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Apr 13, 2013
カテゴリ：数学
８面体と正４面体を組み合わせて大きな正８面体を作る問題＿正８面体と正４面体それぞれの個数計算 この計算は非常にややこしいのですが、大変興味ある問題ですので、発表します。 過去において、正四面体の拡大についての個数計算問題を解きましたが、それ以上に面倒な問題となっていました。 何しろ多面体模型を紙工作で行って、それを積み上げていって確証したのでしたから。 今回はその正四面体よりも個数を要する手間のかかる問題となりました。 とても7倍までの確証実験は行いきれません。 しかし、数式が発見されれば、７倍どころか９倍でも10倍でも、正八面体の拡大に要する正８面体と正４面体のそれぞれの必要個数が計算できることが分かったのでした。 その実験を行った３倍拡大と４倍拡大の実験から見ていただきます。 正８面体と正4面体で変の大きさを３ 倍にした正８面体を組み立てる ３倍拡大  組み立てるとき、正８面体と正４面体を積み上げられるように、正８面体の形状に合うような入れ物を用意した。 その入れ物に2種類の正多面体を組み合わせて、辺の大きさが３倍になるような正８面体が合成された。 正８面体が19個、正４面体が32個で合成されている。 組立順序  正８面体と正4面体で辺の大きさを４ 倍にした正８面体を組み立てる ４倍拡大  正８面体が44個、正４面体が80個で合成されている。 実際に正８面体を４４個と正4面体を80個作り、用意した入れ物の中に組み込んで行ってその個数を確認した。 その合成正８面体の写真です。 ４倍合成手順  下から入れ物の縁まで積み上げた図は省略されて、正４面体24個の辺が入れ物の縁と同じ高さになった図から示しています。 1 がその図です。 2 は その次に正８面体を16個を載せた図です。 3 は その上に正４面体を24個を載せた図です。 この組立順を表にしたのを次に示します。 ４倍＿組立順序表  最初に正８面体を１個いれ、次に正４面体を４個入れることを赤の矢印で示している。 最後に、正８面体を１個載せれば終わりです。 それでは、辺の大きさを５倍、６倍、７倍などと 大きくして行ったら 正８面体と正４面体の個数は幾つになるのだろうか。 これを計算で求めてみたのが、次の表です。 拡大に要する個数表  この表は、次の表を個数の合計数をまとめた表ですが、下の組立表の合計だけを表にしたものです。 拡大に要する正８面体と正４面体の個数表  この表を作るにあたって、計算式を求めました。 その計算式は、どのような構成になっているかを考えて、正８面体と正４面体の構成数式が次のように発見されました。 正８面体についての構成式 二乗の式 ４、９、16 は ２の二乗、３の二乗、４の二乗 です。 正４面体についての構成式 は 各倍数の正4面体を順次入れた順で、表にしてみたとき、その構成が発見されました。 その正4面体個数計算表を下に掲げます。 正4面体個数計算表  この表は正４面体の下半分の個数表です。したがって、正４面体の合計個数はその２倍になります。 この計算を行うに際して、EXCELで表計算を行いました。 倍数をｍとすると、セルに入る数式が 2m(m+1）に成っていますので、 セルには m*2*(m+1）と書き込んであります。ｍは倍数を示すセルです。 このようにして、合計計算もΣで簡単に求められた。 2m(m+1）の式を発見するにあたっての数値の整頓を行って、どんな構成になっているかを考えてみたら、どのセルも同じ構成になっていることがわかったのです。 その発見過程についての説明は、次回のページで致します。 お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう
Last updated
Sep 20, 2013 11:45:14 PM
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