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松阪市の学習塾・双葉

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数学

2020.08.18
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カテゴリ:数学
広島のとある高校に進学した塾生よりLINEで質問があった。
「下の画像の解答赤線部分、なにやってるんですか?」

ここは去年帰省してきた時に、わかってない高校生多いからと
わざわざここだけ説明したところだ。
判別式なんて使う必要もない時に無理に使うな
無駄なだけだと教えるのだが・・・。

彼のことだから、そのとき説明したことは理解できたのだろうが
実際に使えるところまではいかなかったのか、今回の質問だ。

この問題の場合、判別式がでてくるほうが自然な解答ではあるが
判別式が先にでてきたせいで、判別式の意味を理解していない者にとって
その後の解答がわかりづらくなっている。

この解答をみて赤線部分で困惑する人は
彼同様、判別式の意味をよく理解できてない。







Last updated  2020.08.18 11:55:21
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2016.03.11
カテゴリ:数学
新中1の数学の授業

マイナスの数を借金にたとえると
マイナスとマイナスをかけてプラスになるのはおかしいと言う人が出てくる。

という話をしてから

借金×借金という話を持ち出すことがそもそも数学をわかっていない人の言うことだよ。

というところから

-3000円×300=+90万円 になる理由を説明してたら授業が終わった。






Last updated  2016.03.11 21:54:25
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2015.11.21
カテゴリ:数学
算数や数学が苦手になっていく理由を思いつくまま羅列してみる。

■全体として

・そもそもやらない。時間をかけない。

・効率を考えない。

・数学は効率的な高速処理を行うために自然現象から意味情報を削ぎ落とし、無駄なものは考慮から省き、なおかつ意味を圧縮したものであることを漠然とでも理解していない。

・言われたこと、教わったことの意味を考えない。

・わからなくなる原因はわからない部分にあるのではなく、わかっている(つもりの)部分にあることを理解していない。

・一度解答を見たら何も考えず最後まで写す。またはとりあえず最後まで写してから考える。

・答えが出たら満足してしまう。

・数学の解答は一つしかないと思っている。

・不明確なことを調べない。質問しない。

・意味不明だからといって丸暗記する。

・意味不明になると進まない。

・グラフ、図、表を描かずに考える。

・代入してみる、概算してみる、仮定してとりあえず結論を出してみるなどの「具体的に調べる」という態度がない。

・ルールに対して厳密でない。ルールの境界線、限界点を見極めない。

・ルールとは便宜上そうしておくと効率が良いから定められていることを理解していない。

・言語能力が低い。言葉に対して厳密であろうとしない。

数学用語の意味を厳密に(自分なりに)理解していない。
数式とは極度に抽象化した人工言語であることがわかっていない。
結果、立式できない。
 
特に、数学は「論理」であるので、「全ての」「ある」「ならば」「または」「かつ」の数学的意味の理解が低いと、どこかで問題の言わんとすることすらわからなくなる。

・一度提示された言葉は、時間をおけばなかったことになったり意味が変わると思っている。
結果、約束を守らない。

・脳内の抽象化が進んでいない。つまり高度な思考がとれない。

・解けなかった問題、理解できない問題を自分にとっての課題として長期間保持することができない。

・中学数学は算数を、高校数学は中学数学を含むことを忘れている。

参考リンク)数学のできない大学生をみて思うこと



次に、算数、数学において学齢別につまづくポイントを羅列してみる。

■小学生


・掛け算の概念を理解していない。

  ここを疎かにすると、倍数表現の抽象化が進まない。面積の概念が理解できない。

・かけわりとたしひきの計算順序の理解不足

・引き算、割り算において結合法則が成立しないことを理解せずに進む。

・概算、検算の有用性を理解せずに進む。

・割合の意味を理解していない。割合と比の関係性を理解していない。

  これによって、%計算ひいては理科系の計算に支障が出る。

・グラフとは点の集合であることを理解していない。

  グラフはデータの集合体を表現したものであり、現実にグラフという事象は存在しないことが
  認識できない。(放物線、波動など一部例外はある。)

・0と1の認識不足、(特に1が全体を表すことと、0で割れないことの認識不足)

■中学生

・具象と抽象のやりとりができない。

 算数がきちんと理解できていないと、ここでまずつまづく。

・文字の概念が理解できていない。変数、未知数、定数を理解していない。

 それぞれの扱いがいい加減で境界線がなくなる。

・マイナスの概念を理解していない。
 特に「-aはマイナスの値だと思っている。」

・マイナスの及ぶ範囲について理解していない。
 特に、分数式におけるマイナスのかかる範囲を理解していない。

・絶対値の概念を理解していない。および、正の数の平方根にはマイナスもあることを理解していない。

・移項の意味を理解していない。

・指数の概念、および指数計算の意味を理解していない。

・文字式、方程式、関数の違いを理解していない。

  それぞれの処理が混同されてしまう。

・図形の性質が理解できていない。

  高校数学の図形問題において、公式、定理をあてはめるだけの問題しか解けなくなる。

・面積比、体積比をきちんと理解していない。

・確率における和と積の違いを理解していない。

・順列と組み合わせの違いを理解していない。

・証明と計算の違いを理解していない。

・証明における仮定と結論を混同する。




■高校生(多すぎるので特に目につくものだけ)

・判別式をきちんと理解していない。

・二次関数の移動および文字係数が含まれているときにはグラフが固定していないことへの不理解

・必要条件と十分条件の理解不足

・三角比から三角関数への拡張時における不理解。

・ベクトルの相等に対する理解不足

・「同様に確からしい」の概念を理解していない。

・増減表をいい加減に扱う。

・数列の項数をきちんと確かめない。

・漸化式の適用範囲がわかっていない。


追記

言い忘れた。
こんな記事を書いているからといって私は数学ができるわけではありません。
私はどちらかというと数学が苦手です。むしろ嫌いです。
あまり難しい問題を質問しないで下さい。






Last updated  2015.11.21 23:24:17
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2015.11.16
カテゴリ:数学
「東ロボくんは、センター模試で国語や数学、世界史など5教科8科目を受験。数列や統計の問題を公式に当てはめて解けるようにするなど改良した結果、2種類の数学のテストで100点満点中、数1Aは75点、数2Bは77点という成績を収めた。偏差値で見ると昨年は47と52だったが、今年はそれぞれ64、66と大幅に伸びた。問題文の解釈については人が一部手入力したという。世界史の成績も伸び、偏差値は67になった。東大合格にはまだ届かないが、国公立33大学、私立441大学で合格可能性80%以上と判定された。」

サンケイスポーツより。

さて、センター試験が廃止されるまでに、この人工知能は東大に届くのか。
技術、特にコンピューター関係の技術は等比級数的に進歩することが多々あるので、届くかもしれない。どうでもいいことだが、もし東大ロボくんが模試で上位にくいこんだら成績優秀者名に「東大ロボ」と載るのだろうか。

ところで、詳しいことはよく知らないけれど、東ロボくんはコンピューターであるがゆえに、計算ミスはないのだろう。ということは数学の偏差値が低かった理由は、問題文という情報を処理する過程にあったと考えられる。それは、ソースの「問題文の解釈については人が一部手入力した」からも読み取れる。
気になるのは「問題を公式に当てはめて解けるようにするなど改良」のくだりで、これは東ロボくんが、公式を使わずに力技で計算していたという意味なのか、それとも情報処理能力に欠けるせいで、公式を使うことを思いつかないとか、公式を使うのが下手だったとかということなのか、どちらなのだろう。

なんにせよ、人間の場合も然りで、学校数学ができないのは計算能力の問題では本来ない。
情報処理の問題だ。
処理の仕方、その計算の概念がわかっているかの問題だ。

本当なのかどうか知らないが、よく言われる「外国では、日本人のように日常的に引き算を使いこなしている人がいない。(お釣りの計算が下手)」のも、その人達の脳の中に引き算という概念が希薄だからだと思う。

また、小学生の掛け算で「8×4=42」などと間違う場合も当然計算能力の問題ではない。
基本に戻ってマルを8こずつ4列描いて、「1、2、3、・・・」と数えていけば、間違えられる人のほうが少ないだろう。
「8×4」を見たり聞いたりしたときに起こる脳の中でのその処理の過程が間違っているのだ。

ちなみに私は1万×1万を確信をもっては瞬時に計算出来ない。頭のなかで1万×1000は1000万だから、その10倍だから1億円だなと検算という名の情報処理をしている。


かつて、私の教え子だった子が「計算なんて数学ではない。」と言っていた。


以下、その抜粋だ。


計算なんて、数学じゃない。

物の使い方を覚える、そして、どこに何を使えばよいのか?

この判断力が身につけれるか?それだけの話だ。

つまり、肉を切るのに、切るという事だけに反応して、ノコギリは使わない。

そのくせして、計算出来ないやつは、公式の意味を考慮せずに、無理に使おうとする。



引用終わり。


この意見に対して全く異論は無い。
いやむしろ、やはりこの子も私の教え子だったのだなと感慨深く思う。

いわゆる「計算問題」が数学ではないとは私は考えない。
学齢が上がるにつれ、学校でならう数学は具象から抽象へと進む。
目の前の現実が数式という人工言語に置き換わる。
その過程において、抽象化という処理が追いつかなくなった人にとって「計算問題」は「計算」ではない。何を表しているのか、何(どんな公式や定理)を要求されているのかまったくわからないのだ。

おもしろいことに実はこの子の意見自体、私の言っていることと同じで、無意識のうちにいわゆる「計算問題」は計算ではないという述べている。(つまり自己矛盾している)

この子は、「計算問題」なんて1000題やればできるようになるが持論だった。

この意見も、別に間違ってはいない。
いわゆるパターン学習だが、この学習方法で類題はおおよそ解けるようになるだろう。
数学の成績は上がるだろう。
だが、問題を解釈し解決する能力は上がらない。
九九と同じように条件反射的に処理する能力が上がるだけだ。
「計算問題」も組み合わせれば、超弩級の応用問題になり得る。
そのとき、この学習方法ではまた手も足もでなくなる。

この子は、くもんで小学生にして高校微積まで進んでいた。
いわば、公文式の典型的、模範的生徒だった。→参考
では、なぜ大学で習う微積を独力で理解できないのだ。
それは微積という「計算問題」を計算として覚えたからだ。
(公文先生の持論は「数学のあれもこれもできるか。まずは、計算力を突破口にするのだ」である。)

高校で習う微積は複雑ではあるが、いわゆる「計算問題」に属する。
そしてそのようにシステマティックに処理したほうが捗る。
だからこそ、小学生でも理解していなくても計算できる。
もちろん、高校生もほとんどがそのように処理する。
高校でも微積のなんたるかはまず教えない。
(私も微積のなんたるかはあまりよくわかっていない。)
その現実がわかっているからこそ、大学受験において微積の難題は少ない。

私はこの子の大学での微積と、代数幾何(行列)を少しの間指導していた。
この子が苦戦していたその問題たちは、残念なことに
「ゆとり」以前に、私達が高校でやっていた「計算問題」に相当する。

さきほど微積は「計算問題」であると述べた。
テイラー展開だろうがなんだろうが、数学の公式、定理とは、その昔計算方法がなかったものに対して計算の仕方を定義したものだからだ。

本来、「計算問題」ではない数学というのは、「量、構造、変化、空間といったものを対象として、いくつかの仮定から始めて、決められた演繹的推論を進めることで得られる体系を研究する学問」であり、「未解決の数学的対象を記述するのに適した概念や空間を定義したり、数学的事象をうまく表現した定理を得たり、すでに数学的に記述された対象に対して新しい表現や記述を見出したりする」ことだ。
(余談だが、私はその意味において「関孝和」とその門弟は、その功績の意味すらよく理解できないが鬼だと思う。)

超適当に数学者ではない凡人用に再定義し直すと、「その本人にとって解けない問題、あるいは非常に難しい問題に対して、調べてみたり、仮にこうだとしたらと考えてみたりすることで、解法を思いつく。」ことが数学だ。つまり簡単に解けるのなら「数学する」必要がないとさえ言える。

したがって、極端な言い方をすれば、大学を含む学校で学んでいる数学は計算方法を学んでいるだけであり、全て計算問題と、そのチェックのための簡単な応用問題(例えば、掛け算を理解できたか、使えるかを問うのが面積を求める問題)でしかないと言える。

このことは逆説的に、数学的理解に欠ける子どもたちにとっては、因数分解ですら単なる「計算問題」ではあり得ないということを表す。なぜそうするのか、なぜそうなるのかがわからないからだ。

こういう子たちに対して、「計算問題」を、大量の演習をもって解けるようにすることは、対症療法であって根治療法ではなく、わからない原因を取り除いていない以上、副作用としての数学アレルギーを発生させる可能性がある。

まぁそれでも、出自としての公文式は素晴らしいものだと思うし、対症療法だろうがなんだろうが受験のための数学がどうにかなればいいという方にとっては、ハマるのであればどんどん使うべきなのだろうと思う。

一般的に使われる数学という言葉と厳密な意味での「数学」と学校数学が入り混じってなんだかわかりづらい文章になった。申し訳ない。
しかし、直す気はない。読みにくいほうが考えてくれるということもありうる。






Last updated  2015.11.16 18:16:40
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