算数大好き！　クルミと森のなかまたち

◎剰余系の応用

剰余系について日記でも何度か，取り上げてきました。
剰余系の基本がわかっていると，とても便利です。
中学入試をめざす子なら，この程度の常識は身につけて
おいた方がいいかもしれません。

次のような問題も，剰余系で表現してあげると，解答
のとっかかりがイメージできます。

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【きょうの問題】
１３をたすと３１で割りきれ、３１をたすと１３で割り
きれる整数のうち、もっとも小さい数を求めなさい。　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（学習院女子中）
（答えは明日，掲載します。）

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・復習をしておきましょう。
＜剰余系の基本＞
（１）同じ数ａで割る。
（２）そのときの「あまり」に注目する。
（３）「あまり」が同じならば，同じグループとして
　　記号「≡」で結ぶ。割る数ａは（法ａ）と表す。

週で考えてみましょう。
（１）同じ月の日にちを７で割る。
（２）たとえば，３日，１０日，１７日，２４日，３１日
　　は「あまり」が３になる。
（３）３≡１０≡１７≡２４≡３１（法７）

　法７　は　ｍｏｄ７　でもいいです。
　何で割ったか，明らかにしておくために，書いておきます。

【例題】
３をたすと７で割りきれ、７をたすと３で割りきれる整数
のうち、もっとも小さい数を求めなさい。　　

【解説】
求める数を□としましょう。

３をたすと７で割りきれる　→　□＋３≡０（法７）

７をたすと３で割りきれる　→　□＋７≡０（法３）

剰余系の性質を思い出しましょう。　　　

□＋３≡□＋１０≡０（法７）

□＋７≡□＋１０≡０（法３）

ここまでくれば，ゴールも近い(^.^)

７で割っても３で割って割り切れる数のうちで
一番小さな数は，７と３の最小公倍数２１です。

２１＝□＋１０

つまり，□＝１１と考えてあげると

２１≡０（法７）
２１≡０（法３）

答え　１１

もちろん，このやり方でなくてもいいです。
他のやり方も試してみてください。(^.^)

中学・高校の問題も，この剰余系を使って解いて
みるといいですよ。