算数大好き！　クルミと森のなかまたち

☆「図形のエッセンス」をフリーページに掲載
していきます。とりあえず、５本書きました。
図形はイメージしやすい分野です。

「これだけは、知っておいてほしい」という
知識を中心に、時間をみて書いていきます。
対象は、小学生から中学生までです。

取り上げてほしいという希望などがあったら、
掲示板、私書箱どちらでもかまいません。
連絡してくださいね(^.^)


■■■　Ｒくん、剰余系を使う（１２）　□□□□

【エピソード１】

６５４３　は　９　で割り切れる判定法があります。
これは知っている！　という子が多い思います。

実際に割ってみればいいのですが、それでは
応用がききません。

そのわけを、剰余系で見てみます。

ちなみに、ふつう学校や塾などで説明する場合でも、
考え方は剰余系そのものなんですよ(^.^)

１０≡１　（ｍｏｄ９）　　　　　　（９を食べてしまいましょう）
１００≡１　（ｍｏｄ９）　　　　　（９９を食べてしまいましょう）
１０００≡１　（ｍｏｄ９）　　　　（９９９を食べてしまいましょう）

いつも、あまり１ですね。

ところで、６５４３は、つぎのように表せます。

６５４３＝６０００＋５００＋４０＋３

４０≡４　（ｍｏｄ９）　　　　　　（左右の辺を４倍しましょう）
５００≡５　（ｍｏｄ９）　　　　　（左右の辺を５倍しましょう）
６０００≡６　（ｍｏｄ９）　　　　（左右の辺を６倍しましょう）

この性質を使います。

６５４３≡６＋５＋４＋３　　（ｍｏｄ９）　　・・・☆☆

さいごの仕上げは、６＋５＋４＋３＝１８　なので、

６５４３≡１８≡０　　　（ｍｏｄ９）

９で割り切れるのですが、大切なのは、☆☆の式です！

わざわざ６５４３を割らなくてもいいのです。

６＋５＋４＋３の和に注目して、
これが９で割れるかどうかを調べれば済みます。

たとえば、

１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１
は９で割り切れますか？

という問題なら、直接割ったのでは時間がかかり過ぎです(^.^)

この考え方は、「九去法」と呼ばれています。

「ある数の各位の数の和が9の倍数になっていると，
もとの数は9の倍数である」

３の倍数も、同じような性質があります。
５４３２１という数なら、

ｍｏｄ３　で

１００００≡１
１０００≡１
１００≡１
１０≡１

ｍｏｄ９　とまったく同じ結果になります。

５００００≡５
４０００≡４
３００≡３
２０≡２
１≡１

つまり、
５４３２１＝（５００００＋４０００＋３００＋２０＋１）
　　　　　≡（５＋４＋３＋２＋１）
　　　　　≡１５
　　　　　≡０

「ある数の各位の数の和が３の倍数になっていると，
もとの数は３の倍数である」
という結論が出てきます。

［宿題］
整数ＡをＡのそれぞれの位の数の和で割り、余りを［Ａ］で
表すことにします。たとえば、［１２３］については
１２３を１＋２＋３の６で割ると余りは３なので、［１２３］＝３
となります。また、
［７］は、７を７で割ると割り切れるので、［７］＝０
［［９８］］は、［９８］＝１３なので、［［９８］］＝［１３］＝１
となります。
（１）　［５８］、［［８６２］］をそれぞれ求めなさい。
（２）　Ａが２けたの整数のとき、［Ａ］が最も大きくなるような
　　　Ａを求めなさい。
（３）　［［Ａ］］＝９となる整数Ａのうち、最も小さいものを求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　桐明中学校

※新しい世界の入口です。こんな世界もあるんだ、へぇー、
それなら楽しんでやろう、こんなノリでいいのです。

新しいルールが出てきても、あせってはいけません。
ちゃんと、ルールが書かれているので、プールに入る
ときのように、慎重に一歩ずつ入っていきましょう(^.^)

（つづく）