Mashaの中国生活日記。

ブリッジ回路の問題。

上下に分岐するブリッジ回路で、
上がインダクタンスＬ１→抵抗Ｒ１→ａ点→抵抗Ｒ２…（１）
下がインダクタンスＬ２→抵抗Ｒ３→ｂ点→抵抗Ｒ４…（２）
で、Ｌ１～Ｌ２間の相互インダクタンスはＭ。
ａ－ｂ間に検流計Ｇをおき、Ｌ１、Ｌ２の左側の点をｃ点として、
交流電源を接続した回路。
（補足の手書き図１：左側参照）

（１）、（２）のラインの電流を、それぞれＩ１、Ｉ２とする。

ｃａ間の電圧Ｖｃａは、Ｉ１によるｃ点からａ点までの電圧降下に等しい。
ｃ～ａ間のインピーダンスはＺ１は、Ｚ１＝Ｒ１＋ｊωＬ１
である。
ここで、相互インダクタンスにより、さらにＩ２Ｍの電圧降下も加わる為、
Ｖｃａ＝Ｉ１Ｚ１＋Ｉ２Ｍ＝Ｒ１Ｉ１＋ｊωＬ１Ｉ１＋ＭＩ２

同様にして、ｂ点の電圧Ｖｂを求めると、
Ｖｃｂ＝Ｒ３Ｉ２＋ｊωＬ２Ｉ２＋ＭＩ１

ここで、Ｌ１、Ｌ２、Ｍの部分を、相互インダクタンスがなく、
直列に自己インダクタンスＬｃを挿入した等価回路を考える。
（補足の手書きの図２、参照）
ここで、Ｌ１、Ｌ２の位置にはそれぞれＬａ、Ｌｂに変換する。

この回路は、Ｌｃと、ブリッジの直列回路と見ることができる。
そこで、この回路でも元の回路と同様にＶｃａを求めると、
Ｌｃには電流Ｉ１＋Ｉ２が流れ、それによる電圧降下と、
Ｚ１’＝ｊωＬａ＋Ｒ１での、Ｉ１による電圧降下の和となる。
よって、
Ｖｃａ＝（Ｉ１＋Ｉ２）ｊωＬｃ＋Ｚ１’Ｉ１
　　　＝ｊω（Ｌａ＋Ｌｃ）Ｉ１＋Ｒ１Ｉ１＋ｊωＬｃＩ２

同様にして、Ｖｃｂを求めると、
Ｚ２’＝ｊωＬｂ＋Ｒ３
Ｖｃｂ＝ｊω（Ｌｂ＋Ｌｃ）Ｉ２＋Ｒ３Ｉ２＋ｊωＬｃＩ１

これら２つのＶｃａ、Ｖｃｂより、
Ｌａ、Ｌｂ、ＬｃをＬ１、Ｌ２、Ｍを使って表すと、

Ｌｃ＝Ｍ
Ｌ１＝Ｌａ＋Ｌｃより、Ｌａ＝Ｌ１－Ｍ
Ｌ２＝Ｌｂ＋Ｌｃより、Ｌｂ＝Ｌ２－Ｍ

これらより、検流計Ｇの指示が０となる条件を考える。
Ｇの指示が０→ブリッジが平衡状態、
であり、ブリッジの平衡条件は図２のほうで考えると、
Ｚ１’・Ｒ４＝Ｚ２’・Ｒ２なので、
Ｚ１’、Ｚ２’を展開して、
（ｊωＬａ＋Ｒ１）Ｒ４＝（ｊωＬｂ＋Ｒ３）Ｒ２
Ｒ１Ｒ４＋ｊωＬａＲ４＝Ｒ２Ｒ３＋ｊωＬｂＲ３
ここで、実部＝実部、虚部＝虚部である必要があるため、
Ｒ１Ｒ４＝Ｒ２Ｒ３より、
実部側より、Ｒ２／Ｒ４＝Ｒ１／Ｒ３
虚部側より、Ｒ２／Ｒ４＝Ｌａ／Ｌｂ
∴Ｒ２／Ｒ４＝Ｒ１／Ｒ３＝Ｌａ／Ｌｂ
＝（Ｌ１－Ｍ）／（Ｌ２－Ｍ）

となる。

補足も参照してくださいな。