相加相乗平均の定理と大学入試問題、3つの場合の使い方 (a+b+c)/3>3√abc
世の中には美しい数学というものがあるようだ
自然とは、複雑ではなくて、単純なのだ
そんな単純で美しい数学‥
たとえば、
相加相乗平均
(a+b)/2>√ab ①
だれがこのような定理を発見したのか
わからないが、とても美しい定理である。
この定理は、3つの場合でも成立する
(a+b+c)/3>3√abc ②
4個、5個でも成立するわけであるが、
いえることは、相加平均はつねに、相乗平均以上であること。
等号はa=bのときに成り立つ。
で、ここで、①、②式を書き直すと
(a+b)/2ー√ab>0 ③
(a+b+c)/3ー3√abc>0 ④
③、④式となるわけだが、
ここで、③式と④式の大小関係を調べた人がいたのだろう
おそらく。
すると、以下の⑤式が成り立つことを見出したようだ
3((a+b+c)/3ー3√abc)>2((a+b)/2ー√ab) ⑤
で、この⑤式を証明せよという数学の問題へ展開されてしまった。
どうやって解くのか??
これを美しく解くのが数学なのだ
⑤式を展開すると
c+2√ab>3×3√abc ⑥
ここで、左辺に注目する。
左辺を分解すると、
c+2√ab=c+√ab+√ab
さらに、ここで3個の場合の相加相乗平均を利用すると
c+√ab+√ab>3×3√(c・√ab・√ab)=3×3√abc
となり、⑥式が証明できた。
等号は、c=√ab=√ab、つまり、c^2=abのときに成り立つ
もっと複雑に解く方法が一般的だが
相加相乗平均の定理を利用することで
こんなに美しく解くことができるのだ
これこそが相加相乗平均の美しい使い方なのだ。
これが美しい数学
ちなみに
この問題は、1978年の京大の入試問題である。
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