学びの泉　～五目スパゲティ定食～

akst237s5さんからいただいたコメントにお応えして単純化した解説を。


１．【二次方程式の場合】

ax''＋bx＋c＝0 の２解をα，βとすると、　　　←(「''」は２乗を表す)
これとa(x－α)(x－β)＝0は恒等式の関係にある。

　a(x－α)(x－β)＝a{x''－(α＋β)x＋αβ}
　　　　　　　　　＝ax''－a(α＋β)x＋aαβ
　　　　　　　　　＝ax''＋bx＋c

各項の係数を比較して、
　　　　　　　　b　　　　　　　　　c
　α＋β＝－ ──　　，αβ＝ ──
　　　　　　　　a　　　　　　　　　a


２．【三次方程式の場合】

ax'''＋bx''＋cx＋d＝0 の３解をα，β，γとすると、同様に
これとa(x－α)(x－β)(x－γ)＝0は恒等式の関係にある。

　a(x－α)(x－β)(x－γ)
＝a{x'''－(α＋β＋γ)x''＋(αβ＋βγ＋γα)x－αβγ}
＝ax'''－a(α＋β＋γ)x''＋a(αβ＋βγ＋γα)x－aαβγ}
＝ax'''　　　　　　＋bx''　　　　　　　　＋cx　　＋d
各項の係数を比較して、
　　　　　　　　 　b　　　　　　　　
α＋β＋γ＝－ ──　　
　　　　　　　　 　a
　　　　　　　　　　c
αβ＋βγ＋γα＝ ──
　　　　　　　　　　a
　　　　　　　d
αβγ＝－ ──
　　　　　　　a

※と(x－α)(x－β)(x－γ)の展開について

　　・　(　　　)が３つの掛け算なので、各項の文字はすべて３つ(３次)になる。

　　・　xについて降べき整理すると、xの次数＋他の文字の次数で合計３次に
　　　　ならなければいけない。

　　・x'''の項・・・係数１

　　・x''の項・・・これと－α，－β，－γを１つずつ組み合わせるので、
　　　　　　　　　　まとめると－(α＋β＋γ)がその係数になる。

　　・xの項・・・xを１つしかとらないから、－α，－β，－γから
　　　　　　　　れぞれ２つずつ掛け合わせたものと組み合わせる。
　　　　　　　　すると符号は＋になる。
　　　　　　　　まとめると＋(αβ＋βγ＋γα)が係数。

　　・定数項・・・xを１つもとらないから、－α，－β，－γ全部を
　　　　　　　　　　掛けたものにしかならない。


３．【四次方程式の場合】 …これを使うことはまず無いが

ax''''＋bx'''＋cx''＋dx＋e＝0 の４解をα，β，γ，δとすると、同様に
これとa(x－α)(x－β)(x－γ)(x－δ)＝0は恒等式の関係にある。

a(x－α)(x－β)(x－γ)(x－δ)
＝a{x''''
　　　　－(α＋β＋γ＋δ)x'''
　　　　　　　＋(αβ＋αγ＋αδ＋βγ＋βδ＋γδ)x''
　　　　　　　　　　－(αβγ＋αβδ＋αγδ＋βγδ)x
　　　　　　　　　　　　　＋αβγδ}

＝ax''''＋bx'''＋cx''＋dx＋e

各項の係数をそれぞれ比較して・・・・
　　(以下、略)


こんなふうにすれば何次方程式の解と係数の関係でも作れます。

因数分解形を、理屈に合わせて見ただけで展開できること、
すなわち「各項の係数が何になるか？」＆「その符号は？・・・・
(x以外の文字が奇数個なら－、偶数個なら＋)」が可能なら、
遊びですがこうなるってことです。


ということで、三次方程式の解と係数の関係も、ただ覚えるよりも
計算練習の１つとして素速い暗算で形を導き出した方が楽しいでしょう