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Dec 25, 2012
カテゴリ：数学
星型多面体もオイラーの定理を適用できます 次の6種類の星型多面体にオイラーの定理を適用してみます。 1 正三角錐４面体 2 正六面体の角に正三角錐を載せた多面体 3 ケプラーの星型八面体 4 正12面体に正5角錐を載せた多面体 5 切頂12面体に正3角錐が載った多面体 6 正6面体と正8面体の複合星型多面体 1 正三角錐４面体  これはダ・ヴィンチの星の一種と同じ星型多面体です。 面 12 正3角 12＝３×4 頂点 8 正3角錐の頂点 4 と その正三角錐の麓のコル 4 辺 18 正4面体の辺 6 と三角錐の斜辺 3×4＝12 2 正六面体の角に正三角錐を載せた星形多面体  正8角6面を正6面体構成に貼り合わせて、その穴開き面に正三角錐を載せてできる星形多面体です。00000000 面 30＝5×6 （ 1（正8角）＋ 4（正3角））×6 頂点 32＝8＋3×8 3角錐の頂点８箇とその麓のコルの合計24との総計 コルは上面、側面、体面、各面に8個づつある。故に 3×8 辺 60＝12＋6×8 8角面が接続されている辺12個と正三角錐構成辺6個の合計48個との総計 3 ケプラーの星型八面体  正8面体に正三角錐が載っている星型多面体で、ダ・ヴィンチの星の一種でもある。 面 24＝3×8 頂点 32＝8＋6 三角錐の頂点８箇とその麓のコルの合計6個との総計 コルは内蔵されていると看做した正8面体の頂点でもある。 このコルは同一平面内のクロスした尾根と成っている。 辺 36＝12＋3×8 内蔵されていると看做した正8面体の辺12個と載せられた正三角錐の辺8個の合計24個との総計 4 正12面体に正五角錐を載せた星型多面体  面 60＝5×12 頂点 32＝12＋20 正五角錐の頂点の合計と内蔵されていると看做した正12面体の頂点20個との合計 辺 90＝30＋5×12 内蔵されていると看做した正12面体の辺30個と載せられた正五角錐の辺12個の合計60個との総計 5 切頂12面体に正三角錐が載った星形多面体  面 72＝3×20＋12 正三角錐20個の斜面の合計と正12面体の面との合計 頂点 50＝20＋30 正三角錐の頂点20個と点接続している正12面体の頂角（コル） の合計30個との総計 正五角が点接続されている点がコルになっている。 辺 120＝6×20 正４面体の辺20個分が、この星型多面体の総辺数 6 正6面体と正8面体の複合星型多面体  面 48＝3×8＋4×6＝4824＋24 正６面体の八つの角の面の合計と正8面体の六つ の角の合計との総計 頂点 26＝8＋6＋4×3＝26 正6面体の頂点と正8面体の頂点と同一平面でクロ スしたコルとの総合計 辺 72＝6×8＋4×6＝48＋24 立方体の角である4面体の変数の合計と正8面体の斜辺の合計との総計 以上の星型他面体について、どの多面体も面の個数と頂点の個数の和は辺の個数り2個多い。 これはオイラーの多面体の定理に適合していることを証明している。 これを一覧表にしたのが下の表である。  上の表で、面と頂点を合計するとその右の辺の数より2多い。 これは、先に述べたオイラーの定理「面の個数と頂点の個数の和は辺の個数り2個多い」を満たしている。 お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう
Last updated
Dec 25, 2012 07:19:50 PM
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