Tough Boy-World of cap_hiro（Subtitle：sense of wonder）

「四次元/Die Vierte Dimension」
四次元空間 1905年11月7日、ベルリン 図46 - 図47
　我々の在する通常の空間は三つの次元、長さ・幅・高さを有するとされています。点はゼロ次元、直線は一つの次元として長さだけを有しています。この黒板は平面ですが、それは二つの次元、長さと幅を有しているということです。立体は二つの次元に加えて高さの三つの次元を含んでいます。三次元図形はどのようにして生じるでしょうか。全く次元をもたない図形、つまり、点を想像して下さい。それはゼロ次元を有しています。点が一定の方向に動くとき、結果として直線あるいは一次元図形が生じます。さて、その直線が動いているのを思い描いて下さい。それによって生じるのは長さと幅をもつ平面です。そして、最後に、動く平面が描くのは三次元図形です。しかし、私たちはこのプロセスを続行するわけにはいきません。私たちは動きを用いて三次元図形から四次元図形、あるいは第四の次元を創り出すことはできないのです。第四の次元についての概念を発達させるために、どのようにイメージを用いることができるでしょうか。ある数学者や科学者、例えば、ツェルナーは、精神世界が四次元空間中に存在すると仮定することによって、その世界を感覚で知覚可能な世界との調和へともたらしたいという誘惑を感じていました。
　平面上に横たわる完全に閉じた図形である円を想像して下さい。誰かが私たちに硬貨を円の外側から内側に動かすようにと言ったとしましょう。私たちは円周を横切るか（図46）、あるいは、もし、円周に触れることが許されないとすれば、硬貨を空中に持ち上げ、それを円の内部に置くしかありませんが、そのためには第二の次元を離れ、第三の次元に入ることが要求されます。硬貨を魔術のように立方体や球のなかに動かすためには、私たちは第三の次元を離れ、第四の次元に移行しなければなりません。今回の人生において、私が最初に空間の性質を把握し始めたのは、現代の合成的投影幾何学を学び始めるとともに、円を直線に変形させることの重要性を理解したときです（図47）。世界は魂の最も繊細な思考のなかに現れます。
図47：さて、円を想像してみましょう。私たちはその円周をずっと辿っていきますと、最初に出発した点に戻ることができます。その円がどんどん大きくなっていく一方、接線は変化しないと想い描いてみましょう。その円はますます平らへとなっていきますから、それは最終的には直線になるでしょう。これらの段階的に大きくなる円を辿るときには、私はいつでも一方の側から降りて行き、出発点に戻るまで反対側を上がって来ることになります。最終的には、私は無限に辿り着くまで一方向に、例えば右とすれば右へ動いて行くことになります。こうして、私が無限から戻ってくるのは反対側、左からでなければなりませんが、それは直線のなかに連なる点が円のように振る舞うからです。このことからすれば空間には端がありません。それは、直線の点が閉じた円の点とちょうど同じように配置されているために、正に直線には端がないのと同じです。同様に、私たちは、無限の広がりをもつ空間は、球の表面のように、自己充足していると想像しなければなりません。私たちは今、無限の空間を円あるいは球の意味で記述しました。この概念は私たちが空間の現実を考えてみる上での助けとなるでしょう。ここで、私たちが考えもなしに無限に向かって進み、反対側から何も変わらずに戻ってくると想像する代わりに、何某らの方法でもって光を運んでいると想像してみましょう。直線上の一定の地点から見たとき、この光は、私たちがそれを遠くへ運ぶほどますます弱くなり、私たちがそれをもって無限から戻ってくるときには、ますます強くなります。そのとき、もし、私たちが光の強さの変化を正負の変化として思い描くならば、光が強くなる一方の側は正であり、他方は負となります。正に相対する空間の効果であるところのこれらふたつの極は、大自然におけるあらゆる影響のなかに見い出されます。この考えは、力を有しているものとしての空間概念、つまり、空間のなかで作用する力は力そのものが現れたものに過ぎないという考えへと導きます。私たちは三次元空間のなかで、内側から働く力を発見する可能性を疑うことはもはやないでしょう。そして、すべての空間的な現象は空間における実際の関係に基づいているということに気づくでしょう。



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