a>0、b>0のとき、b/a+a/b≧2を証明せよ
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解答1
左辺ー右辺=b/a+a/b-2=(a^2-2ab+b^2)/ab
=(a-b)^2≧0
(等号はa=bのとき成立)
解答2(相加平均≧相乗平均を利用)
a>0、b>0だから、相加平均≧相乗平均より
1/2(b/a+a/b)≧√(b/a・a/b)
∴b/a+a/b≧2
(等号はa=bのとき成立)
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●相加平均≧相乗平均の関係を利用した大学入試の過去問
問2.次の2つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ
(a) 少なくとも2つの内角は90°である。
(b) 半径1の円が内接する。ただし、円が四角形に内接するとは、円が四角形の
4つの辺すべてに接することをいう。
(2015年京都大学・数学・第2問)
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解答
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2を証明せよ(シュワルツの不等式)
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左辺ー右辺
=(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2)ー(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)
=a^2y^2-2ay・bx+b^2y^2
=(ay-bx)^2≧0
(等号はay=bxのとき成立)
よって、(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2
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相加相乗平均の定理と大学入試問題、3つの場合の使い方 (a+b+c)/3>3√abc
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京大入試数学過去問一覧1978-2021
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