隠れ家

In mathematics, a multiply perfect number (also called multiperfect number or pluperfect number) is a generalization of a perfect number.

For a given natural number k, a number n is called k-perfect (or k-fold perfect(k倍したもの?!? ) ) if and only if the sum of all positive divisors of n (the divisor function, σ(n) {「約数関数(自然数 n を変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるもの. ) 」  σ_x(n) は multiplicative function乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない. } ) is equal to kn; a number is thus perfect if and only if it is 2-perfect. A number that is k-perfect for a certain k is called a multiply perfect number. As of 2014, k-perfect numbers are known for each value of k up to 11. 2007年12月現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている.

It can be proven that:
For a given prime number素数 p, if n is p-perfect and p does not divide n, then pn is (p+1)-perfect. This implies that an integer n is a 3-perfect number divisible by 2 but not by 4, if and only if n/2 is an odd perfect number偶数?-完全数, of which none are known.
If 3n is 4k-perfect and 3 does not divide n, then n is 3k-perfect.

An open question is whether every k-perfect numbers are divisible by k!, where "!" is the factorial「階乗(n! は、1 から n までのすべての整数の積. ) 」.
by Wikipedia
(k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照.
k倍完全数が無数に存在するかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、これより多くは存在しないと言われている.
k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする. このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）.  この定数 C は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）.
k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい. これは n の約数の和を N としたとき、逆数の和は N /n   = k  になることから証明できる.
例：n = 6 のとき 1 /1   + 1 /2   + 1 /3   + 1 /6   = 12 /6   = 2  
k倍完全数となる数の約数の和は 1, 12, 56, 360, 992, 2016, 16256, 120960, …（オンライン整数列大辞典の数列 A081756）) <性質ーー/wiki/倍積完全数 > )

multiplicative perfect number 乗法的完全数
正の約数の積が自分自身の自乗（2乗 ）に等しい数を乗法的完全数という. 乗法的完全数の列は、

1, 6{2^2 × 3^2 = 36 }, 8{1^2 × 2^2 × 4^2 = 64 }, 10{1^2 × 2^2 × 5^2 = 100 }, 14, 15, 21, 22, …（オンライン整数列大辞典の数列 A007422） <完全数でない自然数ーー/wiki/完全数 >

<figure >  
*完全   2^2 × 3^2 = 36          →　6
3完全   σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120 {120 の 3 倍となるので、120 は「3倍完全数 (具体的には 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, …（オンライン整数列大辞典の数列 A007691）) 」 }   (cf; a^3 × b^3 × c^3 = 14400     →　120   ??? )

< figure--smallest k-perfect numbers---/wiki/Multiply_perfect_number >
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiply_perfect_number

2007年12月現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている. 
2倍完全数 … 完全数を参照.
3倍完全数 … 120, 672, 523776, 459818240, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005820）
4倍完全数 … 30240, 32760, 2178540, 23569920, …（オンライン整数列大辞典の数列 A027687）
5倍完全数 … 14182439040, 31998395520, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046060）
6倍完全数 … 154345556085770649600, …（オンライン整数列大辞典の数列 A046061）

（さんこう,）
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/5_5.html
乗法的関数    - Published by SANENSYA Co.,Ltd. --
(これが?、'computerｓ 'にはいっている・「乗法的関数 」の programmings の概要 ???,, )
p210-  乗法的関数、乗法的完全     「素数大百科  ChrisK. Caldwell (著), SOJIN (翻訳) 」より
　by AMAZON
(コンパクトかづ,　網羅的であることを心がけた名著・!!・・ )

cf;:
pluperfect;過去完了[形?]?、大過去