温故知新ラーニング

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​温故知新ラーニングです。

今日から12月。令和元年も残り１ヶ月です。
個人的には、
秋がなく、あっという間に冬到来！⛄
という感じです。
まさに、
　Time flies like an arrow.
　「光陰矢の如し。」ですね。

受験生は焦る気持ちもあると思いますが、
１つ、２つ、…と
得点できる箇所を増やしていく気持ちが
いいでしょう！
過去問に取り組む中では、本当に難しい問題、
さらに​悪問もある​ので、軽く流すという姿勢も
時には必要です。

さて、今回は数学です。
私が今まで接してきた友人との話で、
誤解している人が多いのでは…？
と感じたことを綴ります。

まず、考えてみてください。


「0.…
　となっているんだから、１に達していない。
　１より小さい。」
と言っている人が実に多かったです。

ある友人には、こんな話を展開しました。

３分の１を小数にすると、
　0.33333333333…（3が無限に続く）

３分の２を小数にすると、
　0.66666666666…（6が無限に続く）

では、
３分の３を小数にすると、
　0.99999999999…（9が無限に続く）

さらに、
​３分の３を約分​したら​１になる​。
だから、
　0.99999999999…（9が無限に続く）は、
１と等しい、イコール(＝)
ってことにならない？
と投げかけたところ、
わかったような感じの人もいました。

でも、
「約分したら１と等しいけど、
　0.9999999…って言っている内は、
　１より小さいんだよ。」
と反論もありました！
この反論、
気持ちは分かります。
でも、数学的には全く？？でした(笑)

さて、友人との話は終わりにして、
​0.9999999…（9が無限に続く）​について、
(a) か(b)か、いろいろ確認したくなりました。
　(a) １より小さい
　(b) １と等しい

そこで、「温故知新」は、
身の回りの電子機器・ソフトに頼ってみました。
電子機器・ソフトは２つ。
(1)電卓
(2)Excel（パソコン表計算ソフト Microsoft社）

(1)電卓（８桁表示）
 　１÷３＝
　　　0.3333333
　 そのまま３倍してみると、（×３＝）
　　　0.9999999
　 その値から１を引くと、　（－１＝）
　　　​－0.0000001​

　１との差が出ました！
　つまり、
　電卓の解答では、
　（a）１より小さい
　ということになります。
　
　​反論した友人の答えは正解か⁉​
​　あるいは、
　友人と電卓の思考は同じか⁉ 

(2)Excel（パソコン表計算ソフト Microsoft社）
  １つのセルの中に、
　　=1/3*3　　※１を３で割る。さらに３をかける
　と入力すると、
　　1 と表示されました！
なんと、
(1)電卓と(2)Excelで答えが分かれました！
(2)Excelで小数点以下の桁数を増やしても、
　 切り上げ、切り捨てをしてみても、
　　1.00000000000　と表示されました。
　つまり､
　Excelの解答では(b)１と等しい
　ということになります。

２つの電子機器に頼ったら、答えが一致しない

そこで、「温故知新」の私としては、
やはり、​原始的に手で計算するのが一番！​
と思い、早速やってみました。

高校数学で登場する内容を鳥瞰すると、
大きくは２通り、細かくは３通りの解法が
思い浮かびました。
それを以下に記します。




手で計算した答えはすべて一致しましたね！
数学では、プロセスは違っても、
正しい解法で求めた答えは必ず一致します。

＜結論＞
0.99999999999…（9が無限に続く）は、
１と等しい。

では、
なぜ２つの電子機器の間で答えが違ったのか？
考えてみましょう。

(1)電卓では、
　３で割った時点で
　　0.3333333
　と切り捨てをして有限小数にしている。
　もはや無限小数ではなくなっているのです。

(2)Excelでは、
  ３で割って、３をかける処理を繋げて、
　分数の約分と同様の処理をしている。
　セルを分けて２段階にしても同じでした。

そのため、両者の答えが異なったのでしょう。

手書きの解法を見比べてみると、
個人的には、小数点以下の数を一掃している
解法①が一番すっきりしているように見えます。
いかがでしょうか？

解法②－１　
　等比数列の和の項数ｎを無限に大きくする
解法②－２
　無限等比級数の和を求める

数学Ⅲで扱う、​極限、無限大∞​の概念は、
なんか不思議な感じがします。
解法②－１は解法②－２とは異なり、
直接的に​無限に続く数列の和を求めていません。​
数列の部分和の極値を求めたに過ぎません。
よって、厳密に言うと、
今回の問題において、(ｂ)１と等しい
と結論づけるには無理がある解答と言えます。
解法②－２ならば、問題ないでしょう。

数学における等しい、イコール(＝)というのは、
小学１年生の算数から登場しています。
でも、厳密な意味では、大学数学の範囲なのです

みんなが当たり前に使っているイコール(＝)は、
数学的には、実はとても難しい概念です。

最後に、電卓の使用についての付け足しです。

​​＜試験・検定における電卓使用の可・不可＞​​
○通常の学校の入学試験 　　　　　  ⇒ 不可！
○センター試験（数学・理科・簿記）⇒ 不可！
○数学検定　１次：計算技能検定 　  ⇒ 不可！
　　　　　　２次：数理技能検定 　 ⇒ 可
​○​簿記検定　　　　　　　　　　 　 ⇒ 可

勉強中の電卓使用については賛否両論ありますね。
・全体の流れを確認したい
・時間を短縮して効率を高めたい
・他の思考に集中したい　等
電卓使用が別の目的に向かう助けになるならば、
私は使用ＯＫだと思います。
単なる怠けの電卓使用はＮＧです。
筆算そのものを苦手としている人は、
できる限り自分の手計算を優先させましょう！​​

何かご質問等ございましたら、
コメント、またはお問い合わせフォームでお願いします！

​​※フォームから送信して、直接に連絡とることができます！
　ご質問のみの場合、ハンドルネームも可。
　​勉強、苦手！ やり方わからない！という方、大歓迎​​
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
◎家庭教師に関するお問い合わせ​！​
​​遠隔型！ 家庭教師『温故知新』（個人契約）​


​
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​