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2023.07.24
カテゴリ：ＪＩＮさんの農園
「友愛数」（ゆうあいすう、英: amicable numbers）とは、異なる 2 つの自然数の組で、
自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう。 親和数（しんわすう）とも呼ばれる。  最小の友愛数の組は (220, 284) である。 220 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 で、和は 284 となる。
一方、 284 の自分自身を除いた約数は、1, 2, 4, 71, 142 で、和は 220 である。  友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた（ダンブリクス Damblichus）。 現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。 (220, 284) の次に求められた友愛数は (17296, 18416) である。この友愛数はそれ以前にも 求められていたが、フェルマーにより再発見された。 その後、オイラーにより 60 余りの友愛数が求められている。 なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。 自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、 その組を社交数という。 ■友愛数の組を小さい順に列記すると (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), … これらの例は、いずれも、偶数同士又は奇数同士の組み合わせである。 ■友愛数を生み出す公式 ｎを2以上の整数とする。 ｐ＝3×2^（ｎ－１）－１ ｑ＝3×2^ｎ－１ ｒ＝9×2^(2n－１)－１ に対してｐ，ｑ，ｒがすべて素数なら(2^n×pq、2^×r)は友愛数である。 例えば n=2とするとｐ=5,ｑ=11,r=71となりすべて素数です！ このとき，2^n×pq=220，2^n×r=284になります。 これはさきほどの例で見たように友愛数です。 n=3の場合はr=287=7×41となり素数ではないので友愛数は得られません。 n=4の場合は(17296,18416) という友愛数が得られます ■未解決問題 ・108個の友愛数が存在することが確認されているが、友愛数の組は無数に存在するか？ ・偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するか？ ・・・END・・・ お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう
Last updated
2023.07.24 23:00:08
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