコメントをさせてほしい。誤答例。解と係数の関係より、αβγ=pだから、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)という組み合わせが考えられるということで、x=±1を代入する解法が書かれているけれども、それで本当にいいだろうか?ここで書かれているのは、あくまで整数解をもつと書いてあるが、全部が整数解だなどとは一言も書いていない。例えば、(√2-1,√2+1,p)の場合も、αβγ=(2-1)p=pで、整数解pが一応存在する。これも問題文の条件を満たしているのだ。直感的にx=1のとき、p^2-8p+7=0だからp=7と思うかもしれないけれども、ちゃんと論証するとなると、解と係数の関係より、(α,β,γ)=(1,1,p),(-1,-1,p),(-1,1,-p)と論じるのは言葉足らずではないだろうか。それを踏まえたうえで解説しよう。f(x)=x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-pとおく。整数解をaとすると、f(x)は(x-a)で割ることができるので、x^3+(p^2+2)x^2-(7p-4)x-p=(x-a)(x^2+bx+c)=x^3+(b-a)x^2+(c-a)x+acと表せる。各係数を比較するとb-a=p^2+2⇔b=a+p^2+2c-a=-7p+4⇔c=a-7p+4と表せるので、bとcは整数である。更に、p=acと表せるので、a,b,cは整数であることから、(a,c)=(1,p),(p,1),(-1,-p),(-p,-1)のいずれかの場合に限られる。以上により場合別けを行う。a=1のとき、f(1)=0⇔p^2-8p+7=0⇔p=7,1より、p=7が解となる。a=-1のとき、f(-1)=0⇔p^2+6p-3=0より、pは整数にならない。a=pのとき、f(p)=0⇔p^4+p^3-5p^2+3p = 0⇔p^3+p^2-5p+3=0,(p-1)^2(p+3)=0より、pは素数にならない。a=-pのとき、f(-p)=0⇔p^4-p^3+9p^2-5p = 0⇔p^3-p^2+9p-5=0より問い4の結果からpは整数解をもたない。よって、a=1が解であり、その時のpの値は7である。
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