◇◇ルーツを求めて◇◇1のn乗根
ωと相反方程式の解き方を見ていきます。 1のn乗根、つまりn乗したら1になる数を求めます。当然n=1が根になることを利用して、n=5までは求められます。がんばって計算していくとn=17も出てくるそうです。 代数学的にではなく、複素数の極形式を使って求める方法も使われます。 1の1乗根は当然1、2乗根は-1と1です。4乗根は-1と1、iと-iで、これもわかりやすいです。 1の3乗根の中でも、複素数の2数は面白い性質を持っています。2乗すると相手の数になります。 1以外の1の3乗根をω、ωの2乗とします。この2つの数はaの3乗根を求めるときに使います。 ある数の三乗根は、みつけた1つの根×1、×ω、×ωの2乗の3つになることがわかりました。カルダノの公式もこの性質を使っています。 ここで、相反方程式が登場しました。特別に、相反方程式の形をした方程式は解けます。x+1/x=tと置くことで次数を下げられるからです。2次方程式にできれば解の公式を使って答が出せます。あとはtをもとにもどすだけ。 3次方程式になると、根を求めるためにはど根性が必要ですね。根じゃなかった音を上げそうです。 参照元:吉田武『新装版・オイラーの贈り物』東海教育研究所 YouTubeの Masaki Koga[数学解説]チャンネルが大変参考になりました。