Mashaの中国生活日記。

問４　交流回路（インダクタンスを含むブリッジ回路）
図１（補足の手書き）のような相互インダクタンスを含む回路がある。
自己インダクタンスＬ２，Ｌ３間の相互インダクタンスはＭである。
図のように電源の角周波数ω、電流をＩ１、Ｉ２と定義し、Ｌ１～Ｌ３のコイル両端電圧をそれぞれＶ１～Ｖ３とすると、

Ｖ１＋Ｖ３＝ｊωＬ１Ｉ１＋ｊωＬ３（Ｉ１＋Ｉ２）＋ｊωＭＩ２
　＝ｊω（Ｌ１＋Ｌ３）Ｉ１＋ｊω（Ｌ３＋Ｍ）Ｉ２

Ｖ２＋Ｖ３＝ｊωＬ２Ｉ２＋ｊωＭ（Ｉ１＋Ｉ２）＋ｊωＬ３（Ｉ１＋Ｉ２）＋ｊωＭＩ２
　＝ｊω（Ｌ３＋Ｍ）Ｉ１＋ｊω（Ｌ２＋Ｌ３＋２Ｍ）Ｉ２

の関係が成り立つ。

図２（補足）の回路は図１を等価変換したものである。いま、Ｌａ，ＬｂおよびＬｃのコイル両端電圧をＶａ，Ｖｂ，Ｖｃとすると、

Ｖａ＋Ｖｃ＝ｊωＬａＩ１＋ｊωＬｃ（Ｉ１＋Ｉ２）
　＝ｊω（Ｌａ＋Ｌｃ）Ｉ１＋ｊωＬｃＩ２

Ｖｂ＋Ｖｃ＝ｊωＬｂＩ２＋ｊωＬｃ（Ｉ１＋Ｉ２）
　＝ｊωＬｃＩ１＋ｊω（Ｌｂ＋Ｌｃ）Ｉ２

の関係が成り立つ。

これら二つの回路で、電位差は等しくなければならない、という条件から、Ｌ１～Ｌ３，Ｌａ～Ｌｃを求めると、

Ｌｃ＝Ｌ３＋Ｍ
Ｌａ＋Ｌｃ＝Ｌ１＋Ｌ３→Ｌａ＝Ｌ１－Ｍ
Ｌｂ＋Ｌｃ＝Ｌ２＋Ｌ３＋２Ｍ→Ｌｂ＝Ｌ２＋Ｍ

一方、検流計Ｇに流れる電流が０となる条件は、図２におけるブリッジの平衡条件、

Ｒ４（Ｒ１＋ｊωＬａ）＝Ｒ３（Ｒ２＋ｊωＬｂ）

の式に、Ｌａ，Ｌｂ、Ｌ１，Ｌ２の関係式を代入する。
ここで、実部同士、虚部同士がそれぞれ等しい、という条件から、
Ｒ１Ｒ４＝Ｒ２Ｒ３，
また、Ｒ４・ｊωＬａ＝Ｒ３・ｊωＬｂより、
Ｒ３／Ｒ４＝（Ｌ１－Ｍ）／（Ｌ２＋Ｍ）

となる。
以上です。
補足はこちら、です。