温故知新ラーニング

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​東京理科大学の​​​​秋山仁先生​の​『数学体験館』​に行って、
温故知新を感じた！​体験の第１回として、​
『ロボット掃除機ＲＵＬＯ』等、
数学的・図形的な話を中心に書きました。
​​
実は、『ルーローの多角形』は前回の話だけでは
なく、もう少し奥が深いのです。
今回は、「数学体験館での温故知新②」です。

『ルーローの多角形』に関連して、
​「バルビエ（Barbier）の定理」​があります。
バルビエの定理は…
　「幅ｈの定幅図形の周の長さはπｈである」
として知られています。
​　注）高校数学までには登場しない定理です
　　　πｈは、π(ﾊﾟｲ；円周率）×ｈ(幅)です。

『ルーローの多角形』を幅ｈに揃えて、
いくつか並べてみました。
​​


要するに、
異なる定幅図形であっても、幅を揃えたならば、
すべて周の長さが等しい…（＊）
ということですね！

これだけでは​「バルビエの定理」​、
ちょっと解りにくいですよね？
いったい、何を言っているんだか…

最も単純な定幅図形である円
を例にして考えてみましょう！
　　　　　　　　　　　　　　

バルビエの定理​を円に適用すると、
（周の長さ）＝πｈ
　　　　　　＝ｈ(幅) ×π(円周率）
　　　　　　＝ ２ｒ×π　　ここでｒは円の半径
　　　　　　＝ ２πｒ　　　　​※中学校での表現​
　　　　　　≒（直径）×（円周率 3.14）
　　　　　　　　　　　　　※小学校での表現
​なるほど…
小学校、中学校で出てくる公式に繋がりますね！
​
どうでしょう？
最も単純な円で、 バルビエの定理の公式の使い方、
イメージ理解はできましたでしょうか？
少なくとも、初めの説明（＊）よりは意味を理解
できたのではないでしょうか？​​​

（定幅図形の周の長さ）を求めるのは、
（円周）を求めるのと同じようなもんだ！
と単純化して理解しておくと、
イメージが定着し、長期的にも自分の知識として
生かすことができます！

​​​​​​​私も「バルビエの定理」を以前から知っていた訳では
ありません。
秋山仁先生の『数学体験館』​で​​​​『ルーローの多角形』
に触れて説明を読んだ時、実は、私の中でも、
ちょっとイメージしにくかったんです。
そこで、
最も単純な図形である円を例として考えたのです。
『特殊な（簡単な）ケースを想定して理解してから、
​​　一般にも成り立つものとイメージする』のです。​​​​
​​​これは、抽象的な概念を扱う数学において、
理解を促進するために、とても重要です。​​
​※このように特殊なケースを想定したまま、論理展開して
​　いくことは、実は、「一般に成り立つ」ことに戻れなく
　なるという論理学的な問題が生じ得ます。​
　よって、定理の証明にはなりません。
　ここでお伝えしたいのは、
　​​​​​定理・公式の意味・具体的イメージを理解するために、
　特殊なケースに絞って考えるのが有効だと言っています。​​​​

​​​​数学において、
「一般に、……が成り立つ」
「……であると一般化できる」
​​​「数列​​｛an​｝​の一​​般項を求めると、…」​​​など、
「一般に、…」、「一般〇△」という言葉が
よく使われます。

​念のため、誤解している人もいるかもしれない​ので…​
簡単に触れておきます。​​​
​数学において、​​​​​​​​​​​「一般に」と言っている場合には、
​「すべての値・ケースにおいて（例外なく）」​​​と把握​
して​いいです。曖昧さを認めていません。
ガチガチ、融通きかない感じ…がしますが（笑）、
​数学は、真理を探究し、それを応用していく学問
です。そういう性格だから社会で役立つのです！

一方、日常的に、
「……と考えるのが一般的だよね。」
「一般的には、……するよね。」​​​​​​​​​​
と言うのとは意味が大きく違います。
​​​こちらは​例外もたくさんあって曖昧さを含みます​ね。​​

今回は、前回ブログの『ルーローの多角形』、
​​『ロボット掃除機 RULO(ルーロ）』、定幅図形の話
から派生して、
数学を学び、理解するための姿勢についてもお話
させていただきました。
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