60ばーばの手習い帳

​​　無限級数の「和」が考えられるのは、級数が収束するとき（ある一つの値にどんどん近づいていくとき）でした。無限級数が収束するかどうかは、どうわかるのでしょう。

　等比級数の場合は特別に、公比が－１＜ｒ＜１のときだけ収束することがわかっています。
1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋…という等比数列は、公比が1/2なので収束します。前に見てきたように２が極限値になります。どんなに小さな数でも無限に足していけば、無限に大きくなりそうな気もしますが、どうがんばっても２よりは大きくなりません。

　一般に、無限級数の部分和が収束して極限値を持つとき、無限級数も収束して、部分和の極限値を級数の和であると定義します。

　数列の第ｎ項のｎが大きくなるにつれて、各項が0に収束しないと、無限級数は収束しません。各項が０に近づいていかなかったら、項の和はどんどん増えていってしまいますから、一定の値には近づかないことになります。

　数列の各項が0に近づいても、無限級数は必ずしも収束しません。
１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋…という無限級数は発散してしまいます。項が進むにつれ、伸びはものすごく緩慢になりますが、確実に大きくはなっていくんですね。

1＋1/2＋1/4＋1/8＋…の等比数列は伸びが緩慢になって、頭打ちになります。２より上には出られません。

かと思うと、
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5＋…と、符号が変わった数列は収束します。＋と－方向に振れながら中央の極限値を目指して進むイメージです。

　ややこしいですが、面白い。

　そして、収束する無限級数のひとつが、（１＋1/n）のｎ乗。ネイピア数eに結びつく無限級数の登場です。複利計算から生まれたこの級数は、収束します。

　利息計算の期間をどんどん短くしていくと、（1年複利→半年複利→1ヶ月複利→1日複利→…）確かに元金＋利息は増えていきますが、無限に増え続けることはありません。増え方が緩慢になって頭打ちになります。

　オイラーが捜していた、微分しても変わらない指数関数の底と、（１＋1/n）のｎ乗が結びついた先に、オイラーの等式があります。

　　　　　　　　　　　　　　　参照元：吉田武『新装版　オイラーの贈り物』東海教育研究所
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