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Nov 6, 2012
カテゴリ：数学
星型多面体へのオイラーの定理を適用する 一例で、正3角錐星型6面体にオイラーの定理を当てはめてみる。 下図の右側の立体が正3角錐星型6面体です。  上図の左側の正6面体の角を辺の二等分点3点を通る平面で切り取ったのが中央の立方八面体です。 この立方八面体の正三角形の面に正四面体を貼り付けて出来たのが、その右側の多面体（正三角錐星型6面体）です。 この多面体にオイラーの定理を当てはめてみました。 先ず、上図の三つの立体の面と頂点と辺の下図を調べてそれを表にして見ました。  頂点と言うと一般には幾つかの平面が合わさって凸になった点であると考えていますが、 頂点とは幾つかの面と稜が合わさった点であると定義されているので、上図の右側の多面体のように鞍部（コル）になった点も頂点である。稜は辺と辺が合わさっていることを言う。 よって、上の表の頂点にはコルも含まれている。コルは稜と平面が合わさっている点である。 ところで、多面体に関するオイラーの定理は頂点の数と面の数の合計は辺の数より2少ないのであって、 これを式で表すと 頂点の数 ＋ 面の数 ＝ 辺の数 ＋ 2 上の数表はこれを満足している。 さらに、幾つかの例を挙げてみます。 ダヴィンチの星といわれている一番簡単な正4面体に正三角錐を載せてできる星型多面体（正三角錐テトラポド）とケプラーの星型八面体と正三角錐星型12面体の表を下に示します。  いずれも、オイラーの定理を満足しています。 今までにオイラーの定理を適用して居なかった多面体に着いてその立証を試みたのですが、 これらの多面体の三要素を調べることから初めて、その結果だけの表にしてみました。 これらの三要素を調べた経過は省略しましたが、この計算の方が、私にとっては非常に興味がありました。コルが頂点であるということも非常に面白かったことでした。 お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう
Last updated
Nov 6, 2012 10:34:20 PM
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